高考数学一轮总复习 第八篇 第7讲 立体几何中的向量方法（一）课件 理 湘教版.ppt

第7讲立体几何中的向量方法 一 2014年高考会这样考 1 通过线线 线面 面面关系考查空间向量的坐标运算 2 利用空间向量解决直线 平面的平行与垂直问题 3 利用空间向量求空间距离 考点梳理 1 数量积的坐标运算 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b 2 共线与垂直的坐标表示 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a b a b 0 a b均为非零向量 1 空间向量的坐标表示及运算 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a1b1 a2b2 a3b3 0 非零向量 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v u u1 u2 v1 v2 v1 v2 v u u1 u2 u1 u2 0 一种思想用坐标表示向量是对空间向量大小和方向的量化 1 以原点为起点的向量 其终点坐标即向量坐标 2 向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标 得到向量坐标后 可通过向量的坐标运算解决平行 垂直等位置关系 计算空间成角和距离等问题 助学 微博 1 2013 西安模拟 与向量a 1 3 2 平行的一个向量的坐标为 考点自测 答案c a b c 相交但不垂直d 以上均不正确答案c 2 人教a版教材习题改编 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 答案c 若n1 n2分别是平面 的法向量 则n1 n2 若n1 n2分别是平面 的法向量 则 n1 n2 0 若n是平面 的法向量 a与 共面 则n a 0 若两个平面的法向量不垂直 则这两个平面一定不垂直 答案 4 下列命题中 所有正确命题的序号为 5 如图所示 在空间直角坐标系中 有一棱长为a的正方体abco a b c d a c的中点e与ab的中点f的距离为 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 考向一利用空间向量证明平行问题 法一是建立坐标系 通过坐标运算证明结论 法二和法三没有建系 直接通过向量的分解等运算进行证明 当然在法二和法三中也可通过建立坐标系 利用坐标运算来证明 训练1 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 平面pad 平面abcd且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 例2 2012 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明 pc ad 2 求二面角a pc d的正弦值 3 设e为棱pa上的点 满足异面直线be与cd所成的角为30 求ae的长 考向二利用空间向量证明垂直问题 审题视点 直接用向量法解决 即建系求点坐标 求向量坐标 用向量知识解决 用向量法解答这类题要做到以下几点 建系要恰当 建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线 如果图中没有现成的 就需进行垂直转化 求点的坐标及有关计算要准确无误 这就需要在平时加强训练 步骤书写要规范有序 训练2 如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 考向三利用空间向量求空间距离 审题视点 由平面sac 平面abc sa sc ba bc 可知本题可以取ac中点o为坐标原点 分别以oa ob os所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 用向量法求解 训练3 2013 江西六校联考 如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的 其中ab 4 bc 2 cc1 3 be 1 1 求bf的长 2 求点c到平面aec1f的距离 命题研究 折叠问题是近几年高考的热点问题 通常是把某个图形按照给定的条件折叠 通过折叠前后图形变换的相互关系来命题 注重考查学生的实践能力与创新能力 处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系 弄清折叠前后哪些发生了变化 哪些没有发生变化 然后充分利用空间向量 化繁为简 有效降低题目难度 规范解答14 利用空间向量解决立体几何中的折叠问题 1 证明 aa1 bc 2 求aa1的长 3 求二面角a bc a1的余弦值 教你审题 本题中的垂直条件比较充分 三个设问中以定量运算为主 所以可以建立空间直角坐标系 运用空间向量知识求解 若用综合法求解 对大部分考生来说有一定难度 特别是第 3 问 计算量也同时增加 规范解答 1 证明取bc b1c1的中点分别为d和d1 连接a1d1 dd1 ad 由bb1c1c为矩形知 dd1 b1c1 因为平面bb1c1c 平面a1b1c1 所以dd1 平面a1b1c1 又由a1b1 a1c1知 a1d1 b1c1 故以d1为坐标原点 可建立如图所示的空间直角坐标系d1 xyz 2分 由题设 可得a1d1 2 ad 1 由以上可知ad 平面bb1c1c a1d1 平面bb1c1c 于是ad a1d1 所以a 0 1 4 b 1 0 4 a1 0 2 0 c 1 0 4 d 0 0 4 阅卷老师手记 一 求解翻折问题的关键有两点 1 画好两个图 翻折前的平面图和翻折后的立体图2 分析好两个关系 翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化 哪些没有变 这些不变的和变化的量反映了折叠后的空间图形的结构特征 一般地 在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的 涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是要变的 分别位于两个半平面内但垂直于棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱 二 求从同一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题 通常是把集合体的侧面展开 转化为平面图形中的距离问题 运用空间向量解决立体几何问题的解题步骤如下 第一步 建系 根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系 第二步 定坐标 确定点的坐标进而求出有关向量的坐标 第三步 向量运算 进行相关的空间向量的运算 第四步 翻译 将向量中的语言 翻译 成相应的立体几何中的语言 完成几何问题的证明 第五步 得结论 得出本题结论 试一试 2012 北京 如图 1 在rt abc中 c 90 bc 3 ac 6 d e分别是ac ab上的点 且de bc de 2 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1c cd 如图 2 1 求证 a1c 平面bcde 2 若m是a1d的中点 求c