高考数学一轮复习 8.1 椭圆课件 文 新人教A版.ppt

8 1椭圆 一 椭圆的定义 平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数2a 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点f1 f2间的距离叫做椭圆的焦距 1 定义的数学表达式为 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 在椭圆的定义中 若2a f1f2 动点的轨迹是线段f1f2 当2a f1f2 时 动点的轨迹是不存在的 二 椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上的椭圆标准方程 1 a b 0 其中a2 b2 c2 焦点坐标为 c 0 2 焦点在y轴上的椭圆标准方程 1 a b 0 其中a2 b2 c2 焦点坐标为 0 c 确定一个椭圆的标准方程 必须要有一个定位条件 即确定焦点的位置 和其他两个条件 即确定a b的大小 主要有定义法 待定系数法 有时还可根据条件用代入法 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是 第一 作判断 根据条件判断椭圆焦点在x轴上还是在y轴上 还是不确定在哪个坐标轴上 第二 设方程 根据上述判断 设为 1 a b 0 或 1 a b 0 或者mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 第三 找关系 根据已知条件建立a b c或m n的方程组 第四 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求椭圆的标准方程 三 椭圆的简单几何性质 一般而言 1 椭圆有两条对称轴 它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线 2 椭圆都有四个顶点 顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 3 离心率确定了椭圆的形状 扁圆状态 当离心率越接近于0 椭圆越圆 当离心率越接近于1时 椭圆越扁 1 将直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 然后通过判别式 来判断直线和椭圆是否相交 相切或相离 2 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标 通常是写成两根之和与两根之积的形式 这是进一步解题的基础 3 直线y kx b k 0 与圆锥曲线相交于a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 或 ab y1 y2 四 直线与椭圆的位置关系 1 设p是椭圆 1上的点 若f1 f2是椭圆的两个焦点 则 pf1 pf2 等于 a 4 b 5 c 8 d 10 解析 由椭圆定义知 pf1 pf2 2a 10 答案 d 2 椭圆两焦点为f1 4 0 f2 4 0 p在椭圆上 若 pf1f2的面积的最大值为12 则该椭圆的标准方程为 a 1 b 1 c 1 d 1 得b 3 又c 4 所以a2 b2 c2 25 故椭圆的标准方程为 1 答案 a 解析 根据题意可设 1 a b 0 再设p x0 y0 则 pf1f2的面积为 f1f2 y0 8 y0 4 y0 4b 所以 此时4b 12 解 3 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 a 3 b 2 c 2 d 4 解析 根据题意设椭圆方程为 1 b 0 则将x y 4代入椭圆方程 得4 b2 1 y2 8b2y b4 12b2 0 椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 8b2 2 4 4 b2 1 b4 12b2 0 即 b2 4 b2 3 0 b2 3 长轴长为2 2 答案 c 题型1椭圆的定义及应用 例1 1 设定点f1 0 3 f2 0 3 动点p x y 满足条件 pf1 pf2 2a a 0 则动点p的轨迹是 a 椭圆 b 线段 c 椭圆或线段或不存在 d 不存在 2 已知点a 4 0 和b 2 2 m是椭圆 1上一动点 则 ma mb 的最大值是 分析 1 由于常数2a不确定 根据动点p满足的几何条件来判断其轨迹 2 利用椭圆的定义和三角形的三边之间的关系求最值 解析 1 根据椭圆的定义 当且仅当常数2a大于 f1f2 时 才是椭圆 而当2a f1f2 时 动点的轨迹是线段f1f2 当2a f1f2 时 动点的轨迹是不存在的 本题中的a不确定 因此动点p的轨迹可能是椭圆 也可能是线段或不存在 所以选c 2 显然a是椭圆的右焦点 如图所示 设椭圆的左焦点为a1 连接ba1并延长交椭圆于m1 则m1是使 ma mb 取得最大值的点 事实上 对于椭圆上的任意点m有 ma mb 2a ma1 mb 2a a1b 当m1与m重合时取等号 ma mb 的最大值为10 2 答案 1 c 2 10 2 点评 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性 正确理解并掌握定义是进一步学习的基础 应注意椭圆定义中的常数大于两定点距离 同时 利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化 一般地 解决与到焦点的距离有关的问 题时 首先应考虑用定义来解题 变式训练1 1 已知椭圆 1 a b 0 m为椭圆上一动点 f1为椭圆的左焦点 则线段mf1的中点p的轨迹是 a 圆 b 椭圆 c 线段 d 一段抛物线 2 在平面直角坐标系xoy中 已知 abc的顶点a 4 0 和c 4 0 顶点b在椭圆 1上 则 解析 1 如图所示 op mf2 mf2 mf1 2a op 2a mf1 a mf1 a pf1 pf1 po a 又 f1o c a 点p的轨迹是以f1 o为焦点的椭圆 故选b 2 设 abc的角a b c的对边分别为a b c 由椭圆定义可得a c 2 5 10 b 2 4 8 根据正弦定理可得 答案 1 b 2 题型2求椭圆的标准方程 例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 经过点p 2 1 q 2 两点 2 与椭圆 1有相同的离心率且经过点 2 分析 对于 1 考虑巧妙地设椭圆方程可避开分类讨论的麻烦 对于 2 利用离心率相同可设出椭圆的一般形式 点p 2 1 q 2 在椭圆上 代入上述方程得 解得 所求椭圆标准方程为 1 解析 1 设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 2 由题意 设所求椭圆的方程为 t t 0 椭圆过点 2 t 2 故所求椭圆标准方程为 1 有两解 有时为了解题需要 椭圆方程可设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 由题目所给条件求出m n即可 点评 运用待定系数法求椭圆标准方程 即设法建立关于a b的方程组 先定型 再定量 若位置不确定时 考虑是否 变式训练2 1 已知椭圆g的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12 求椭圆g的方程 2 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的3倍 并且过点p 3 0 求椭圆的方程 又e 故c 3 b2 a2 c2 36 27 9 椭圆标准方程为 1 2 若焦点在x轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过p 3 0 1 即a 3 又2a 3 2b b 1 方程为 y2 1 解析 1 设椭圆的长半轴为a 由2a 12知a 6 若焦点在y轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过点p 3 0 1 即b 3 又2a 3 2b a 9 方程为 1 综上所述 所求椭圆的方程为 y2 1或 1 题型3椭圆几何性质的应用 例3已知b是椭圆e 1 a b 0 上的一点 f是椭圆右焦点 且bf x轴 b 1 2 设a1和a2是长轴的两个端点 直线l垂直于a1a2的延长线于点d od 4 p是l上异于点d的任意一点 直线a1p交椭圆e于m 不同于a1 a2 设 求 的取值范围 分析 1 先由点b的坐标确定右焦点的坐标 然后确定半焦距c 再由椭圆定义或直接列方程组求得a b 得椭圆e的方程 2 设m x0 y0 利用由p m a1三点共线及两个向量的数量积 用x0表示出 根据椭圆中横坐标的范围确定 的取值范围 1 求椭圆e的方程 解析 1 依题意可得右焦点f 1 0 半焦距c 1 左焦点为f 1 0 则2a bf bf 由b 1 bf 及由距离公式得 bf 2a 4 a 2 b2 a2 c2 22 12 3 所以椭圆e的方程为 1 2 由 1 知 a1 2 0 a2 2 0 设m x0 y0 m在椭圆e上 4 由p m a1三点共线可得p 4 x0 2 y0 2 2 x0 2 2 x0 2 x0 2 0 10 即 的取值范围是 0 10 点评 当设椭圆 1 a b 0 上点的坐标为p x y 时 则 x a 这往往在求与点p有关的最值问题中特别有用 也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 变式训练3已知椭圆 1 a b 0 的长 短轴端点分别为a b 从椭圆上一点m 在x轴上方 向x轴作垂线 恰好通过椭圆的左焦点f1 1 求椭圆的离心率e 2 设q是椭圆上任意一点 f1 f2分别是左 右焦点 求 f1qf2的取值范围 解析 1 f1 c 0 xm c ym kom kab b c 故e 2 设 f1q r1 f2q r2 f1qf2 r1 r2 2a f1f2 2c cos 1 1 0 当且仅当r1 r2时 cos 0 0 题型4直线与椭圆的位置关系 例4已知椭圆c 1 a b 0 的右焦点为f 离心率e 椭圆c上的点到f的距离的最大值为 1 直线l过点f与椭圆c交于不同的两点a b 1 求椭圆c的方程 2 若 ab 求直线l的方程 大距离为a c及离心率列出方程组求解即可 2 设出直线l的方程 代入椭圆方程 由 ab 的值求出直线l的方程的参数 解析 1 由题意知 解得a c 1 从而b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 分析 1 根据椭圆上任意一点到焦点的所有距离中的最 2 容易验证直线l的斜率不为0 故可设直线l的方程为x my 1 代入 y2 1中 得 m2 2 y2 2my 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 则由根与系数的关系 得y1 y2 y1y2 ab y2 y1 解得m 所以直线l的方程为x y 1 即x y 1 0或x y 1 0 点评 本小题主要考查椭圆的几何性质 椭圆与直线的位置关系等基础知识 在求解直线与椭圆的综合问题时要注意联立方程组 利用根与系数之间的关系和设而不求的思想将所求问题进行相应的转化 从而化难为易 提高解题效率 变式训练4已知椭圆c 1 a b 0 经过点a 2 1 离心率为 1 求椭圆c的方程 2 过点b 3 0 的直线与椭圆c交于不同的两点m n 求 的取值范围 解析 1 由题意得解得a b 故椭圆c的方程为 1 2 由题意 显然直线的斜率存在 设直线方程为y k x 3 由得 1 2k2 x2 12k2x 18k2 6 0 因为直线与椭圆c交于不同的两点m n 所以 144k4 4 1 2k2 18k2 6 24 1 k2 0 解得 1 k 1 设m n的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2 x1x2 y1 k x1 3 y2 k x2 3 所以 x1 3 x2 3 y1y2 1 k2 x1x2 3 x1 x2 9 因为 1 k 1 所以2 3 故 的取值范围为 2 3 1 在解题中凡涉及求椭圆上的点到焦点的距离时 应注意利用定义求解 2 运用待定系数法求椭圆标准方程 即设法建立关于a b的方程组 先定型 再定量 当焦点位置不确定时 应设椭圆的标准方程为 1 a b 0 或 1 a b 0 或者不必考虑焦点位置 直接把椭圆的标准方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 这样可以避免讨论及繁杂的计算 如当已知椭圆上两点求椭圆标准方程时 这种形式在解题时更简便 3 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析 即使不画出图形 思考时也要联想到图形 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的关系 挖掘出它们之间的内在联系 1 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系 例如对椭圆 1 a b 0 上的点p x y 点p的坐标除满足方程外 还有 a x a b y b 0 e 1等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者求这些量的最大值或最小值时 经常用到这些不等关系 2 求椭圆离心率时 应先将e用有关的一些量表示出来 再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式 从而求出e的值或范围 离心率e与a b的关系 e2 1 3 椭圆上任意一点m到焦点f的所有距离中 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离a c和最小距离a c 点个数进行研究 用一元二次方程根的判别式 根与系数之间的关系 求根公式等来处理问题 还要注意数形结合思想的运用 通过图形的直观性帮助分析 解决问题 若已知圆锥曲线的弦的中点坐标 可设出弦的端点坐标 代入方程 用点差法求弦的斜率 注意求出方程后 通常要检验 4 解决直线与椭圆的位置关系时 一般通过直线与椭圆的交 例若椭圆 1的离心率e 则k的值为 错解 由已知a2 k 8 b2 9 又e 所以e2 解得k 4 所以填4 轴上 也可能在y轴上 所以应分两种情况求解 正解 1 若焦点在x轴上 即k 8 9 0时 已知a2 k 8 b2 9 又e 所以e2 解得k 4 2 若焦点在y轴上 即0 k 8 9时 由已知a2 9 b2 k 8 又e 所以e2 解得k 综上所述 k的值为4或 剖析 由于所给椭圆焦点的位置不确定 即焦点可能在x 答案 4或 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 椭圆 1的右焦点到直线y x的距离是 a b c 1 d 解析 由椭圆 1知a 2 b 所以c 1 从而椭圆的右焦点为 1 0 直线y x即为x 3y 0 所以右焦点到直线的距离为d 故选a 答案 a 2 基础再现 椭圆x2 my2 1的焦点在y轴上 长轴长是短轴长的两倍 则m的值为 a b c 2 d 4 解析 将方程x2 my2 1变形为x2 1 则有a2 b2 1 又2a 2 2b 4b 即a 2b 所以a2 4b2 所以 4 1 得m 答案 a 3 基础再现 设x y r 且2y是1 x和1 x的等比中项 得动点 x y 的轨迹为除去x轴上点的 a 一条直线 b 一个圆 c 双曲线的一支 d 一个椭圆 解析 由2y是1 x和1 x的等比中项 得 2y 2 1 x 1 x 整理得4y2 1 x2 即x2 4y2 1 y 0 它表示除去x轴上点的椭圆 答案 d 4 视角拓展 点p x y 是椭圆 1 a b 0 上的任意一点 f1 f2是椭圆的两个焦点 且 f1pf2 90 则该椭圆的离心率的取值范围是 a 0 e b e 1 c 0 e 1 d e 90 易得c b 即c 得e 解得e 故0 e 答案 a 解析 根据 f1pf2最大时 点p在短半轴端点上 又 f1pf2 5 高度提升 p是椭圆 y2 1上的一点 f为一个焦点 且 pof为等腰三角形 o为原点 则点p的个数为 a 8 b 6 c 4 d 2 解析 假设f为左焦点 0 如图 当 of op 时 以o为圆心 of 为半径做圆 与椭圆有4个交点 则有4个p点满足 pof为等腰三角形 当 pf fo 时 以f 0 为圆心 fo 为半径做圆 因为 2 所以有2个交点 当 pf po 时 作of的垂直平分线与椭圆有2个交点 所以符合条件的p点有8个 答案 a 6 基础再现 已知椭圆 1 长轴在y轴上 若焦距为4 则m等于 解析 椭圆焦点在y轴上 a2 m 2 b2 10 m 又c 2 m 2 10 m 22 4 m 8 答案 8 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 椭圆 1上一点到两焦点的距离分别为d1 d2 焦距为2c 若d1 2c d2成等差数列 则椭圆的离心率为 解析 由椭圆的定义可知d1 d2 2a d1 2c d2成等差数列 2c a 即e 答案 8 视角拓展 设f1 f2分别是椭圆 y2 1的左 右焦点 若q是该椭圆上的一个动点 则 的最大值为 解析 由题意知a 2 b 1 c 所以f1 0 f2 0 设q x y 则 x y x y x2 y2 3 x2 1 3 3x2 8 x 2 2 当x 2 即点q为椭圆的长轴端点时 有最大值1 答案 1 9 高度提升 设f1 f2分别是椭圆 1的左 右焦点 p为椭圆上任一点 点m的坐标为 6 4 则 pm pf1 的最大值为 解析 pf1 pf2 10 pf1 10 pf2 pm pf1 10 pm pf2 易知m点在椭圆外 连接mf2并延长交椭圆于p点 此时 pm pf2 取最大值 mf2 故 pm pf1 的最大值为10 mf2 10 15 答案 15 10 基础再现 已知直线x ky 3 0所经过的定点f恰好是椭圆c的一个焦点 且椭圆c上的点到点f的最大距离为8 1 求椭圆c的标准方程 2 已知圆o x2 y2 1 直线l mx ny 1 试证明 当点p m n 在椭圆c上运动时 直线l与圆o恒相交 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 设椭圆c的方程为 1 a b 0 则解得 所以椭圆c的方程为 1 解析 1 由x ky 3 0得 x 3 ky 0 所以直线过定点 3 0 即f 3 0 d 1 所以直线l与圆o恒相交 2 因为点p m n 在椭圆c上运动 所以 1 从而圆心o到直线l mx ny 1的距离 11 高度提升 已知a b c是椭圆m 1 a b 0 上的三点 其中点a的坐标为 2 0 bc过椭圆m的中心 且 0 2 1 求椭圆m的方程 2 设d为椭圆m与y轴负半轴的交点 若存在过点e 0 t 的直线l 斜率存在 与