三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.6 不等式的综合应用课件.ppt_第1页
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6 6不等式的综合应用 1 不等式的实际应用 题源丰富 综合性强 是高考应用题命题的重点内容之一 不等式应用题大都以函数的面目出现 以最优化的形式展现 在解题的过程中涉及基本不等式 这类应用题还常常与函数 数列 立体几何相结合 不等式应用题的特点 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 税收 销售收入 市场信息 等 题目往往篇幅较长 2 函数模型除了常见的 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 三角函数 等标准形式以外 又出现了以函数 y ax y ax2 y k a b x c ax d bx 为模型的新形式 解答不等式的实际应用题 一般可分为如下四步 第一步 阅读理解材料 应用题所用语言多为 文字语言 符号语言 图形语言 并用 而且不少应用题文字叙述篇幅较长 阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型 这就要求解题者领悟问题的实际背景 确定问题中量与量之间的关系 初步形成用怎样的模型能够解决问 题的思路 明确解题方向 第二步 建立数学模型 根据第一步中的分析 把实际问题用 符号语言 图形语言 抽象成数学模型 并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系 以便确立下一步的努力方向 第三步 讨论不等关系 根据第二步中建立起来的数学模型和题目要求 讨论与结论有关的不等关系 得出有关理论参数的值 第四步 得出问题结论 根据第三步中得到的理论参数的值 结合题目要求得出问题的结论 2 不等式既是中学数学的一个重要内容 又是学好数学其他内容必须掌握的一种工具 在高考试题中出现的频率较高 其中 利用基本不等式求函数的最值是高考的重点和热点 3 利用不等式解决和不等式有关的实际问题时 关键是建立问题的数学模型或转化为相应的不等式 组 4 不等式的应用广泛且灵活 在具体问题的处理中 一要认真审清题意 二要灵活应用不等式的有关知识 5 不等式的应用非常广泛 它贯穿于整个高中数学的始终 诸如集合问题 方程 组 的解的讨论 函数定义域 值域的确定 函数单调性的研究 三角 数列 复数 立体几何与解析几何中的最值问题 直线与圆锥曲线位置关系的讨论 等等 这些无一不与不等式有着密切的关系 1 若不等式x2 2x a y2 2y对任意实数x y都成立 则实数a的取值范围是 a a 0b a 1c a 2d a 3答案ca y2 2y x2 2x 而 y2 2y x2 2x y 1 2 x 1 2 2 2 a 2 故选c c 2 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 a 5千米处b 4千米处c 3千米处d 2千米处答案a由已知得y1 y2 0 8x x为仓库与车站距离 费用之和y y1 y2 0 8x 2 8 当且仅当0 8x 即x 5时 等号成立 故选a c 3 已知当x 0 1 时 不等式2m 1 x m2 1 恒成立 则m的取值范围是 答案m 0解析令f x x m2 1 2m 1 由f x 在 0 1 上恒大于0 知得m 0 c 4 已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 对任意的x1 1 2 存在x0 1 2 使得g x1 f x0 则a的取值范围是 答案解析f x x2 2x x 1 2 1 x 1 2 f x 的值域a 1 3 a 0 g x ax 2是增函数 当x 1 2 时 g x 的值域b 2 a 2 2a 对任意的x1 1 2 存在x0 1 2 使得g x1 f x0 b a a 又a 0 a的取值范围是 c 5 不等式a2 3b2 b a b 对任意a b r恒成立 则实数 的最大值为 答案2解析由题意知a2 ba 3 b2 0对任意a b r恒成立 当b 0时 两边同时除以b2 得 3 0对 r恒成立 故 0 即 2 4 3 0 解得 6 2 当b 0时 r 综上 的取值范围为 6 2 故 的最大值是2 c 6 实数x y满足x2 y2 4 则x y xy的最大值为 答案解析设x 2cos y 2sin 则x y xy 2 cos sin 4sin cos 2 cos sin 2 cos sin 2 2 设cos sin t 则t 从而x y xy 2t2 2t 2 2 故当t 时 x y xy取到最大值 c 不等式与函数 方程的综合应用典例1 2015嘉兴教学测试一 18 15分 设二次函数f x ax2 bx c a b r 满足条件 当x r时 f x 的最大值为0 且f x 1 f 3 x 成立 二次函数f x 的图象与直线y 2交于a b两点 且 ab 4 1 求f x 的解析式 2 求最小的实数n n 1 使得存在实数t 只要当x n 1 时 就有f x t 2x成立 解析 1 由f x 1 f 3 x 可知函数f x 的对称轴为x 1 由f x 的最大值为0 可设f x a x 1 2 a 0 令a x 1 2 2 则x 1 易知2 4 解得a 所以f x x 1 2 2 由f x t 2x可得 x 1 t 2 2x 即x2 2 t 1 x t 1 2 0 解得 t 1 2 x t 1 2 又f x t 2x在x n 1 时恒成立 可得由 得0 t 4 令g t t 1 2 易知g t t 1 2单调递减 所以 g t g 4 9 由于只需存在实数t 故n 9 则n能取到的最小实数为 9 此时 存在实数t 4 只要当x n 1 时 就有f x t 2x成立 在给定区间内不等式解集为非空 与在该区间上不等式恒成立是两类不同的问题 不能混淆 一般地 二者都可以采用数形结合 用解不等式 组 来解 但有时会很繁杂 用分离变量的思想方法求解 简单明了 也更容易区别两类问题的不同 即 当x a b 时 m f x 有解 只要m f x min 而当x a b 时 m f x 恒成立 则需m f x max 讨论方程根的分布问题中的参数取值范围时 除了用不等式的知识求解以外 有时采用分离参数的方法 转化为函数的值域问题更加简便 1 1 2015四川 9 5分 如果函数f x m 2 x2 n 8 x 1 m 0 n 0 在区间上单调递减 那么mn的最大值为 a 16b 18c 25d 答案b解析当m 2时 f x n 8 x 1在区间上单调递减 则n 8 0 n 8 于 c 是mn2时 f x 的图象开口向上 要使f x 在区间上单调递减 需 2 即2m n 12 而2m n 2 所以mn 18 当且仅当即时 取 此时满足m 2 故 mn max 18 故选b 1 2 2015台州一模 20 15分 设函数f x ax b a b r 1 若函数y f x 2为奇函数 且函数f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 求函数f x 的解析式 2 若a 1 方程f x x在区间有两个不同的实数根 求实数b的最小值 解析 1 因为函数y f x 2为奇函数 所以b 2 当a 0时 f x 在 0 上单调递减 不满足要求 当a 0时 f x 在上单调递减 f x 在上单调递增 所以 1 所以a 1 所以f x x 2 2 方程f x x在区间上有两个不同的实数根 可转化为 b x c 在上有两个不同的解 令g x x 因为g x x在上单调递减 在 2 上单调递增 所以当g b min 即 b 时 原方程有两个不同的解 不等式中的恒成立问题典例2 2015衢州一模 22 15分 已知函数fn x axn bx c a b c r 1 若f1 x 3x 1 f2 x 为偶函数 求a b c的值 2 若对任意实数x 不等式2x f2 x x 1 2恒成立 求f2 1 的取值范围 3 当a 1时 对任意x1 x2 1 1 恒有 f2 x1 f2 x2 4 求实数b的取值范围 解析 1 由f1 x 3x 1 f2 x 为偶函数得 a 3 b 0 c 1 2 由题意可知f2 1 2 f2 1 2 f2 1 2 a b c 2 对任意实数x都有f2 x 2x 即ax2 b 2 x c 0恒成立 又a b c 2 a c c b 2 2a 此时f2 x x 1 2 x 1 2 对任意实数x都有f2 x x 1 2成立 01 即 b 2时 m f2 1 f2 1 2 b 4 与题设矛盾 ii 当 1 0 即0 b 2时 m f2 1 f2 4恒成立 iii 当0 1 即 2 b 0时 m f2 1 f2 4恒成立 综上可知 实数b的取值范围是 2 b 2 解不等式中恒成立问题的方法 1 分离变量 将要求解的参数与已知参数分开 转化为求一个新函数的最值问题 2 构造函数 将已知范围的参数看作自变量构造函数 然后利用此函数的图象与性质来解决 3 数形结合 通过构造两个函数 画出它们 的图象 借助两个图象比较两函数值的大小 从而求出参数的取值范围 2 1 2015台州一模 12 6分 若对任意x 1 2 不等式2x a log2x成立 则实数a的取值范围是 若存在x 1 2 使得不等式2x a log2x成立 则实数a的取值范围是 答案aa log2x可转化为aa log2x成立 只需aa log2x成立 只需a 5 c 不等式在实际问题中的应用典例3 2015山东泰安调研 某公司生产的商品a当每件售价为5元时 年销售10万件 1 据市场调查 若价格每提高1元 销量相应减少1万件 要使销售收入不低于原销售收入 该商品的销售价格最多可提高多少元 2 为了扩大该商品的影响力 公司决定对该商品的生产进行技术革新 将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元 公司拟投入 x2 x 万元作为技改费用 投入万元作为宣传费用 试问 技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时 才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和 解析 1 设该商品的销售价格提高a元 则 10 a 5 a 50 解得0 a 5 所以商品的价格最多可以提高5元 2 由题意知 技术革新后的销售收入为mx万元 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和 只需满足mx x2 x 50 x 5 即可 此时m x 2 当且仅当x 即x 10时 取 故销售量至少应达到万件时 才能使技术革新后的销售收入等于原销 售收入与总投入之和 利用不等式解决应用问题的方法建立常见的函数模型有 正 反 比例函数 一次函数 二次函数 分段函数以及y ax a 0 b 0 等 解函数应用题中的最值问题一般利用二次 函数的性

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