平面向量讲义(学生).doc

阜阳翰林院培训学校平面向量一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如：下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。 如 （1）若，则_（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（4）已知中，点在边上，且，则的值是_四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2 平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）ABC中，则_（2）已知，与的夹角为，则等于_（3）已知，则等于_（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。 如（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（3）已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 如（1）化简：_；_；_（2）若正方形的边长为1，则_（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（5）若点是的外心，且，则的内角为_2坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。如：（1）已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，则 （3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如：设，且，则C、D的坐标分别是_平面向量数量积：。如：已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值向量的模：。如：已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_两点间的距离：若，则。如如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，2），求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。七向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。如：下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8 向量平行(共线)的充要条件：0如 (1)若向量，当_时与共线且方向相同（2）已知，且，则x_（3）设，则k_时，A,B,C共线九向量垂直的充要条件： .特别地。如 (1)已知，若，则 （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （3）已知向量，且，则的坐标是_ 十一平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3） 在中，若，则其重心的坐标为。如：若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如：平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_与向量有关的题目类型题型一：三角函数平移与向量平移的综合，结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】把函数ysin2x的图象按向量(，3)平移后，得到函数ysin(xj)-B(B0，0，|j|)的图象，则j和B的值依次为（ ）A，3B，3C，3D，3【例2】（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.题型三三角函数与平面向量垂直，结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例1】已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值； （）求cos()的值【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（）求的值；（）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角余弦值。题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|22，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.题型五三角函数与平面向量数量积的综合，考查三角函数的化简或求值此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.20090318【例1】设函数f(x).其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值.【例2】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，求的值题型六、解斜三角形与向量，结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例1】已知角A、B、C为ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若(cos，sin)，(cos，sin)，a2，且（）若ABC的面积S，求bc的值（）求bc的取值范围 【例2】（山东卷）在中，角的对边分别为，（1）求；（2）若，且，求题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例】（2007年高考陕西卷），其中向量，且函数的图象经过点（）求实数的值； （）求函数的最小值及此时值的集合。题型八：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.（）求函数的最大值与最小正周期；（）求使不等式成立的的取值集.练习题一、选择题1已知(cos40，sin40)，(cos20，-sin20)，则（ ）A1BCD2将函数y2sin2x的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若0，则ABC是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设(,sina)，(cosa,)，且，则锐角a为（ ）A30B45C60D755已知(sin，)，(1，)，其中(，)，则一定有（ ）ABC与夹角为45D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C点在函数ysinx的图象上,实数l（ ）ABCD7由向量把函数ysin(x)的图象按向量(m，0)(m0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为（ ）ABCD8设02时，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是（ ）ABC3D29若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，则与一定满足（ ）A与的夹角等于abBCD()()10已知向量(cos25,sin25)，(sin20,cos20)，若t是实数，且t，则|的最小值为（ ）AB1CD11O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：l()，l(0,)，则直线AP一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心2009031812对于非零向量我们可以用它与直角坐标轴的夹角a,b(0ap,0bp)来表示它的方向，称a,b为非零向量的方向角，称cosa,cosb为向量的方向余弦，则cos2acos2b（ ）A1BCD0二、填空题13已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，则sin2q的值为_14已知在OAB(O为原点)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若5，则SAOB的值为_.15将函数f(x)tan(2x)1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a_16已知向量(1，1)向量与向量夹角为，且1.则向量_三、解答题17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若k(kR).（）判断ABC的形状；（）若c，求k的值18已知向量(sinA,cosA)，(,1)，1，且为锐角.()求角A的大小；()求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，满足，bca.()求A的大小；()求sin(B)的值20已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（）若(，0)，且|，求角的大小；（）若，求的值21ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角的大小.22已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求证：向量与向量不可能平行；（）若f(x)，且x,时，求函数f(x)的最大值及最小值23设函数，其中向量，（）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的24已知向量（）若，求；（）求的最大值与平面向量有关的高考题1.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，则（A） （B） （C） （D） 2.【2012高考重庆文6】设 ，向量且 ，则（A） （B） （C） （D）3.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则abB.若ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得b=aD.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b|4.【2012高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A、且 B、 C、 D、5.【2012高考陕西文7】设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）A B C .0 D.-16.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,1)，b = (2,x).若a b = 1,则x =(A) 1 (B) (C) (D)17.【2012高考广东文3】若向量，则A. B. C. D. 8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量和，定义. 若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和