高考数学总复习 第1节 相似三角形的判定及性质课件 新人教A版选修41.ppt

选修4 1几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及性质 一 平行线等分线段定理1 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交 直线上截得的线段 推论1 经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必 推论2 经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必 也相等 平分第三边 平分另一腰 2 中位线定理三角形中位线定理 三角形的中位线 并且等于它的 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于 并且等于两底 平行于第三边 一半 两底 和的一半 1 两个中位线定理与推论1 推论2有什么关系 提示 两个定理即为推论1 推论2的逆定理 二 平行线分线段成比例定理1 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段 推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 对应成比例 推论2 用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形 所得的三角形三边与原三角形的三边对应 推论1的逆定理 如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例 那么这条直线三角形的第三边 成比例 平行于 2 三角形内角平分线定理定理 三角形的内角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边 三 相似三角形1 相似三角形的概念定义 的两个三角形叫做相似三角形 对应边的比例为相似比或相似系数 对应成比例 对应边成比例 对应角相等 2 相似三角形的判定定理 两边 夹角 三边 2 判定直角三角形相似还有哪些定理 提示 如果两个直角三角形的一个锐角对应相等 那么它们相似 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么它们相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 3 相似三角形的性质定理 相似比 相似比 相似比的平方 4 直角三角形中的射影定理直角三角形中 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的 比例中项 比例中项 答案 c 解析 c为 abc和 bdc的公共角 由相似三角形的判定定理2可知选c 答案 c 答案 c 4 如图 已知在 abc中 cd ab于d点 bc2 bd ab 则 acb 答案 90 考向探寻 1 利用平行截割定理证明线段成比例 2 利用平行截割定理求线段的长度 答案 c 互动探究 1 在例 2 中 若条件不变 将结论改为 则s梯形aefd s梯形ebcf 如何求解 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 若图形中没有平行线 则需要添加辅助线 构造相关图形 创造可以形成比例式的条件 以达证明的目的 考向探寻 1 判断 证明三角形相似 2 利用相似三角形的性质解决问题 典例剖析 1 如图所示 bd ce是 abc的高 bd ce交于f 写出图中所有与 ace相似的三角形 1 解析 由rt ace与rt fcd和rt abd各共一个锐角 因而它们均相似 又易知 bfe a 故rt ace rt fbe 1 判定两个三角形相似的常用方法 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 相似三角形的定义 2 利用相似三角形性质 可解决与三角形的元素有关的问题 如两个三角形的高 角平分线 中线 周长 面积等之间的关系问题 1 分清两个三角形中角和边的对应关系是正确解题的前提 2 一般地 证明等积式时 可先将其化成比例式 再根据三角形相似证明 活学活用 1 如图 已知 abcd中 g是dc延长线上一点 ag分别交bd和bc于e f两点 求证 af ad ag bf 考向探寻 1 利用射影定理证线段成比例 2 利用射影定理求直角三角形中有关线段的长 典例剖析 1 已知圆的直径ab 13 c为圆上一点 过c作cd ab于d ad bd 若cd 6 则ad 2 12分 如图 在rt abc中 bac 90 ad bc于d df ac于f de ab于e 求证 ab ac ad bc ad3 bc be cf 1 在 acb中 利用射影定理求解 2 在 abc中 利用等积法证明 在 adb abc中用射影定理求解 然后两比例式相乘后化简即可 1 如图 连接ac cb ab是 o的直径 acb 90 设ad x cd ab cd2 ad db 即62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 ad bd ad 9 答案 9 bd2 cd2 be ab cf ac 8分又在rt abc中 ad bc ad2 bd dc 10分由 得ad4 bd2 dc2 be cf ab ac be cf ad bc ad3 bc be cf 12分 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影 斜边及两直角边之间的关系 此定理常作为计算与证明的依据 在运用射影定理时 要特别注意弄清射影与直角边的对应 分清比例中项 活学活用 2 如图 在 abc中 d f分别在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 已知ad是 abc中bc边上的高 若ad2 bd cd 则 abc的形状是 如图 在 abc中 由ad2 bd cd可证得 abd cad 从而可得 abc为直角三角形 答案 直角三角形 本题的错误之处在于忽略了点d在bc上的位置 解法中只考虑到了一种情形 忽视了点d在bc外的情形 另在直角三角形中 斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项 反之 由于三角形的一边上的高可能在三角形外 因此 原定理的逆命题是不成立的 即题中的 abc不一定是直角三角形 解析 若点d在线段bc上 如图 1 所示 由ad2 bd cd 可证 abd cad 从而可得 abc是直角三角形 若点d在bc的延长线上 如图 2 所示 则仍可证 abd cad 但 abc是钝角三角形 综上所述 abc是直角三角形或钝角