高考数学一轮复习 2.11 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版.ppt

2 11导数在研究函数中的应用 一 利用导数判断函数的单调性 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么f x 为增函数 如果f x 0 那么f x 为减函数 如果在某个区间内恒有f x 0 那么f x 为常数函数 二 函数的极值 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 就称f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值和极小值统称为极值 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 且有f x0 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 且有f x0 0 那么f x0 是极小值 四 求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求出方程f x 0的根 三 判别f x0 是极大 小 值的方法 3 检查在方程的根左 右f x 的值的符号 如果左正右负 那么在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 那么这个根不是极值点 五 利用导数求函数的最值 1 一般地 在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 求最值的步骤如下 1 求函数f x 在 a b 内的极值 2 求函数f x 在区间端点的值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的是最大值 最小的是最小值 2 利用导数研究实际问题的最值 其一般步骤为 分析实际问题中各量之间的关系 找出对应的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 注意函数的实际需要的限制 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较函数在定义域的区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 其中最大的为最大值 最小的为最小值 1 函数f x x lnx的单调增区间为 a 1 0 b 0 c 1 2 d 0 e 解析 因为函数f x 的定义域为 0 则f x 1 0的解为 0 所以其单调增区间为 0 答案 b 2 函数y 2sinx的图像大致是 此时x满足的区间原函数是减函数 又原函数为奇函数 可得选c正确 答案 c 解析 因为y 2cosx 所以令y 2cosx 0 得cosx 3 已知函数f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则a的取值范围是 a 1 b 1 0 c 0 1 d 0 解析 由题意知 a 0 当 10时 显然不满足题意 当a 1时 显然不满足题意 答案 b 题型1利用导数研究函数的单调性 例1 1 若f x x2 blnx在 2 上是减函数 则b的取值范围是 a 4 b 4 c 4 d 4 2 函数y 2sinx ex在 1 上 a 为增函数 b 为减函数 c 先增后减 d 先减后增 分析 利用导数取值的正负与函数的单调性之间的关系求解 其中第 1 小题转化为不等式f x 0在 2 上的恒成立问题 第 2 小题 求导后利用f x 0或f x 0 解不等式即得单调区间 解析 1 f x x 则问题即为 x 0在 2 上恒成立 可化为b x2在 2 上恒成立 而x2在 2 上大于4 则b 4 2 y 2cosx ex 而ex e 2cosx 2 y 0 那么在区间 1 上 函数y 2sinx ex为增函数 答案 1 c 2 a 写成并集的形式 本题考查了函数思想和转化的思想 点评 利用求导的方法确定函数的单调区间时 必须先求出函数的定义域 然后再求导判断符号 以避免不该出现的失误 注意不要将两个以上各自独立的单调递增 或递减 区间 变式训练1 1 若函数f x 的导函数f x x2 4x 3 则函数f x 1 的单调递减区间是 a 0 2 b 1 3 c 4 2 d 3 1 2 已知函数f x alnx x2 x的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 则a的值为 a 1 b 0 c 3 d 2 解析 1 由f x 0解得x 3或x 1 且1 3是f x 的极值点 则f x 1 的极值点为0 2 所以函数的单调递减区间是 0 2 2 由题意可知f 1 0 解得a 3 答案 1 a 2 c 例2已知函数f x ex 2x2 3x 1 求证 函数f x 在区间 0 1 上存在唯一的极值点 2 当x 时 若关于x的不等式f x x2 a 3 x 1恒成立 求实数a的取值范围 分析 根据极值点存在性可转化为存在唯一的零点来处理 恒成立问题可以转化为求函数的最值问题来处理 题型2利用导数研究函数的极值或最值 f 0 f 1 0 令h x f x ex 4x 3 则h x ex 4 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x 在 0 1 上存在唯一零点 f x 在 0 1 上存在唯一的极值点 2 由f x x2 a 3 x 1得ex 2x2 3x x2 a 3 x 1 解析 1 f x ex 4x 3 f 0 e0 3 20 即ax ex x2 1 x a 令g x 则g x 令 x ex x 1 x2 1 则 x x ex 1 x x 0 x 在 上单调递增 x 0 因此g x 0 故g x 在 上单调递增 则g x g 2 a g x 恒成立时 a g x min a的取值范围是 2 点评 函数的最值可以通过求导 判断函数的单调性 从而确定最值的大小 或根据最值出现在极值点和端点处来确定 变式训练2已知函数g x lnx x 1 1 求函数g x 的极大值 2 求证 ln n n 解析 1 g x lnx x 1 g x 1 x 0 令g x 0 得01 函数g x 在 0 1 上递增 在 1 上递减 g x 极大值 g 1 2 2 由 1 知x 1是函数g x 的极大值点 也是最大值点 g x g 1 2 即lnx x 1 2 lnx x 1 当且仅当x 1时等号成立 令t x 1得 t ln t 1 取t n n 则 ln 1 ln 原不等式得证 题型3利用导数研究函数的实际应用问题 例3某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c千元 c 3 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求费用最小时的r 分析 本题根据题意可建立函数关系式 再利用导数的知识便可得到最优解 解析 1 因为容器的体积为立方米 所以 r2l 解得l 又因为l 2r 0 r 2 所以圆柱的侧面积为2 rl 2 r 两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以y 8 r2 4 cr2 定义域为 0 2 2 因为y 16 r 8 cr r3 r 0 2 因为c 3 c 2 0 当r3 0 即r 若 当r 0 时 y 0 所以r 是函数的极小值点 也是最小值点 若 2 即3 c 当r 0 2 时 y 0 函数单调递减 r 2是函数的最小值点 综上 若c 当建造费用最小时 r 若3 c 当建造费用最小时 r 2 点评 函数的实际应用问题是高考考查的一个重要知识点 该知识点重点考查的是建模的能力和利用导数研究函数性质的能力 解决这类问题的关键是找到题目中的等量关系 再设置恰当的变量 便可得到需要的函数关系 结合导数便可研究函数最值的取值情况 从而得到问题的解 变式训练3某家庭手工作坊生产某种儿童玩具 每件玩具的成本价为10元 并且每件玩具的加工费为2元 设该手工作坊每件玩具的卖出价为x元 15 x 21 根据市场调查 日销售量c k为常数 当每件玩具的卖出价为20元时 日销售量为10件 1 求该手工作坊的日利润y 元 与每件玩具的卖出价x元的函数关系式 2 当每件玩具的售价为多少元时 该手工作坊的利润y最大 并求y的最大值 解析 1 依题意 日销售量c 当x 20时 c 10代入 得10 k 1360 c y x 10 2 15 x 21 2 由 1 知y 15 x 21 y 当y 0时 x 8 舍去 或x 16 又当x 15 16 时 y 0 当x 16 21 时 y 0 当x 16时 y取最大值 把x 16代入原式得y 85 y的最大值为85 导数的应用问题主要考查利用导数研究函数性质的问题 一般为解答题 主要是函数的单调性及导数在实际问题中的应用 解决这类问题的关键是熟练运用导数的知识研究函数的性质 近几年的解答题常在简单的指数 对数复合函数及应用题上设计试题 应引起足够的重视 例 12分 已知函数f x lnx ax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 解析 1 f x a x 0 1分 当a 0时 f x a 0 即函数f x 的单调增区间为 0 3分 当a 0时 令f x a 0 可得x 当00 当x 时 f x 0 故函数f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 5分 2 当 1 即a 1时 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 f x 的最小值是f 2 ln2 2a 7分 当 2 即0 a 时 函数f x 在区间 1 2 上是增函数 f x 的最小值是f 1 a 9分 当1 2 即 a 1时 函数f x 在 1 上是增函数 在 2 上是减函数 又f 2 f 1 ln2 a 当 a ln2时 最小值是f 1 a 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 11分 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是f x min a 当a ln2时 函数f x 的最小值是f x min ln2 2a 12分 答题流程 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可 用以下几步答题 第一步 求函数f x 的导数f x 第二步 求f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求f x 在给定区间上的端点值 第四步 将f x 的各极值与f x 的端点值比较 确定f x 的最大值与最小值 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 点评 1 本题考查求函数的单调区间 求函数在给定区间 1 2 上的最值 属常规题型 2 本题的难点是分类讨论 考生在分类时易出现不全面 不准确的情况 3 思维不流畅 答题不规范 是解答中的突出问题 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 已知函数f x x3 x2 12x 1 x r 在x 1 5 上的单调减区间是 a 2 3 b 1 3 c 3 5 d 4 5 解析 f x 2x2 2x 12 0 解得 2 x 3 又因为x 1 5 所以所求区间是 1 3 答案 b 2 基础再现 若函数f x x3 6bx 3b在 0 1 内有极小值 则实数b的取值范围是 a 0 1 b 1 c 0 d 0 解析 依题意有解得0 b 答案 d 3 视角拓展 对于r上的可导的任意函数f x 若满足 x2 3x 2 f x 0 则函数f x 在区间 1 2 上必有 a f 1 f x f 2 b f x f 1 c f x f 2 d f x f 1 或f x f 2 解析 x 1 2 时 x2 3x 2 0 此时有f x 0 即f x 在 1 2 为增函数 所以a正确 答案 a 4 视角拓展 函数f x x 2cosx 0 x 的最大值为 a b 2 c 3 d 1 解析 f x 1 2sinx 可知其极大值点为x 显然 函数的最大值为f 答案 a 5 高度提升 已知函数f x 的定义域为 1 5 部分对应值如下表 f x 的导函数y f x 的图像如图所示 下列关于函数f x 的命题 函数y f x 是周期函数 函数f x 在 0 2 是减函数 如果当x 1 t 时 f x 的最大值是2 那么t的最大值为4 当1 a 2时 函数y f x a有4个零点 其中真命题的个数是 a 4个 b 3个 c 2个 d 1个 解析 由题意可知 是错误的 显然正确 显然也是错误的 因为f 2 的值不确定 所以 也是错误的 答案 d 6 基础再现 已知函数g x x sinx是区间 1 1 上的减函数 则 的最大值为 解析 g x 在 1 1 上单调递减 g x cosx 0 cosx在 1 1 上恒成立 1 故 的最大值为 1 答案 1 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 已知函数f x x 1 2 2x 3 lnx在区间 1 3 上的极值为 解析 f x 令f x 0 得x1 2 x2 又x 1 3 f x f x 的变化情况如下表 所以 当x 2时 函数f x 取到极小值 且极小值为f 2 ln2 答案 ln2 8 视角拓展 设f x x3 x2 2x 5 当x 1 2 时 f x m恒成立 则实数m的取值范围为 解析 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当10 当 x 1时 f x 0 当 1 x0 又f 2 7 f f 2 f x 的最大值为7 则m的取值范围为m 7 答案 7 9 高度提升 若函数在f x x3 x在 a 10 a2 上有最大值 则实数a的取值范围为 解析 依题意可得解得 2 a 1 答案 2 1 10 视角拓展 某商品每件成本9元 售价为30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 记商品在一个星期的获利为f x 则依题意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 由 1 得f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 解析 1 商品降价x元 则每个星期多卖的商品数为kx2 若 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 故当x 12时 f x 达到极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18元时 才能使一个星期的商品销售利润最大 11 高度提升 已知定义在正实数集上的函数f x x2 2ax