高考数学一轮复习 6.1 不等式性质与基本不等式课件 文 新人教A版.ppt

6 1不等式性质与基本不等式 一 不等式性质 1 如果a b 那么bb 2 如果a b且b c 那么a c 3 如果a b 那么a c b c 加法性质 4 如果a b且c 0 那么ac bc 如果a b且c 0 那么ac bc 5 如果a b c d 那么a c b d 6 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 7 如果a b 0 那么an bn n n且n 2 8 如果a b 0 那么 n n且n 1 二 重要不等式 a2 b2 2ab 当且仅当a b时取得 三 基本不等式 1 若a b r 则a b 2 当且仅当a b时取得 2 算术平均数与几何平均数 设a b为正数 则称为a b的算术平均数 称为a b的几何平均数 3 用基本不等式求最值时注意三个条件 一正 二定 三相等 4 基本不等式的几何解释 在直角三角形中 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高 如图所示 四 极值定理 1 若积x y p 定值 则和x y有最小值2 当且仅当x y时 取 2 若和x y s 定值 则积x y有最大值 当且仅当x y时 取 即 积为常数 和有最小值 和为常数 积有最大值 1 a b为非零实数 且a b 则下列不等式成立的是 a a2 b2 b a2b ab2 c d 答案 c 解析 当ab2 a错 当abab2 b错 因为a2b2 0 所以 a d错 2 若x e 1 1 a lnx b lnx c elnx 则 a c b a b b a c c a b c d b c a 解析 c elnx x e 1 1 b lnx 1 2 a lnx 1 0 所以b c a 答案 d 3 已知f x log2 x 2 若实数m n满足f m f 2n 3 则m n的最小值是 解析 由log2 m 2 log2 2n 2 3 得 m 2 n 1 4 则m 2 所以m n 2 n n 1 3 2 3 7 当且仅当 n 3 时 取等号 故m n的最小值为7 答案 7 题型1比较大小 例1 1 已知实数x满足x2 x 0 则x2 x x的大小关系是 a x x x2 b x x x2 c x2 x x d x x2 x 2 已知0 a b 1 设x logba y loga z logb 则 a y x z b y z x c x z y d z y x 分析 1 根据不等关系确定x的范围 然后作差确定三个数的大小关系 2 要比较指数式或对数式的大小 应首先把底数化成同一个数 然后利用指数 或对数 函数的单调性 有时还要选取中间量或近似值比较大小 0 x2 1 0 x 1 又x2 x x2 x 0 x2 x 故x x2 x 2 因为00 y loga loga 1 y loga loga1 0 即 1 y 0 z logb logb 1 所以z y x 答案 1 d 2 d 解析 1 x2 x 0 1 x 0 较 2 找中间量 往往是1 或0 3 特殊值 4 构造函数 利用函数的单调性等 点评 数的比较大小除了利用不等式性质 还有如下几种方法 1 作差比较法和作商比较法 前者和零比较 后者和1比 变式训练1 1 设0 b a 1 则下列不等式成立的是 a ab b2 1 b lob loa 0 c 2b 2a 2 d a2 ab 1 2 当a 0且a 1时 loga 1 a 与loga 1 的大小关系为 2 loga 1 a loga 1 loga logaa 1 因此loga 1 a loga 1 答案 1 c 2 loga 1 a loga 1 解析 1 y 2x是单调递增函数 且0 b a 1 2b 2a 21 即2b 2a 2 题型2不等式性质 例2 1 下列不等关系成立的是 a 若ac2 bc2 则a b b 若a b 则 c 若a b c d 则a c b d d 若a b 0 a c 则a2 bc 2 已知1 4 2 1 则2 的范围是 分析 1 利用不等式性质结合特殊值进行判断 2 利用待定系数法 将2 用 表示 整体代换 求出2 的范围 解析 1 a中ac2 bc2 c2 0 ac2 bc2 又 0 a b 正确 b中可取特殊值 a 3 b 2 有 错误 c中可取特殊值 a 5 b 1 c 2 d 3 有a c b d 错误 d中 a2 ab 又 ab bc a2 bc 错误 2 设2 m n 2 3 2 答案 1 a 2 点评 1 在不等式的这些性质中 乘 除 法性质的应用最容易出错 所以在利用不等式性质推证不等式时 要紧扣不等式性质成立的条件 2 的出错点在于求出 范围 再求2 的范围 因为 是两个相互联系 相互制约的量 而不是各自独立的 当 取到最大值或最小值时 不一定能取到最值 所以用以上方法可能扩大变量的范围 本题也可用线性规划知识求解 变式训练2 1 已知a b c d均为实数 有下列命题 若ab0 则 0 若ab 0 0 则bc ad 0 若bc ad 0 0 则ab 0 其中正确命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 若f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 则f 2 的取值范围是 解析 1 ab 0 0 又 bc ad 0 bc ad 0 即 0 故 错 ab 0 0 ab 0 即bc ad 0 故 正确 0 0 又 bc ad 0 ab 0 故 正确 2 f 1 a b f 1 a b 设f 2 4a 2b af 1 bf 1 则 f 2 3f 1 f 1 2 f 1 4 1 f 1 2 3 3f 1 6 5 f 1 3f 1 10 5 f 2 10 答案 1 c 2 5 10 题型3基本不等式 例3 1 命题 任意x 0 lgx 2 任意x r ax 2 a 0且a 1 任意x 0 tanx 2 任意x r sinx 2 其中真命题有 a b c d a 8 b 4 c 1 d 分析 1 验证是否满足应用基本不等式的三个条件 2 根据是3a与3b的等比中项 构造实数a b之间的关系 然后转化为基本不等式求解 解析 1 任意x r 无法确定lgx 0 错误 任意x r ax 0 ax 1 ax x 0 满足三个条件 正确 任意x 0 2 设a 0 b 0 若是3a与3b的等比中项 则 的最小值为 tanx 0 tanx 1 tanx x 满足三个条件 正确 任意x r 无法确定sinx 0 错误 2 3a 3b 3 a b 1 a b 2 2 2 4 当且仅当 即a b 时 成立 故选b 答案 1 c 2 b 点评 1 在应用基本不等式时 我们要注意三个条件 一 正 二 定 三 相等 一 正 即基本不等式成立的条件是任意的正实数a b 二 定 即基本不等式在应用时 必须 两数和 或 两数积 为定值 三 相等 即基本不等式中等号成立的条件是a b 一定要加以验证判断等号能否取到 2 当基本不等式的乘积不是定值或和不是定值时 我们可以进行配凑 如 2 题 知两数和 求 两倒数和 的最值时 我们一般要通过乘 1 来配凑 创造基本不等 式的三个条件 本题也可以两次利用基本不等式 以为桥梁 求出最值 但是需要注意两次利用基本不等式时 验证 等号 能否同时取到 变式训练3已知a 0 b 0 则 2的最小值是 a 2 b 2 c 4 d 5 解析 2 2 2 4 当且仅当a b 1时 等号成立 即a b 1时 不等式取最小值4 答案 c 题型4基本不等式在生活中的应用 例4某货轮匀速行驶在相距300海里的甲 乙两地间运输货物 运输成本由燃料费用和其他费用组成 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比 比例系数为0 5 其他费用为每小时800元 且该货轮的最大航行速度为50海里 小时 1 请将从甲地到乙地的运输成本y 元 表示为航行速度x 海里 小时 的函数 2 要使从甲地到乙地的运输成本最少 该货轮应以多大的航行速度行驶 分析 根据运输成本由燃料费用和其他费用组成 分别利用变量x表示出两费用 将运输成本y 元 表示为航行速度x 海里 小时 的函数 然后利用基本不等式求出函数最值 解析 1 由题意 每小时的燃料费用为0 5x2 0 x 50 从甲地到乙地所用的时间为小时 则从甲地到乙地的运输成 本y 0 5x2 800 0 x 50 故所求的函数为y 0 5x2 800 150 x 0 x 50 2 由 1 y 150 x 150 2 12000 当且仅当x 即x 40时取等号 故当货轮航行速度为40海里 小时时 能使该货轮运输成本最少 点评 本题通过函数与不等式的综合 考查了学生的数学应用能力 在解题过程中除了要注意基本不等式的应用条件 还要特别注意函数的定义域 变式训练4某单位决定投资3200元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 正面用铁栅 每米长造价40元 两侧墙砌砖 每米长造价45元 顶部每平方米造价20元 底部不花钱 求 1 仓库底面面积s的最大允许值是多少 2 为使s达到最大 而实际投资又不超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 解析 1 设铁栅长为x米 一堵砖墙长为y米 则底面与顶部面积为s xy 依题设 40 x 2 45y 20 xy 3200 由基本不等式得 3200 2 20 xy 120 20 xy 120 20s s 6 160 0 即 10 16 0 故 10 从而s 100 所以s的最大允许值是100平方米 2 取得此最大值的条件是40 x 90y且xy 100 求得x 15 即铁栅的长是15米 1 不等式的性质是解决不等式的基本依据 研究不等式时 要以它们为出发点 不能主观臆造 2 在研究不等式时 需要特别注意 符号问题 即在作乘 除 运算时 乘 除 数的符号会影响不等号的方向 3 当不能直接应用基本不等式时 要通过 拼 凑 拆 提负号 变形转化出基本不等式所需要条件 同时应用基本不等式时要注意 一正 二定 三相等 这三个条件 例已知a 0 b 0 a b 1 求 a 2 b 2的最小值 错解 a 2 b 2 a2 b2 4 2ab 4 4 4 8 a 2 b 2的最小值是8 剖析 上面的解答中 两次用到了基本不等式a2 b2 2ab 第一次等号成立的条件是a b 第二次等号成立的条件是ab 显然 这两个条件是不能同时成立的 因此 8不是最小值 正解 原式 a2 b2 4 a2 b2 4 a b 2 2ab 2 4 1 2ab 1 4 由ab 2 得1 2ab 1 且 16 1 17 原式 17 4 当且仅当a b 时 等号成立 a 2 b 2的最小值是 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 a 1 是 1 成立的 a 充分必要条件 b 充分不必要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也不必要条件 解析 当a 1可得1或a1 是 1 成立的充分不必要条件 答案 b 2 基础再现 把下列各题中的 全部改成 结论仍然成立的是 a 如果a b c d 那么a c b d b 如果a b c d 那么ac bd c 如果a b c d 且cd 0 那么 d 如果a b 那么a3 b3 解析 根据函数f x x3在 上单调递增 可得当a b时a3 b3 答案 d 3 基础再现 下列结论正确的是 a 当x 0且x 1时 lgx 2 b 当x 0时 2 c 当x 2时 x 的最小值为2 d 当0 x 2时 x 无最大值 不成立 c 当x 2时 x 的最小值为 d 易知f x x 为单调递增函数 因此 当0 x 2时 x 有最大值 答案 b 解析 a 当x 0且x 1时 lgx 0不恒成立 因此lgx 2 4 基础再现 若 0 则下列结论不正确的是 a a2 b2 b ab b2 c 2 d 2 解析 取a 2 b 3代入可得选d 答案 d 5 高度提升 若a 0 则下列不等式成立的是 a 2a a 0 2 a b 0 2 a a 2a c a 0 2 a 2a d 2a 0 2 a a 解析 根据a1 a 1 2a a 答案 b 6 基础再现 若a2 b2 且ab 0 则与的大小关系为 解析 根据ab 0得 0 根据不等式性质 在a2 b2两侧同乘以得 答案 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 已知a 0 1 b 0 1 且a b 则2ab a b a2 b2 2中最大的一个是 解析 a b 2 a2 b2 2ab a b a2 b2 最大的一个是a b 答案 a b 8 视角拓展 在算式 9 1 48 中的 中 分别填入两个正整数 使它们的倒数和最小 则这两个数构成的数 应为 答案 4 12 解析 设填入的两数为x y 因此9x y 48 因此当 即y 3x时取得最小值 即 应为 4 12 9 高度提升 三个数a b c成等比数列 若a b c 1 则b的取值范围为 解析 由a b c成等比数列可知 b2 ac a b c 1 a c 1 b 故 1 b 2 a c 2 a2 c2 2ac 4ac 4b2 即3b2 2b 1 0 解得 1 b 又