微积分课程论文-函数的极值与最值及其应用

“微积分”课程论文首页学 院理学院专 业信息与计算科学班 级14-1学 名周玮成 绩论文题目函数的极值与最值及其应用评语 签 字： 2015年 6 月 日函数的极值与最值及其应用周玮摘要：本文将通过函数极值与函数最值的定义、联系、区别及其求解方法，系统阐述函数极值与最值的概念和性质，然后通过运用相关知识解决问题的例子展示出极值与最值的应用在解决问题中的重要作用。关键词：极值；最值；条件极值；拉格朗日乘数法；应用。1.多元函数的极值及其求法1.1多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z= (x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内点 若某点及其邻域均属于某集合，则该点称为集合的内点。若存在P0的某个邻域 以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。U(P0)属于D，是得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有(x,y)(x0,y0)，则称函数(x,y)在点(x0,y0)有极大值(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数(x,y)的极大值点；若对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有(x,y)(x0,y0)，则称函数(x,y)在点(x0,y0)有极小值(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数(x,y)的极小值点。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点为极值点。定理1（必要条件 如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。）设函数z= (x,y)在点(x0,y0)具有偏导数 在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)，且在点(x0,y0)处有极限，则有x(x0,y0)=0，y(x0,y0)=0.定理2（充分条件 如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A）设函数z= (x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又x(x0,y0)=0，y(x0,y0)=0，令xx(x0,y0)=A，xy(x0,y0)=B，yy(x0,y0)=B，则(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1） AC-B20时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值；（2） AC-B20时没有极值；（3） AC-B20时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。1.2条件极值 拉格朗日 约瑟夫拉格朗日（Joseph Lagrange，1736年1月25日1813年4月11日），法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了20年，被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大的数学家”，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。乘数法条件极值设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积V=xyz。又因假定表面积为a2，所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xy+yz+xz)=a2，像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。拉格朗日乘数法要找函数z= (x,y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y)= (x,y)+(x,y)，其中为参数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立起来：x(x,y)+ x(x,y)=0,y(x,y)+ y(x,y)=0,(x,y)=0.由这方程组解出x,y及，这样得到(x,y)就是函数(x,y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点。2.极值与最值的应用2.1极值与最值的例题例1求函数(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值。先解方程组x(x,y)=3x2+6x-9=0,y(x,y)=- 3y2+6y=0,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。在求出二阶偏导数xx(x,y)=6x+6，xy(x,y)=0，yy(x,y)=-6x+6.在点(1,0)处，AC-B2=12*60，又A0，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)=-5；在点(1,2)处，AC-B2=12*(-6)0，所以(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC-B2=-12*60，所以(-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，AC-B2=-12*(-6)0，又A0，所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=31。例2设生产某产品需要用原料A和B，它们的单位价分别为10元，15元，用x单位原料A和y单位原料B可生产-x+20xy-8y单位的该产品。现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B？设成本函数C（x，y）=10x+15y可以讲本题看成成本函数在条件-x+20xy-8y=112下的条件极值问题。所以设F（x，y）=10x+15y+（-x+20xy-8y-112）解方程组F（x，y）对x的偏导数=10-2x+20y=0，F（x，y）对y的偏导数=15-16y+20x=0，-x+20xy-8y=112联立三个方程组解得x=4，y=2，y=-2舍去。所以需要4单位A原料，2单位B原料。2.2极值与最值的应用1. 某三轮车厂没生产一副框架就要搭配三副轮胎，设轮胎数量为x，价格为p1，框架数量为y，价格为p2，又设需求函数分别为x=63-0.25p1与y=60-1/3p2，成本函数为C（x，y）=x2+xy+y2+90，求该厂利润最大时的产出及价格。p1=(63-x)*4,p2=(60-y)*3,x=3y,利润：4x(63-x)+3y(60-y)-(x2+xy+y2+90)将x=3y带入得12y(63-3y)+3y(60-y)-(9y2+3y2+y2+90)化简得-52(y-9)2 +4122所以最大利润时生产轮胎27个，价格为144元，框架9个，价格为153元。2. 要造一个圆柱形无盖水池，容水2000（派）m3 ，底部单位造价是周围单位造价的两倍，要使水池造价最低，问底半径与高各是多少？设底半径r米，高h.r2*h=2000h=2000/r2水池