高考数学一轮总复习 第三篇 第3讲 导数的应用(二)课件 理 湘教版.ppt

第3讲导数的应用 二 2014年高考会这样考 1 利用导数求函数的极值与闭区间上的最值 2 利用导数解决生活中的优化问题 考点梳理 1 极大值如果x c是函数y f x 在某个开区间 u v 上的最大值点 即不等式 对一切x u v 成立 就说函数f x 在x c处取到极大值f c 并称c为f x 的一个极大值点 f c 为f x 的一个 1 函数的极值 f c f x 极大值 2 极小值如果x c是函数y f x 在某个开区间 u v 上的最小值点 即不等式 对一切x u v 成立 就说函数f x 在x c处取到极小值f c 并称c为f x 的一个极小值点 f c 为f x 的一个 3 极值极大值和极小值统称 极大值点和极小值点统称 4 驻点若f c 0 则 叫作函数f x 的驻点 f c f x 极小值 极值 极值点 x c 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 最大值 f a f b 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与 最小值 2 函数的最值 设f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 3 三次函数f x 的单调区间和极值 f x 性质内容 u v u 和 v u v u 和 v 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 4 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在开区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 助学 微博 两个注意 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 三个防范 1 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 另外注意函数最值是个 整体 概念 而极值是个 局部 概念 2 f x0 0是y f x 在x x0取极值的既不充分也不必要条件 如 y x 在x 0处取得极小值 但在x 0处不可导 f x x3 f 0 0 但x 0不是f x x3的极值点 3 若y f x 可导 则f x0 0是f x 在x x0处取极值的必要条件 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点解析f x ex xex ex 1 x 当f x 0时 即ex 1 x 0 即x 1 当x 1时 函数y f x 为增函数 同理可求 当x 1时 函数f x 为减函数 当x 1时 函数f x 取得极小值 答案d 考点自测 1 2012 陕西 设函数f x xex 则 a 2或2b 9或3c 1或1d 3或1解析 y 3x2 3 当y 0时 x 1 则x y y的变化情况如下表 2 2012 全国 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c 因此 当函数图象与x轴恰有两个公共点时 必有c 2 0或c 2 0 c 2或c 2 答案a a 6b 7c 8d 9 答案c a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 4 2012 重庆 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 解析当x0 得f x 0 当 20 得f x 2时 y 1 x f x 0 f x 在 2 上是增函数 在 2 1 上是减函数 在 1 2 上是减函数 在 2 上是增函数 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 答案d f x 在 2 1 上是增函数 x 1是f x 的极小值点 f x 在 1 2 上是增函数 在 2 4 上是减函数 x 3是f x 的极小值点 其中正确的判断是 填序号 5 如图是y f x 导数的图象 对于下列四个判断 解析 x 2 1 时 f x 0 f x 在 2 1 上是减函数 错 f 1 0且在x 1两侧的导数值为左负右正 x 1是f x 的极小值点 对 对 由于f 3 0 不对 答案 1 求集合d 用区间表示 2 求函数f x 2x3 3 1 a x2 6ax在d内的极值点 审题视点 1 从集合b中的一元二次不等式的解法入手 抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可 2 结合第 1 问 再运用数形结合法 讨论f x 的单调性即得其极值 考向一利用导数求函数的极值 例1 2012 广东 设00 b x r 2x2 3 1 a x 6a 0 d a b 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x a x 1 令f x 0 得x a或x 1 因为g a 2a2 3 1 a a 6a a 3 a 0 g 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 所以0 a x1 1 x2 所以f x f x 随x的变化情况如下表 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 解 1 因为f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2处取得极值c 16 故有 训练1 2013 江津模拟 已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28 解得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求a的取值范围 3 当a 1时 设函数f x 在区间 t t 3 上的最大值为m t 最小值为m t 记g t m t m t 求函数g t 在区间 3 1 上的最小值 审题视点 1 求f x 解不等式f x 0得函数增区间 解f x 0得函数减区间 2 由零点存在性定理列出不等式组求出a的范围 3 求极值 端点值 进行比较得最值 考向二利用导数求函数的最值 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x1 1 x2 a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故函数f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 当t 2 1 时 t 3 1 2 且 1 1 t t 3 下面比较f 1 f 1 f t f t 3 的大小 由f x 在 2 1 1 2 上单调递增 有f 2 f t f 1 f 1 f t 3 f 2 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 首先可判断函数在 a b 上的单调性 若函数在 a b 上单调递增或单调递减 则f a f b 一个为最大值 一个为最小值 若函数在 a b 上不单调 一般先求 a b 上f x 的极值 再与f a f b 比较 最大的即为最大值 最小的即为最小值 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 可得4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x 2 x 当x变化时 y y 的取值及变化如下表 考向三利用导数解决生活中的优化问题 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 审题视点 根据体积求出r l的关系 由l 2r确定r的取值范围 由圆柱的侧面积和球的表面积建立造价y关于r的函数关系 然后利用导数求其最小值 当r m时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以r m是函数y的极小值点 也是最小值点 利用导数解决实际生活中的最优化问题时 首先应根据已知条件建立函数模型 然后利用导数分析函数模型 求解相关最值 但要注意变量的实际意义和取值范围 1 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 令h x 0得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 命题研究 从近几年的高考试题来看 利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为重要的考点 考查题型以解答题为主 也有选择题 填空题 小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解答题主要考查导数与函数单调性 或方程 不等式的综合应用 规范解答5 利用导数解决函数与方程 不等式等综合问题 1 证明 当0 x 1时 函数f x 的最大值为 2a b a f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 教你审题 1 求f x 解不等式确定函数的单调区间 求出函数极值及区间端点值 比较求出最大值 求函数最值 转化为恒成立问题 2 化归转化 借助线性规划知识求出a b的范围 真题探究 本小题满分14分 2012 浙江 已知a 0 b r 函数f x 4ax3 2bx a b 由于0 x 1 故当b 2a时 f x 2a b a f x 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当b 2a时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 7分 设g x 2x3 2x 1 0 x 1 所以当0 x 1时 2x3 2x 1 0 故f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 10分 2 由 知 当0 x 1 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 在直角坐标系aob中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段bc 作一组平行直线a b t t r 得 1 a b 3 所以a b的取值范围是 1 3 14分 阅卷老师手记 本题第 2 问命题新颖 一改常考命题方式 不是证明不等式恒成立问题 而是已知不等式恒成立 去求参数的范围 解答时 不仅与线性规划相结合 而且充分利用了第 1 问的两个结论 这一步值得我们进行反思 对于一个有递进关系的综合问题 命题者常常通过前一问的结论隐性地设置后一问的条件 因此有效地利用前一问的结论 即把这个结论也作为题目的新的条件 去解答后问 是我们解答综合性问题的一种思维习惯和解题方式 利用导数法求解