高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入（回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养）课件 文 苏教版.ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算第二节平面向量基本定理及坐标表示第三节平面向量的数量积及平面向量的应用第四节数系的扩充与复数的引入专家讲坛 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 主要考查平面向量的有关概念及对线性运算 共线向量定理的理解和应用 如2012年高考t9 归纳知识整合 1 向量的有关概念 大小 方向 长度 模 长度为0 任意 1 相反 非零 共线 平行 相等 相同 相等 相反 0 0 探究 1 两向量共线与平行是两个不同的概念吗 两向量共线是指两向量的方向一致吗 提示 方向相同或相反的一组非零向量 叫做平行向量 又叫共线向量 是同一个概念 显然两向量平行或共线 其方向可能相同 也可能相反 2 两向量平行与两直线 或线段 平行有何不同 提示 平行向量也叫共线向量 这里的 平行 与两直线 或线段 平行的意义不同 两向量平行时 两向量可以在同一条直线上 2 向量的线性运算 b a a b c 相同 相反 0 a a a a b a 探究 3 0与a 0时 a的值是否相等 提示 相等 且均为0 4 若 a b a b 你能给出以a b为邻边的平行四边形的形状吗 提示 如图 说明平行四边形的两条对角线长度相等 故四边形是矩形 3 共线向量定理如果有一个实数 使 那么b与a是共线向量 反之 如果b与a a 0 是共线向量 那么有且只有一个实数 使 b a a 0 b a 探究 5 当两个非零向量a b共线时 一定有b a 反之成立吗 提示 成立 自测牛刀小试 1 下列说法中正确的是 填序号 只有方向相同或相反的向量是平行向量 零向量的长度为零 长度相等的两个向量是相等向量 共线向量是在一条直线上的向量解析 由于零向量与任意向量平行 故 错误 长度相等且方向相同的两个向量是相等向量 故 错误 方向相同或相反的两个非零向量是共线向量 故 错误 答案 3 如图 e1 e2为互相垂直的单位向量 则向量a b可表示为 用e1 e2表示 解析 连结a b的终点 并指向a的终点的向量是a b 故应为e1 3e2 答案 e1 3e2 向量的概念 答案 解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心 方向和长度 如 共线向量的核心是方向相同或相反 长度没有限制 相等向量的核心是方向相同且长度相等 单位向量的核心是方向没有限制 但长度都是一个单位长度 零向量的核心是方向没有限制 长度是0 规定零向量与任意向量共线 只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题 1 设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是 解析 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 答案 3 向量的线性运算 平面向量线性运算的一般规律 1 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功 除利用向量的加法 减法 数乘运算外 还应充分利用平面几何的一些定理 2 在求向量时 要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法则 利用三角形中位线 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 共线向量定理的应用 1 用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时 需将向量平移至共起点 2 作两个向量的差时 要注意向量的方向是指向被减向量的终点 3 在向量共线的重要条件中要注意 a 0 否则 可能不存在 也可能有无数个 4 要注意向量共线与三点共线的区别与联系 创新交汇 以平面向量为背景的新定义问题1 从近几年新课标省份的高考可以看出 高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大 且常与平面几何 解析几何 充要条件等知识交汇 具有考查形式灵活 题材新颖 解法多样等特点 2 解决此类问题 首先需要分析新定义的特点 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚 通过转化思想解决 这是破解新定义信息题难点的关键所在 答案 1 本题具有以下创新点 1 命题背景新颖 本题为新定义题目 用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力 2 考查知识新颖 本题把坐标系 向量 点与线段的位置关系通过新定义有机结合在一起 能较好地考查学生的阅读理解能力和解决问题的能力 1 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n b p q 令a b mq np 下面说法错误的是 若a与b共线 则a b 0 a b b a 对任意的 r 有 a b a b a b 2 a b 2 a 2 b 2解析 若a与b共线 则有mq np 0 故 正确 因为b a pn qm 而a b mq np 所以有a b b a 故 错误 因为 a m n 所以 a b mq np 又 a b mq np a b 故 正确 因为 a b 2 a b 2 mq np 2 mp nq 2 m2 n2 p2 q2 a 2 b 2 故 正确 答案 答案 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解平面向量基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 本节内容在高考中一般不单独命题 常常是结合向量的其他知识命制综合性的小题 这些小题多属于中低档题 问题常常涉及以下内容 1 结合向量的坐标运算求向量的值 如2012年高考t9 2 结合平面向量基本定理考查向量的线性表示 3 结合向量的垂直与共线等知识 求解参数问题 如2011年高考t10 归纳知识整合 非零 a b 0 0 2 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 2 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对叫做向量a的坐标 记作a 其中叫做a在x轴上的坐标 叫做a在y轴上的坐标 不共线 有且只有 基底 x y x y x y 1e1 2e2 a点 探究 1 向量的坐标与点的坐标有何不同 x y x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 x y x1y2 x2y1 探究 2 相等向量的坐标一定相同吗 相等向量起点和终点坐标可以不同吗 自测牛刀小试 1 若向量a 1 1 b 1 0 c 6 4 则c 用a b表示 解析 设c a b 则有 6 4 0 即 6 4 从而 2 故c 4a 2b 答案 4a 2b 2 下列各组向量中 能作为基底的有 填序号 a 1 2 b 5 7 a 2 3 b 4 6 a 2 3 b 12 34 解析 对 由于 1 7 2 5 0 所以a与b不共线 故a b可作为基底 对 由于b 2a a与b共线 不能作为基底 对 由于 34 2 3 12 0 所以a与b不共线 故a b可作为基底 答案 答案 1 3 设向量a m 1 b 1 m 如果a与b共线且方向相反 则m 答案 3 5 5 2013 徐州期中 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 解析 a b 1 m 1 a b c 2 1 m 1 0 m 1 答案 1 平面向量基本定理的应用 应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法 减法或数乘运算 基本方法有两种 1 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简 直至用基底表示为止 2 将向量用含参数的基底表示 然后列方程或方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 1 向量的坐标运算主要是利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解的 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用向量相等则其坐标相同这一原则 通过列方程 组 来进行求解 并注意方程思想的应用 平面向量共线的坐标表示 本例 2 成立的前提下 a kc与2b a是同向还是反向 3 1 在平面直角坐标系xoy中 四边形abcd的边ab dc ad bc 已知点a 2 0 b 6 8 c 8 6 则d点的坐标为 2 已知向量a m 1 b 1 2 c 1 2 若 a b c 则m 解析 设a x y x 0 y 0 则x 2y 0且x2 y2 20 解得x 4 y 2 舍去 或者x 4 y 2 即a 4 2 答案 4 2 1 解答本题易误认为 a与b的方向相反 a b 致使出现增解 4 2 而造成解题错误 2 解决此类问题常有混淆向量共线与向量垂直的充要条件致误 1 已知a1 a2 an 0 且an 3 4 则a1 a2 an 1的坐标为 解析 a1 a2 an 0 a1 a2 an 1 an 3 4 答案 3 4 2 若 是一组基底 向量 x y x y r 则称 x y 为向量 在基底 下的坐标 现已知向量a在基底p 1 1 q 2 1 下的坐标为 2 2 则a在另一组基底m 1 1 n 1 2 下的坐标为 答案 0 2 答案 1 2 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 2 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 3 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 4 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 近年来的高考对平面向量的数量积的考查 主要体现在以下几个方面 1 直接利用数量积进行平面向量的运算 如2011年高考t10 2 利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题 3 利用平面向量的数量积解决垂直问题 如2010年高考t15 归纳知识整合 1 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个向量a和b 它们的夹角为 把数量叫做a和b的数量积 或内积 记作 即a b 规定0 a 0 2 向量数量积的运算律 1 a b 2 a b 3 a b c 非零 a b cos a b cos a b b a a b a b a c b c 探究 根据数量积的运算律 判断下列结论是否成立 1 a b a c 则b c吗 2 a b c a b c 吗 提示 1 不一定 a 0时不成立 另外a 0时 a b a c 由数量积概念可知b与c不能确定 2 a b c a b c 不一定相等 a b c是c方向上的向量 而a b c 是a方向上的向量 当a与c不共线时它们必不相等 3 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 x1x2 y1y2 0 a b 0 a b 自测牛刀小试 4 教材习题改编 已知 a 3 b 4 且a与b不共线 若向量a kb与a kb垂直 则k 5 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x 解析 由题意可得8a b 6 3 又 8a b c 30 c 3 x 则18 3x 30 解得x 4 答案 4 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的类型及求法 1 向量数量积有两种计算公式 一是夹角公式a b a b cos 二是坐标公式a b x1x2 y1y2 2 求较复杂的向量数量积的运算时 可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简 注意以下两个重要结论的应用 a b 2 a2 2a b b2 a b a b a2 b2 平面向量的夹角与模的问题 例2 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 2 1 已知平面向量 1 2 0 2 求 2 的值 2 已知三个向量a b c两两所夹的角都为120 a 1 b 2 c 3 求向量a b c与向量a的夹角 平面向量的垂直问题 例3 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 a b 2 当k为何值时 a 2b ka b 2 一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 平面向量数量积的应用 例4 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 自主解答 1 由a与b 2c垂直 a b 2c a b 2a c 0 即4sin 8cos 0 tan 2 2 b c sin cos 4cos 4sin 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 创新交汇 平面向量与其他知识的交汇1 平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容 且常与三角函数 数列 三角形 解析几何等交汇命题 且常考常新 2 此类问题的解题思路是转化为代数运算 其转化途径主要有两种 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件 二是利用向量数量积的公式和性质 解析 依题意得 动点z的坐标满足 x2 y2 0 1 0 2y x2 y2 2y 0 即x2 y 1 2 1 易知该不等式表示的平面区域是以点 0 1 为圆心 1为半径的圆及其内部 答案 答案 b 1 下列判断 若a2 b2 0 则a b 0 已知a b c是三个非零向量 若a b 0 则 a c b c a b共线 a b a b a b 0 则a与b的夹角为锐角 若a b的夹角为 则 b cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量 其中正确的是 解析 由于a2 0 b2 0 所以 若a2 b2 0 则a b 0 故 正确 若a b 0 则a b 又a b c是三个非零向量 所以a c b c 所以 a c b c 正确 a b共线 a b a b 所以 错 对于 应有 a b a b 所以 错 对于 应该是a a a a 2a 所以 错 a2 b2 2 a b 2a b 故 正确 当a与b的夹角为0 时 也有a b 0 因此 错 b cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量 可取全体实数 而非射影长 故 错 综上可知 正确 答案 2 2013 江苏诚贤中学质检 已知向量a x 3 b 2 1 若a与b的夹角为锐角 则实数x的取值范围是 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 2 了解复数的代数表示法和几何意义 会进行复数代数形式的四则运算 3 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 以填空题的形式考查复数的概念及代数运算 特别是除法运算 如2012年高考t3 2011年高考t3 2010年高考t2等 归纳知识整合 1 复数的有关概念 a bi a b b 0 a 0且b 0 a c且b d a c 且b d 实轴 虚轴 探究 1 复数a bi a b r 为纯虚数的充要条件是a 0吗 提示 不是 a 0是a bi a b r 为纯虚数的必要条件 只有当a 0 且b 0时 a bi才为纯虚数 2 复数的几何意义复数z a bi与复平面内的点与平面向量 a b r 是一一对应的关系 z a b a c b d i a c b d i ac bd ad bc i 2 复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 c 有z1 z2 z1 z2 z3 3 复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律 结合律 分配律 即对于任意z1 z2 z3 c 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 z1 z2 z3 z2 z1 探究 2 z1 z2是复数 z1 z2 0 那么z1 z2 这个命题是真命题吗 提示 假命题 例如 z1 1 i z2 2 i z1 z2 3 0 但z1 z2无意义 因为虚数无大小概念 自测牛刀小试 1 教材习题改编 复数z 2 i i在复平面内对应的点位于第 象限 解析 z 2 i i 2i i2 1 2i故复数z 2 i i在复平面内对应的点为 1 2 位于第一象限 答案 一 答案 i 3 2012 安徽高考 复数z满足 z i i 2 i 则z 解析 设z a bi 则 z i i b 1 ai 2 i 由复数相等的概念可知 b 1 2 a 1 所以a 1 b 1 答案 1 i 答案 1 复数的有关概念 答案 1 2 2 0 解决复数概念问题的方法及注意事项 1 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 2 解题时一定要先看复数是否为a bi a b r 的形式 以确定实部和虚部 复数的几何意义 复数所对应点的坐标的特点 1 实数 纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上 2 若实部为正且虚部为正 则复数对应点在第一象限 3 若实部为负且虚部为正 则复数对应点在第二象限 4 若实部为负且虚部为负 则复数对应点在第三象限 5 若实部为正且虚部为负 则复数对应点在第四象限 6 此外 若复数的对应点在某些曲线上 还可写出代数形式的一般表达式 如 若复数z的对应点在直线x 1上 则z 1 bi b r 若复数z的对应点在直线y x上 则z a ai a r 这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用 2 复数z1 3 4i z2 0 z3 c 2c 6 i在复平面内对应的点分别为a b c 若 bac是钝角 求实数c的取值范围 复数的运算 答案 1 3 5i 2