高考数学一轮总复习 第六篇 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 湘教版.pptVIP

第2讲等差数列及其前n项和 2014年高考会这样考 1 考查利用等差数列的概念 性质 通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题 2 在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列 并能用有关知识解决相应的问题 考点梳理 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母 表示 数学语言表达式 an 1 an d n n d为常数 1 设等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 2 通项公式的推广 an am n m n 1 等差数列的定义 2 等差数列的通项公式 2 同一个常数 公差 d n m d a1 n 1 d 3 等差数列的前n项和公式 2 若 an 为等差数列 且m n p q 则 m n p q n 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为 的等差数列 4 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 5 s2n 1 2n 1 an 若n为奇数 则s奇 s偶 a中 中间项 4 等差数列及前n项和的性质 am an ap aq md 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式 sn a1 a2 a3 an sn an an 1 a1 助学 微博 两种方法等差数列的两种证明方法 1 定义法 证明an 1 an d或an an 1 d n 2 2 中项公式法 证明2an an 1 an 1 n 2 提醒 以上两种证明方法的关键是n的范围 即是否包括了a2 a1也是相同的常数 a 4b 5c 6d 7解析a2 a8 2a5 a5 6 答案ca 1b 9c 10d 55解析由sn sm sn m 得s1 s9 s10 a10 s10 s9 s1 a1 1 答案a 考点自测 1 已知 an 为等差数列 a2 a8 12 则a5等于 2 2011 江西 已知数列 an 的前n项和sn满足 sn sm sn m 且a1 1 那么a10 a 7b 15c 20d 25 3 2012 重庆 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5 则 an 的前5项和s5 答案b a 8b 7c 6d 5解析由a1 1 公差d 2得通项an 2n 1 又sk 2 sk ak 1 ak 2 所以2k 1 2k 3 24 得k 5 答案d 4 2011 全国 设sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 1 公差d 2 sk 2 sk 24 则k 答案2n 1 1 求数列 an 的公比 2 证明 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 审题视点 1 利用等差数列的定义得到关系式2a3 a5 a4 代入等比数列的通项公式求得q 2 利用等差数列的判断方法进行证明 考向一等差数列的判定与证明 例1 2012 陕西 设 an 是公比不为1的等比数列 其前n项和为sn 且a5 a3 a4成等差数列 1 解设数列 an 的公比为q q 0 q 1 由a5 a3 a4成等差数列 得2a3 a5 a4 即2a1q2 a1q4 a1q3 由a1 0 q 0得q2 q 2 0 解得q1 2 q2 1 舍去 所以q 2 2 证明法一对任意k n sk 2 sk 1 2sk sk 2 sk sk 1 sk ak 1 ak 2 ak 1 2ak 1 ak 1 2 0 所以 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 等差数列的判定方法有以下四种 1 定义法 an 1 an d 常数 n n 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n 3 通项公式法 an an b a b是常数 n n 4 前n项和公式法 sn an2 bn a b为常数 但如果要证明一个数列是等差数列 则必须用定义法或等差中项法 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范围 审题视点 第 1 问建立首项a1与公差d的方程组求解 第 2 问建立首项a1与公差d的方程 利用完全平方公式求范围 考向二等差数列基本量的求解 例2 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 满足s5s6 15 0 1 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3 可得1 2d 3 解得d 2 从而 an 1 n 1 2 3 2n 训练2 2011 福建 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 若a4 a17 20 求s20 2 若共有n项 且前四项之和为21 后四项之和为67 前n项和sn 286 求n 考向三等差数列及前n项和性质的应用 例3 在等差数列 an 中 一般地 运用等差数列的性质 可以化繁为简 优化解题过程 但要注意性质运用的条件 如m n p q 则am an ap aq m n p q n 需要当序号之和相等 项数相同时才成立 2 已知等差数列 an 中 a3a7 16 a4 a6 0 则其n项和sn 解析 1 an 为等差数列 s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 2 s6 s3 s3 s9 s6 a7 a8 a9 s9 s6 2 s6 s3 s3 2 36 9 9 45 2 因为a4 a6 a3 a7 则a3a7 16 a3 a7 0 所以a3 4 d 2或a3 4 d 2 所以数列的前n项和是sn n2 9n或sn n2 9n 答案 1 45 2 n2 9n或 n2 9n 训练3 1 已知等差数列 an 中 s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 方法优化8 整体思想在等差数列解题中的应用 a 58b 88c 143d 176 教你审题 思路1求出首项与公差的关系式 再代入前n项和公式 思路2利用等差数列的性质从整体上求解 真题探究 2012 辽宁 在等差数列 an