高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第一节 坐标系课件 文.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 1 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换 即改变 或 的单位长度 将会对图形产生影响 x轴 y轴 2 极坐标系的概念 1 极坐标系如图所示 在平面内取一个 o 叫作极点 从o点引一条 ox 叫作极轴 选定一个 和 的正方向 通常取 方向 这样就确定了一个平面极坐标系 简称为极坐标系 定点 射线 单位长度 角 逆时针 2 极坐标对于平面内任意一点m 用 表示 表示以ox为始边 om为终边的 叫作点m的极径 叫作点m的极角 有序实数对 叫作点m的极坐标 记作 当点m在极点时 它的极径 极角 可以取 线段om的长 角度 m 0 任意值 3 极坐标与直角坐标的互化设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 极点 极轴 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 cos 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin sin 0sin 0 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 r 2rcos 2 一般位置的圆的极坐标方程 若圆心为m 0 0 半径为r 则圆的极坐标方程是 2 2 0 cos 0 r2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在极坐标系中 点m的坐标是唯一的 2 极坐标系所在平面内的点与极坐标是一一对应的关系 3 三角函数是联系极坐标与直角坐标的纽带 4 椭圆伸缩后仍是椭圆 解析 1 错误 极坐标系中的点 当 0 2 时 除极点外 m的极坐标是唯一的 当 r时 m的极坐标不唯一 2 错误 建立极坐标系后 给定 就可以在平面内唯一确定一点m 反过来 给定平面内一点m 它的极坐标 r 却不是唯一的 所以二者不能建立一一对应关系 3 正确 由转化公式 根据任意角的三角函数的定义及其基本关系式 诱导公式 可以把二者联系起来 4 错误 变换系数 与 的值 伸缩后有可能为圆 答案 1 2 3 4 考向1直角坐标系中的伸缩变换 典例1 在下列平面直角坐标系中 分别作出椭圆的图形 1 x轴与y轴具有相同的单位长度 2 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍 3 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 思路点拨 1 常规描点法画椭圆 2 改变y轴上的单位长度 3 改变x轴上的单位长度 规范解答 1 建立平面直角坐标系 使x轴与y轴具有相同的单位长度 的图形如下 2 如果x轴上的单位长度保持不变 y轴上的单位长度缩小为原来的的图形如图 3 如果y轴上的单位长度保持不变 x轴上的单位长度缩小为原来的的图形如下 拓展提升 1 图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系设变换前后的坐标系分别为xoy与x o y 1 若x 轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍 则x ax a 0 此时若a 1 则图形左右伸长 若00 此时若b 1 则图形上下伸长 若0 b 1 则图形上下压缩 特别地 若a b 1 则认为图形没有变化 2 图形的伸缩变换的应用应用图形的伸缩变换时 可以将图形特殊化 即将不规则的图形调整为规则的图形 以方便解题 变式训练 在下列平面直角坐标系中 分别作出双曲线的图形 1 x轴与y轴具有相同的单位长度 2 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍 3 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 解析 1 建立平面直角坐标系 使x轴与y轴具有相同的单位长度 图形如下 2 如果x轴上的单位长度保持不变 y轴上的单位长度缩小为原来的如图 3 如果y轴上的单位长度保持不变 x轴上的单位长度缩小为原来的如图 考向2点的极坐标与直角坐标的转化 典例2 1 已知点m的极坐标为求点m的直角坐标 2 若 0 0 2 求直角坐标为的点m的极坐标 思路点拨 1 由公式计算点的直角坐标 2 由公式求解 规范解答 1 由公式得 2 由公式得 点在第四象限 且 0 2 拓展提升 直角坐标化为极坐标的不唯一性 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点m的极坐标 的形式不唯一 即一个点的极坐标有多种表达形式 当限定 0 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是唯一的 极点o的极坐标为 0 为任意值 但一般取 0 即极点的极坐标为 0 0 2 把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 提醒 若没有特别要求 求出 0 2 内的角即可 变式训练 若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos 以极点为原点 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 则该曲线的直角坐标方程为 解析 曲线的极坐标方程为 2sin 4cos 即 2 2 sin 4 cos 即x2 y2 2y 4x 整理为 x 2 2 y 1 2 5 答案 x 2 2 y 1 2 5 考向3求曲线的极坐标方程 典例3 1 2012 上海高考改编 如图 在极坐标系中 过点m 2 0 的直线l与极轴的夹角若将l的极坐标方程写成 f 的形式 求f 2 2012 江苏高考 在极坐标系中 已知圆c经过点圆心为直线与极轴的交点 求圆c的极坐标方程 思路点拨 1 先求直线的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程 2 先求出圆的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以直接根据圆的半径与位置求圆的极坐标方程 规范解答 1 方法一 在平面直角坐标系中 直线的倾斜角为故直线的斜率为直线又过点 2 0 所以直线的方程为由公式得 方法二 设直线上的任一点的极坐标为p 因为所以根据正弦定理得 2 方法一 点化为直角坐标为p 1 1 直线的直角坐标方程为与x轴 极轴 的交点坐标为c 1 0 圆c的半径为pc 1 圆c的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 即x2 y2 2x 化为极坐标方程为 2cos 方法二 圆心为直线与极轴的交点 令 0 得 1 圆c的圆心坐标为 1 0 圆c经过点 圆c的半径为 圆c经过极点 所以圆c的极坐标方程为 2cos 拓展提升 求曲线方程的方法步骤 1 求曲线方程 首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系 或极坐标系 2 设出曲线上任意一点的坐标为m x y 找出此动点满足的几何条件 最后通过代数变换化简方程即可 提醒 在平面直角坐标系中 求曲线的轨迹方程的方法有直译法 定义法 相关点法 在极坐标系中 求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的 变式训练 求以c 4 0 为圆心 半径等于4的圆的极坐标方程 解析 如图 由题设可知 这个圆经过极点 圆心在极轴上 设圆与极轴的另一个交点是a 在圆上任取一点p 连接op pa在rt opa中 oa 8 op aop oa cos 即8cos 即 8cos 为圆c的极坐标方程 考向4极坐标方程的综合问题 典例4 1 2012 安徽高考 在极坐标系中 求圆 4sin 的圆心到直线 r 的距离 2 从极点o作射线 交直线 cos 3于点m p为射线om上的点 且 om op 12 若有且只有一个点p在直线 sin cos m上 求实数m的值 思路点拨 1 化极坐标方程为直角坐标方程 计算点到直线的距离 2 化极坐标方程为直角坐标方程 利用直线与曲线的位置关系解决 规范解答 1 圆的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为x2 y 2 2 4 圆心为 0 2 直线 r 的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离是 2 设点p 则由 om op 12 得所以即 4cos 0 化为直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 化 sin cos m为直角坐标方程为y x m 0 因为有且只有一个点p在直线上 所以y x m 0和 x 2 2 y2 4 x 0 相切 即或过原点 即m 0 综上所述 拓展提升 直线与圆的位置关系设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则 变式训练 2013 唐山模拟 在极坐标系中 曲线c1的方程为曲线c2的方程为以极点为原点 极轴方向为x轴正方向建立直角坐标系xoy 1 求曲线c1 c2的直角坐标