高考数学总复习 7.3简单的线性规划问题课件 人教版.ppt

第三讲简单的线性规划问题 一 二元一次不等式表示平面区域1 ax by c 0 0 在平面直角坐标系中表示直线l ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 直线l应画成 2 ax by c 0 0 表示直线l ax by c 0某一侧 含边界直线 所有点组成的平面区域 直线l应画成 虚线 实线 注意 1 由于直线ax by c 0同一侧的所有点的坐标代入ax by c后所得实数的符号相同 因此 在实际判断时 往往在某一侧取一特殊点 x0 y0 由ax0 by0 c的正负即可判断ax by c 0表示直线哪一侧的平面区域 若直线ax by c 0不过原点 一般可选原点 若直线过原点 可以选 0 1 或 1 0 当然也可以选择其他的点 2 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分 二 线性规划1 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的的问题 2 1 可行解满足线性约束条件的解 2 可行域 由所有可行解组成的集合 3 最优解 使目标函数取得最大 或最小 值的可行解 最大值或最小值 注意 1 解决线性规划问题时 找出约束条件和目标函数是关键 一般步骤如下 作可行域 画平行线 解方程组 计算最值 2 可行域可以是一个一侧开放的平面区域 也可以是一个封闭的多边形 若是一个多边形 则目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得 3 若要求的最优解是整数解 而通过图象求得的是非整数解 这时应以点与线性目标函数的距离为依据 在直线的附近寻求与此直线最近的整点 或者用 调整优值法 去寻求最优解 1 已知点 3 1 和 4 6 在直线3x 2y a 0的两侧 则a的取值范围是 a 24 7 b 7 24 c 7 24 d 24 7 解析 将点 3 1 和 4 6 分别代入直线方程 符号相异 3 3 2 1 a 3 4 2 6 a 0 即 7 a 24 故选b 答案 b 解析 画出可行域 如图中阴影部分所示 由图可知 平移直线2x y 0经过点a 1 1 时 z最大 最大值为2 1 1 3 答案 c 答案 b 4 配置a b两种药剂 都需要甲 乙两种原料 用料要求如下表所示 单位 kg 药剂a b至少各配一剂 且药剂a b每剂售价分别为100元 200元 现有原料甲20kg 原料乙25kg 那么可以获得的最大销售额为 答案 800元 解析 x y 满足可行域如图阴影部分所示 答案 4 自主解答 1 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的点的集合 x y 0表示直线x y 0上及其右上方的点的集合 当x 2时 2 y 7 有10个整点 当x 1时 1 y 6 有8个整点 当x 0时 0 y 5 有6个整点 当x 1时 1 y 4 有4个整点 当x 2时 2 y 3 有2个整点 平面区域内的整点共有2 4 6 8 10 12 42 个 题后总结 1 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2 在封闭区域内找整点数目时 若数目较小时 可画网格逐一数出 若数目较大 则可分x m逐条线段统计 自主解答 作出可行域如图 并求出顶点的坐标a 1 3 b 3 1 c 7 9 1 易知可行域内各点均在直线x 2y 4 0的上方 故x 2y 4 0 将点c 7 9 代入得z最大值为21 题后总结 线性规划求最值问题 要充分理解目标函数的几何意义 比如直线的截距问题 两点间的距离问题 点到直线的距离 过两点的直线的斜率等 只有把握目标函数的几何意义 才能准确求解 目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得 12分 某公司仓库a存有货物12吨 仓库b存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库a运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库b运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 规范解答 将已知数据列成下表 设仓库a运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库a运给丙商店的货物为 12 x y 吨 1分从而仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y x y 7 吨 2分于是总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 4分 目标函数为z x 2y 126 作出上述不等式组表示的平面区域 即可行域 如图所示9分 作出直线l x 2y 0 把直线l平行移动 显然当直线l移动到过点 0 8 时 在可行域内z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 则x 0 y 8时总运费最少 11分安排的调运方案如下 仓库a运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 12分 题后总结 解线性规划问题是在图上完成的 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 假若图上的最优点并不明显时 不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检验 以 验明正身 另外对最优整数解问题 可使用 局部微调法 此方法的优点是思路清晰 操作简单 便于掌握 活学活用 2 2012桂林调研 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电子教学设备 并对其中两种电子设备配备外壳 现有a种电子装置45台 b种电子装置55台 需用到两种规格的薄金属板 甲种薄金属板每张面积2m2 可做a b的外壳分别为3个和5个 乙种薄金属板每张面积3m2 可做a b的外壳各6个 求两种薄金属板各用多少张时 才能使用料总的面积最小 解 设用甲种薄金属板x张 乙种薄金属板y张 则可做a种产品外壳3x 6y个 b种产品外壳5x 6y个 可行区域如图所示的阴影部分 其中l1 3x 6y 45 l2 5x 6y 55 l1与l2的交点为a 5 5 因目标函数z 2x 3y在可行域上的最小值在区域边界的a 5 5 处取得 此时z的最小值为2 5 3 5 25 即 当甲乙两种薄金属板各用5张时 能使用料总的面积最小 易错点 线性规划问题寻找整点最优解方法不当致误某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务 该公司有8辆载重为6t的a型卡车和4辆载重为10t的b型卡车 有10名驾驶员 每辆卡车每天往返的次数为a型卡车4次 b型卡车3次 每辆卡车每天往返的费用为a型卡车320元 b型卡车504元 请你给该公司调配车辆 使公司所花的费用最低 错因分析 本题的主要变元是两个型号的车辆的数目 设为x y 写出不等式组和目标函数 但是本题的难点在于目标函数不一定在区域边界上取得最小值 实际上本题的可行域也不是一个平面区域 而是一些孤立的整点 本题就是要在这些孤立的整点中找到问题的最优解 本题最容易出错的就是这个整点最优解的寻找 方法不当就会出错 可能出现各种错误的结果 目标函数z 320 x 504y x y n 作出上述不等式组所确定的平面区域 如图阴影所示即可行域 结合图象 可知当z 320 x 504y在可行域内经过的整数点中 点 8 0 使z 320 x 504y取得最小值 zmin 320 8 504 0 2560 每天调出a型车8辆 公司所花费用最低 状元笔记 解决线性规划实际问题 首先要确定影响整个问题的两个主要变化因素 把这两个变化因素分别用两个变量x y表示 然后根据题目的具体要求把一些限制条件用关于x y的不等式表示出来 这样就得到了问题的可行域 再用x y表示出所要求解的目标函数 最后求解这个线性规划问题即可 但是很多线性规划实际问题往往是整点最优解问题 这就是根据目标函数的结构特点进行分析 如目标函数是z x 2y 要是找最小值 那就是使x尽可能小 y尽可能大 要是找最大值 那就得使x尽可能大 y尽可能小 要学会这种定性分析法 再结合图形进行求解 纠错体验 要将两种大小不同的钢板截成a b c三种