电磁矢量传感器阵列的几何代数模型-硕士论文

电 子 科 技 大 学 UNIVERSITY OF ELECTRONIC SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA 硕士学位论文 MASTER THESIS 电子科技大学图标 论文题目 电电磁磁矢矢量量传传感感器器阵阵列列的的几几何何代代数数模模型型 及及其其参参数数估估计计 学 科 专 业 信信号号与与信信息息处处理理 学 号 201221020427 作 者 姓 名 肖肖洪洪坤坤 指 导 教 师 万万群群 教教授授 分类号 密级 UDC 注1 学 位 论 文 电电磁磁矢矢量量传传感感器器阵阵列列的的几几何何代代数数模模型型及及其其 参参数数估估计计 题名和副题名 肖肖洪洪坤坤 作者姓名 指导教师 万万群群 教教 授授 电电子子科科技技大大学学 成成 都都 姓名 职称 单位名称 申请学位级别 硕硕士士 学科专业 信信号号与与信信息息处处理理 提交论文日期 2015 03 30 论文答辩日期 2015 05 13 学位授予单位和日期 电电子子科科技技大大学学 2015 年年 06 月月 日日 答辩委员会主席 评阅人 注 1 注明 国际十进分类法 UDC 的类号 MODELING AND PARAMETERS ESTIMATION OF ELECTROMAGNETIC VECTOR SENSOR ARRAYS BASED ON GEOMETRIC ALGEBRA A Master Thesis Submitted to University of Electronic Science and Technology of China Major Signal and Information Processing Author Xiao Hongkun Advisor Professor Wan Qun School School of Electronic Engineering 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方 外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名 日期 年 月 日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留 使用学位论文 的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描 等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后应遵守此规定 作者签名 导师签名 日期 年 月 日 摘要 I 摘 要 相比于传统标量天线阵列 电磁矢量传感器阵列能提取电磁波信号的时间 空间和极化等多方面的信息 充分且有效地利用这些信息是当今矢量阵列信号处 理领域的研究热点 本文利用几何代数这种高维代数工具 对电磁矢量传感器阵 列信号的建模问题和多维参数估计问题进行了深入的研究 论文的主要工作包括 基于几何代数的矢量阵列信号建模 波达方向 Directions of Arrival DOA 估计 极化参数估计以及极化相干源分离等方面 具体工作如下 首先 对几何代数体系进行了简要的描述 重点介绍了三维矢量空间几何代 数 Geometric Algebra of Three Dimensional Vector Space G3 四维矢量空间几何 代数 Geometric Algebra of Four Dimensional Vector Space G4 以及复三维空间几 何代数 Geometric Algebra of Complex Three Dimensional Vector Space CG3 的代 数体系 运算规则及其矩阵的分析处理方法 第二 介绍了基于三维矢量空间几何代数的矢量阵列信号的 DOA 估计算法 Multiple Signal Classification Agorithm based on G3 G3 MUSIC 针对该算法没 有充分利用接收信号二阶统计信息的问题 给出了一种改进的 DOA 估计方法 通 过瑞利熵解耦技术实现方向参数和极化参数解耦 可以在极化参数未知的情况下 实现独立信号源波达方向的盲估计 在一般统计意义下 所给出的改进算法利用 了接收信号更多的二阶统计信息 具有比 G3 MUSIC 算法更好的 DOA 性能 第三 利用四维矢量空间几何代数为矢量阵列建立了 G4 模型 并研究了基于 该模型的 DOA 估计算法 从协方差矩阵的低秩逼近特性 对局部相关噪声的去相 关特性和 G4 向量的正交性等方面分析了该算法的性能优势 然后针对该算法不能 估计极化参数的问题 给出了一种 G4 模型的修正方法 通过该方法可以实现对信 号源方向参数和极化参数的联合估计 最后 研究了矢量阵列中极化相干源的空域平滑解相干算法 针对空域平滑 算法无法适用于任意空间结构矢量阵列的问题 给出了一种基于三维矢量复空间 几何代数的信号接收模型 以及基于该模型的 DOA 估计算法 该算法的协方差矩 阵能够利用极化导向矢量的不相干特性自动分离 最多 3 个极化相干源 在相干 源数目较小时 该方法可以适用于任意空间结构的矢量阵列 关关键键词词 电磁矢量传感器 几何代数 DOA 估计 极化参数估计 相干信号源 ABSTRACT II ABSTRACT Comparing with traditional scalar antenna arrays electromagnetic EM vector sensor arrays can record multidimensional information of the EM wave signal One of the research topics in this field is how to use those information sufficiently and effectively This dissertation focuses on utilizing the powerful mathematical technique Geometric Algebra to establish the models of EM vector sensor arrays and study the estimations of parameters under multidimensional case The main work of the dissertation contains modeling EM vector sensor array signal with geometric algebra DOA estimation polarization estimation and polarization coherent sourses identification The detailed work is summarized as the following Firstly geometric algebra system is introduced in detail especially the geometric algebra of three dimensional vector space G3 the geometric algebra of four dimensional vector space G4 the geometric algebra of complex three dimensional vector space CG3 and their operation rules including the fundamental analysis tools of their matrices Secondly introduce the DOA estimation algorithm of vector sensor arrays based on G3 G3 MUSIC Since G3 MUSIC does not take full advantages of second order statistics information of the received signal an improved parameter estimation algorithm based on G3 is proposed G3v MUSIC The algoritm decouples direction parameters and polarization parameters through Rayleigh entropy so that it could achieve the DOA estimation of polarized independent sources blindly without knowing their polarization forms In general statistical circumstance G3v MUSIC algorithm performes better than G3 MUSIC in DOA estimation thanks to the more utilization of the second order statistics information Thirdly from the standpoint of clarifying the relationship between conventional complex unit j and geometric algebra an EM vector sensor array model based on G4 is proposed so does DOA estimation algorithm G4 MUSIC The performance analysis of G4 MUSIC is discussed on various aspects including the low rank approximation properties of covrance matrix the decorrelation properties to local correlated noise and the orthogonality of G4 vector For G4 MUSIC cannot estimate polarization parameters a modified G4 MUSIC is proposed to estimate azimuth and elevation angles of the ABSTRACT III incident signals as well as their polarization parameters Fourthly the spatial smoothing decoherence algorithm is introduced to process polarized coherent sourses based on EM vector sensor arrays Given the stringent requirements of spatial smoothing algorithm to array space structures the model of vector sensor array and the MUSIC algorithm for DOA estimation based on CG3 is proposed The covariance matrix of CG3 MUSIC can identify up to three polarized coherent sourses automatically for the incoherence of polarization steering vectors Although CG3 MUSIC deals with the coherent sourses with a limitied number nevertheless it does not use any space structures information of the vector sensor array The proposed algorithm can apply to any vector sensor arrays with arbitrary space structures when the number of polarized coherent sourses is small Keywords electromagnetic vector sensor geometric algebra DOA estimation polarization parameter estimation coherent sources 目录 IV 目目 录录 第一章 绪 论 1 1 1 研究背景介绍 1 1 2 国内外研究现状 2 1 3 本文的主要贡献及章节安排 5 第二章 几何代数基础 7 2 1 几何代数基础 7 2 1 1 内积与外积 7 2 1 2 几何积 8 2 1 3 几何对象与多重矢量 9 2 2 三维矢量空间几何代数及其矩阵 10 2 2 1 三维矢量空间几何代数 10 2 2 2 G3 矩阵及其复数伴随矩阵 11 2 3 四维矢量空间几何代数及其矩阵 13 2 3 1 四维矢量空间几何代数 13 2 3 2 G4 矩阵及其复数伴随矩阵 14 2 4 三维复空间几何代数及其矩阵 16 2 4 1 三维复空间几何代数 16 2 4 2 CG3 矩阵及其复数伴随矩阵 17 2 5 几何代数矩阵的右特征值分解 18 2 6 本章小结 19 第三章 基于三维空间几何代数的矢量阵列模型及其参数估计 21 3 1 电磁矢量阵列接收信号的传统长矢量模型 21 3 1 1 空间电磁波信号的空域 极化域表征 21 3 1 2 矢量阵列接收信号的传统长矢量模型 23 3 2 电磁矢量阵列接收信号的 G3 模型 24 3 2 1 G3 框架下的麦克斯韦方程组 24 3 2 2 阵列接收信号的 G3 模型 25 3 3 G3 模型的 DOA 估计方法 27 3 3 1 G3 MUSIC 算法 27 3 3 2 仿真实验 30 3 4 一种改进的 G3 模型及其参数估计方法 32 目录 V 3 4 1 阵列接收信号的改进模型 33 3 4 2 G3v MUSIC 算法 34 3 4 3 仿真实验 37 3 5 本章小结 38 第四章 基于四维空间几何代数的矢量阵列模型及其参数估计 40 4 1 矢量阵列接收信号的四维几何代数模型 40 4 2 四维几何代数模型的 DOA 估计方法 43 4 2 1 G4 MUSIC 算法 43 4 2 2 性能分析 45 4 2 3 仿真实验 52 4 3 修正 G4 模型的空域极化域联合谱估计方法 59 4 3 1 矢量阵列的修正 G4 模型 MG4 Model 60 4 3 2 MG4 MUSIC 的空域 极化域联合谱估计算法 62 4 3 3 仿真实验 64 4 4 本章小结 69 第五章 相干信号情况下的矢量阵列参数估计 70 5 1 相干源分析 70 5 2 基于长矢量模型的空域平滑解相干算法 71 5 2 1 空域平滑解相干算法 71 5 2 2 仿真实验 74 5 3 基于复 G3 模型的解相干算法 76 5 3 1 矢量阵列接收信号的复 G3 模型 76 5 3 2 CG3 Model 协方差矩阵的解相干特性 77 5 3 3 CG3 MUSIC 算法 78 5 3 4 仿真实验 80 5 4 本章小结 82 第六章 全文总结与展望 83 6 1 全文总结 83 6 2 后续工作展望 84 致 谢 85 参考文献 86 攻读硕士学位期间取得的成果 91 第一章 绪论 1 第一章 绪 论 1 1 研究背景介绍 阵列信号处理已经成为信号处理领域里的一个重要分支 阵列信号处理的主 要目的在于 通过合理融合多个阵元采集的电磁波信号 达到抑制干扰信号和噪 声 增强感兴趣的信号以及估计信号源参数等目的 1 3 传统的标量阵列所采用的天线可以近似为全向天线 能够感知电磁波信号的 空间信息和时间信息 但是 空间电磁波本身具有三个磁场分量和三个电场分量 而标量天线阵列只能获得空间电磁信号一个场分量的数据 无法记录完整的电磁 信息 也无法提取入射电磁波的极化信息 电磁矢量传感器 Electromagnetic Vector Sensor EMVS 可以接收同一空间位 置电磁波六个分量的全部信息 具有极化敏感特性 多个这样的电磁矢量传感器 排列构成的阵列 即为电磁矢量传感器阵列 简称为矢量阵列 一个典型的电磁矢量传感器包含三个相互垂直的电场天线 电偶极子 和三 个相互正交的磁场天线 电流环 4 5 其理论结构如图 1 1 a 所示 图 1 1 b 展 示的是一种由美国 Flam and Russell 公司生产的 SuperCART 矢量天线 6 a b 图 1 1 三个正交电偶极子和电流环天线构成的电磁矢量传感器 a 理论结构图 b SuperCART 矢量天线 6 电磁矢量传感器对入射电磁波信号的波达方向和极化信息都非常敏感 因此 可以利用极化信息辨识波达方向相同而极化状态不同的同频信号 相对于传统标 量阵列 电磁矢量阵列的优点还体现在以下几个方面 3 5 1 电磁矢量传感器可以完备地获取电磁信号电场和磁场信息的六维矢量 从 电子科技大学硕士学位论文 2 而具有极化分址能力 稳健的检测能力 较强的干扰抑制能力以及较高的空间分 辨能力 2 电磁矢量传感器的多路信号采集为波达方向估计和波束形成提供了更大的 自由度和灵活性 改善信噪比门限性能 在相同的孔径下得到更为尖锐的波束 降低波束副瓣 提高波束形成的噪声抑制能力 3 相对于相互分离的标量传感器 电磁矢量传感器对阵列孔径要求不高 因 此物理尺寸更小 具有可便携性 不同传感器各分量间无需同步 具有本地协作 性 以上诸多优点 都源自电磁矢量传感器阵列能提取信号的时间 空间和极化 等多方面 多维度上的信息 充分且有效地利用这些信息至今仍是该领域的研究 热点 1 2 国内外研究现状 矢量阵列对电磁波的极化信息敏感 因此又称为极化敏感阵列 电磁矢量传 感器阵列信号处理领域的研究始于九十年代初 研究方向主要涉及三个方面 矢 量阵列滤波 矢量阵列检测 矢量阵列参数估计 包括方向参数和极化参数 如 前文所述 电磁矢量传感器具有记录电磁波完备信息的能力和极化敏感特性 如 何有效利用这些特性以提高对来波信号的方向参数和极化参数的估计性能 一直 都是矢量阵列信号处理领域的热点研究问题 在矢量阵列信号处理领域 传统的处理方法都是在复数域对矢量阵列信号的 接收数据进行建模和处理 1994 年美国华盛顿大学的 Nehorai 教授对全电磁矢量传感器阵列进行了复数 域的全面建模 7 并提出了单个电磁信源的矢量叉积二维波达方向估计算法 随后 Nehorai 等人在文献 8 中讨论了矢量阵列信号的导向矢量的线性无关性 在文献 9 中研究了矢量阵列可辨识的极化信源数目上限 在文献 10 中研究了完全极化信号 和部分极化信号同时存在时的 DOA 估计方法 在文献 11 中运用矢量叉乘方法实 现了单个极化信号源的追踪算法 在文献 12 中解决了多个极化信源的追踪问题 Nehorai 教授提出的模型将所有矢量传感器的接收数据连接成一个很长的复 数向量作为整个阵列输出信号的描述 因此又称为长矢量模型 Long Vector Model LV Model 7 16 由于模型建立在复数空间中 所以基于 LV Model 的矢量阵列处 理具有传统标量阵列相类似的处理方式 基于复数域模型 标量阵列频谱估计的非参数化方法均可有效地推广到矢量 阵列信号处理领域 如周期图方法 Capon 波束成形方法和挖掘数据统计特性的最 第一章 绪论 3 大似然估计方法等 例如 A J Weiss 在文献 17 中利用极大似然方法实现了对电磁 信号的角度参数和极化参数的估计 基于参数化的子空间类算法在矢量天线阵列领域的研究成果也十分丰硕 文 献 18 提出了噪声子空间拟合的参数估计方法 先估计信号的 DOA 参数 然后通 过求解线性方程组得到极化参数 文献 19 提出了无需多维参数搜索的多项式求根 算法 Jian Li 等人将 ESPRIT 方法推广到极化 角度域 解决不同情形下矢量阵列 的多参量估计问题 20 21 文献 20 研究了基于均匀矩形矢量阵列的 DOA 估计问题 文献 21 研究了利用电场分量和磁场分量之间的相对不变性实现的 ESPRIT 算法 与此同时 K T Wong 等人针对矢量阵列也进行了大量的研究 文献 22 中的基于 单个矢量传感器时域ESPRIT算法最多可以独立处理5个数字频率不同的窄带信号 源 在文献 23 中将单个电磁矢量传感器当做一个无模糊子阵 利用空域 ESPRIT 方法实现了稀疏矢量阵列窄带信号源二维方向角和极化角的同时估计 在文献 24 中研究了基于 Self Initiate MUSIC 算法的方向参数和极化参数估计方法 在文献 25 中利用 ESPRIT 类算法研究了任意空间结构的矢量阵列且阵元位置未知情形下对 信号源方向参数和极化参数的估计问题 并给出了其闭式解 在文献 26 中利用特 征结构类算法实现了具有相同子阵结构的任意阵列对的信号 DOA 估计 以上对电磁矢量传感器的研究模型都是基于或者类似于 Nehorai 教授提出的 长矢量模型 长矢量模型也是目前电磁矢量传感器阵列信号处理研究领域应用最 广泛的模型 然而 矢量传感器最大的特点是其单个阵元输出为矢量 而复数域的长矢量 矢量模型无法体现矢量传感器输出信号间的相互关系 模糊了由阵元位置所决定 的空域导向信息和由阵元各分量指向所决定的极化域导向信息的界限 对空域和 极化域数据分量采用相同的操作进行处理 破坏了电磁矢量传感器阵列信号的局 部矢量特性及整体的三维结构特征 27 32 因此 众多学者开始探索利用高维代数 对矢量传感器阵列进行建模 并尝试了相应的 DOA 估计方法 多维数据分析起源于 1944 年 Cattell 的心理学分析 随后 Harsman 在化学领域 对多维数据进行研究 提出了平行因子模型 平行因子分解等张量分解方法能够 实现高维数据各成分的盲估计 近十几年来引起信号处理领域学者们的关注 27 35 文献 33 首次提出一种基于张量运算的矢量 MUSIC 信号 DOA 估计方法 龚 晓峰等人于 2008 年提出了一种双模 MUSIC 的方法 34 利用 张量 子空间的双 模正交性构建了基于张量模型的类 MUSIC 谱 该方法最大的特点是可以利用极化 域平滑的思想对抗相干信号 不过其最多只能估计 6 个信号 在均匀线阵等情形 下不可估计 2010 年 文献 35 首次对电磁矢量传感器数据建立了高阶张量谱的概 电子科技大学硕士学位论文 4 念 并利用平行因子分解方法对其进行处理 这种方法充分发挥了高维数据分解 的特性 具有不需要阵列空间配置 信号频率和信号是否为完全极化波等先验信 息以及可以较好地对抗色噪声信号等优势 除了张量代数以外 近年来 基于多元代数 几何代数等其他超复数域的矢 量阵列处理技术也逐渐为人们所关注 2004 年 N L Bihan 和 J I Mars 等人在文献 36 中将四元数引入矢量阵列信号 处理领域 并提出了四元数的奇异值分解方法 2006 年 他们在文献 37 中为二分 量矢量阵列建立了四元数模型 Quaternion Model Q Model 并提出了基于四元 数的多重信号分类算法 Q MUSIC 与基于传统长矢量模型的 MUSIC 算法相比 该算法表现出了更高的分辨率和更少的协方差估计运算量和存储量 2007 年 他 们在文献 38 39 中为三分量矢量阵列建立了双四元数模型 Biquaternion Model BQ Model 并提出了 DOA 估计的双四元数 MUSIC 算法 BQ MUSIC 该算法 对相关噪声和阵列模型误差表现出了较好的鲁棒性 文献中还讨论了多元数更强 的正交约束和分辨率的关系 值得一提的是 J Mars 等人在该文献中指出了双四 元数和几何代数的一致性 并预言了高维代数 尤其是几何代数 在信号处理的 复合结构数据建模中的巨大潜力 2008 年 龚晓峰等人在文献 40 41 中针对六分量全电磁矢量传感器阵列建立 了四四元数模型 Quad Quaternion Model QQ Model 并提出了 QQ MUSIC 算法 该算法在存在阵元位置误差或阵元指向误差的情况下具有较好的鲁棒性 相比 于 LV MUSIC 和 BQ MUSIC 表现出了更高的估计精度 2011 年 该作者在文献 42 中结合张量代数中的平行因子分解方法 为三分量矢量阵列提出了双四元数矩阵 的新特征分解方法 Biquaternion Matrix Diagonalization BMD 并给出了无需空 间谱搜索的 DOA 盲估计方法 采用这些基于四元数代数结构的建模方式 阵列数据处理时的运算量和存储 空间获得了不同程度地节省 QQ MUSIC 采用了瑞利准则实现电磁源极化参数和 角度参数的解耦 Q MUSIC 算法需要耗时的四维搜索来实现电磁源的 DOA 和极 化参数的估计 但 BQ MUSIC 和 QQ MUSIC 算法都无法准确估计极化参数 43 44 2010 年 蒋景飞等人在文献 45 46 中首次正式将几何代数引入矢量阵列处理 领域 为全电磁矢量传感器阵列建立了一种的几何代数模型 这种建模方式不仅 有效降低了协方差矩阵估计所需的计算量和存储空间 并使其协方差矩阵具有完 全或部分去除噪声相关性的能力 2011 年 邹麟等人在文献 47 50 中将几何代数 引入共形阵列的方向图综合与波束形成的信号处理中 利用几何代数的合成转子 实现了向量在各坐标系中的转换过程 避免了繁琐晦涩的欧拉旋转矩阵的转换 第一章 绪论 5 几何代数 Geometric Algebra 可以看作复代数 矢量代数 多元代数等的推 广 并具有更好的统一性 简洁性和计算效率 几何代数基于双曲复空间构造 有效地连接了数学空间和物理空间 具有很好的几何直观性 能够对多维数据的 各级子空间直接表示和运算 因此能够成为多维信号处理领域中的一个重要数学 工具 51 54 它能够将矢量 张量 四元数等统一到同一代数框架内 目前已广泛 用于相对论力学 弹性动力学 电磁学 时空物理以及宇宙学等诸多物理学领域 53 和计算机视觉 模式识别 图像处理 神经网络以及机器人系统等信号处理的工 程应用领域 56 针对相干情况下的阵列信号参数估计问题 国内外学者先后提出了诸多解相 干的算法 第一类方法就是空间平滑算法 57 该类算法能够使得信号协方差矩阵 的秩得到有效的恢复 第二类方法是空间差分方法 58 59 该类算法可以将不相关 信号和相干信号的 DOA 分开进行估计 此外 还有一些方法可以达到和最大似然 类似的解相干效果 60 65 不过此类算法的迭代过程所需计算量较大 或需要较高 的信噪比 在二维相干信号处理领域 也引入了划分子阵 空间平滑 前后向空 间平滑等思想 此外 针对电磁矢量传感器的极化敏感特性 具有代表性的 Rahamim 等学者 提出的一种极化域上的解相干预处理技术 即极化平滑算法 相比传统标量阵列 的空间平滑算法 该算法实现较为简单 并且适应任意空间结构的矢量阵列 但 极化平滑算法最多只能估计 6 个信号 且在均匀线阵等情形下不可估计 龚晓峰 等人提出的基于张量建模的双模 MUSIC 的方法 24 也可以利用极化域平滑的思想 对抗相干信号 1 3 本文的主要贡献及章节安排 本课题所关注的矢量阵列信号处理领域的问题主要包括 超复数域建模理论 阵列信号参数估计理论两个领域 是当前国内外学术界的重要研究方向 本论文 将结合几何代数 从保留接收数据矢量特性的角度为矢量天线阵列建立几何代数 模型 并在这些模型下研究矢量阵列的方向参数和极化参数的子空间类估计方法 本文的章节结构安排如下 第一章 定性地分析了电磁矢量传感器阵列的性能优势及应用前景 梳理了 国内外关于矢量阵列信号的建模与参数估计方面的研究现状 第二章 对几何代数体系进行了简要的描述 重点介绍了三维矢量空间几何 代数 四维矢量空间几何代数以及复三维空间几何代数的代数体系 运算规则及 其矩阵的分析处理方法 电子科技大学硕士学位论文 6 第三章 主要研究电磁矢量传感器阵列在三维矢量空间几何代数框架下的建 模与 DOA 估计问题 首先 回顾了空间电磁波信号的空域 极化域联合表征方法 以及矢量阵列在复数域的信号接收模型 为后文超复数域建模奠定了基础 然后 介绍了蒋景飞等人在文献 45 46 中提出的基于 G3 的矢量阵列接收模型及其 DOA 估计的 G3 MUSIC 算法 并从信息利用的角度分析了其参数估计性能 最后给出 了一种 G3 框架下改进的 DOA 估计方法 G3v MUSIC 通过理论分析和仿真实 验证明 在一般统计意义下 G3v MUSIC 算法由于利用了接收信号更多的二阶统 计信息而具有比 G3 MUSIC 算法更好的 DOA 性能 第四章 主要研究基于四维矢量空间几何代数的建模与参数估计问题 首先 利用G4为电磁矢量传感器阵列建立了信号接收模型 然后研究了基于该模型DOA 估计的 G4 MUSIC 算法 并从协方差矩阵的低秩逼近特性 对局部相关噪声的去 相关特性和 G4 向量的正交性等方面分析了 G4 MUSIC 算法的性能优势 然后针 对 G4 MUSIC 算法无法实现极化参数估计的问题 提出了一种分离协方差矩阵中 极化信息和空域导向矢量的分析方法 从理论上分析了利用 G4 MUSIC 算法的协 方差矩阵的不能估计极化参数的具体原因 从而进一步讨论了一种对 G4 MUSIC 算法的修正方法 通过修正 G4 模型可以实现对信号源的方向参数和极化参数的同 时估计 第五章 主要研究相干信号情况下的矢量阵列信号处理问题 首先 将空域 平滑解相干算法推广到了电磁矢量传感器阵列信号处理领域 并分析了处理极化 相干源时矢量阵列的空域平滑算法对子阵阵元数和子阵个数的要求 然后针对空 域平滑算法无法适用于任意空间结构的矢量阵列的问题 讨论了一种基于三维矢 量复空间几何代数的信号接收模型 以及基于该模型 DOA 估计的 CG3 MUSIC 算 法 该模型的协方差矩阵能够利用极化导向矢量的不相干特性自动分离 最多 3 个极化相干源 虽然能处理的相干源数目受到限制 但该算法没有利用阵列的空 间结构特性 在相干源数目较小时 能够适用于任意空间结构的矢量阵列 第六章 对全文工作进行总结 概括几何代数在对矢量阵列进行建模和处理 的优势以及存在的问题 并对几何代数在矢量阵列信号处理领域值得研究的方向 做出展望 第二章 几何代数基础 7 第二章 几何代数基础 Clifford 代数源于十九世纪的英国数学家 William Clifford 和德国数学家 Hermann Grassmann 1960 年代美国理论物理学家 David Hestenes 将 Clifford 代数 发展成为具有数学 物理一致性的语言 命名为几何代数 几何代数是一个在实 数域上定义了几何积 geometric product 运算的有限维矢量空间 几何代数中的 元素为多矢量 或称多重向量 multivector 多矢量和几何积是几何代数引入的 两个新概念 首先 几何代数认为向量是一维子空间 类似地有高维子空间存在 因此 它定义了子空间的一般元素 向量 vector 双向量 bivector 三向量 trivector 以及 k 面片 k blade 多矢量则是多个不同级数面片的线性组合 其次 它定义了多矢量的几何积 几何积包含内积和外积 结合了正交和共线性 的概念 这使得几何积成为一个非常强大的算子 能够表达许多不同的几何关系 和代数联系 Equation Chapter 2 Section 1 几何代数是一种统一的数学语言 能够将矢量 张量 四元数等统一到同一 代数框架内 它提供了多矢量的表示方法和几何积的计算方法 从而具有统一的 高维空间描述方法 目前 几何代数已广泛用于相对论力学 电磁学 时空物理 以及宇宙学等诸多物理学领域和计算机视觉 图像处理 神经网络以及机器人系 统等信号处理的工程应用领域 2 1 几何代数基础 几何代数最初是由 Clifford 在十九世纪引入 他将传统的向量内积和 Grassmann 引入的外积相结合 构成了单一的几何积 并且将其拓展至任意维数 从而构成统一的可扩展的代数工具体系 2 1 1 内积与外积 在线性代数中 人们已经熟知向量的几种 积 内积 叉积和混合积 给定 两个一维向量a和b 它们的内积a bi为标量 且内积定义为 cos a ba bi 2 1 其中 为向量a和b之间的夹角 如果两个向量之间的内积为 0 则称两向量正 交 传统的叉积运算只在三维空间中有意义 外积不但将几何概念代数化 还可 以视为叉积的一个拓展 外积首先由 Grassmann 提出 两个一维向量a和b的外 电子科技大学硕士学位论文 8 积 表示为 ab 外积 ab表示一个有方向的 平面块 该平面块的面积为 sin a b 其结果为一个新的有方向性的值 称为双向量 且 sin Bab Ba b 2 2 注意到由沿着a扫描b所得到的平行四边形 ab 和沿着b扫描a所得的平 行四边形 ba 仅仅是方向不同 这可以表示为 Babba 2 3 即 交换外积中向量的顺序会将原来所得双向量的方向反转 式 2 3 也说明外积 运算不满足交换律 而是满足反交换律 2 1 2 几何积 几何代数的核心在于引进了将内积与外积统一表达的几何积 实现了标量运 算和矢量运算 维度运算与几何运算的统一 几何积是构建几何代数空间的基础 在几何代数空间中的所有算子和运算均通过几何积实现 对于给定的两个一维向量a和b 其几何积定义为 aba babi 2 4 其中 a bi为a和b的内积 该运算的结果为一个标量 ab为外积 其结果为一 个双向量 内积与外积的维度运算表现为 内积是降维操作 且当0 a bi时 非 零向量a b正交 外积是升维操作 且当0 ab时 a与b平行 由内积运算满足的可交换性和外积运算满足的反交换性 可得 bab a ba a babii 2 5 对比式 2 4 和式 2 5 可以看出 一般情况下 外积不为零 ab和ba并不相等 基于式 2 4 和式 2 5 可得到内积和外积的几何积描述方式 1 2 1 2 a babbab a ababbaba ii 2 6 式 2 6 表明内积和外积内蕴于几何积 基于几何积构建的代数系统是完备的与封 闭的 同时还表明几何积既非对称运算也非反对称运算 在运算优先级上 内积 运算先于外积运算 外积运算先于几何积运算 此外 几何代数的几何关系运算和维度运算与其所在空间以及坐标系统的选 取无关 从而简化几何变换和几何关系的表达与运算 对通常的几何计算 利用 第二章 几何代数基础 9 几何积可以大量减少需要的几何算子个数 并能够在不改变原算法结构的前提下 实现向高维以及混合维度的扩展 对于给定的向量 a b c 几何积满足分配律 a b cab ac b c aba ca 2 7 上式表明几何积满足左分配律和右分配律 但是由于几何积不满足交换律 所以 上述两式结果是不一样的 几何积对标量乘法满足交换律和结合律 aba babab 2 8 2 1 3 几何对象与多重矢量 在几何代数中 维度的扩展是通过外积的升维实现的 即 r 级向量 r vector 为 r 个一维向量的外积得到 12 2 rr r Aaaa 2 9 其中 12 r a aa 均为向量 2r 2 A 表示二级向量 简称双向量 3r 3 A 表 示三向量 当3r 时 表示r级向量 此处的r表示几何代数的级数 grade 几何代数中的数学对象由不同维度的几何对象构成的 几何对象可以通过幅 度 方向和几何意义进行表征 通常情况下 零向量 即标量 向量 双向量和 三向量分别表示有向的点 线段 平面块和空间块 如图2 1所示 a b c d 图 2 1 几何代数空间中的几何对象 a 标量 b 向量 c 双向量 d 三向量 几何代数允许不同级别的元素相加 相加之后构成含有混合级别的元素 可 以表示为 0 n r r AA 2 10 电子科技大学硕士学位论文 10 其中 r A表示 r 级向量 A称为多矢量 对于任意的级别r r i为几何代数的阶数 运算 表示取出几何代数中级别为r的所有元素 因此 r r AA 可以通过多矢 量的阶数运算解析其特定维度的对象 几何代数中的任何元素均可称为多重向量 因为它们皆可写成式 2 10 的形式 多矢量是几何代数空间中同时包含多个不同维度子空间的基本数据结构 用 号将不同维度对象 如向量和双向量等 进行连接 与复数类似 此处 号不进行数值运算 仅用于连接不同维度对象 对于多重向量的运算 加法满足交换律和结合律 乘法 几何积 满足结合 律和分配律 注意几何积运算不满足交换律 其余的法则和传统的代数系统一样 另外 若假设所有的标量均为实数 则任意标量和多矢量之间的标量乘法满 足交换律 AA 2 11 2 2 三维矢量空间几何代数及其矩阵 考虑 1 j jn e为n维矢量空间 n V一组正交基 则存在与 n V对应的几何代 数空间 n G n G由n 1级子空间构成 分别为标量 0级向量 子空间 一级向量 子空间 n级向量子空间 其中 标量子空间的基底为 1 一级向量子空 间基底为正交基 1 j jn e k级向量子空间的基底由k个不同的一级向量子 空间基底的外积得到 2 2 1 三维矢量空间几何代数 三维欧几里得矢量空间的几何代数 G3 由三维矢量空间 3 V张成 其一级向 量子空间的正交基为 123 e e e 并且 112233 1 iiie ee ee e 2 12 则对应的 3 G空间中的几何对象为 123233112123 1 标量向量双向量三向量 e e eee ee 2 13 其中 为简化书写方式 定义了 ijij eee 这里的 i j分别为1 2 3 且 123123 eeee 123 e为 3 G空间中的伪标量 pseudoscalar 则 3 G空间中的任意多 矢量为 01 122332343151261237 0123 aaaaaaaa A AAAA eeeeeee 2 14 z k q 20151125 第二章 几何代数基础 11 其中 0 7 i ai R为实数 0 1 2 3 k k A为多矢量A的 k 级向量子空间 部分 对于r级向量 r A r A的反 The inverse of r A 表示为 r A 其计算方式为 1 2 1 r r rr AA 2 15 则A的反 A可以表示为 01 1223 34235 316 127 123 0123 aaaaaaaa A AAAA eeeeeee 2 16 因为 123 e e e是正交基 所以当ij 时有 0 ij ijijijji ie e ee eeee 2 17 几何积满足结合律和分配率 结合式 2 12 和 2 17 即可计算G3中的任意多 矢量之间的乘积关系 对于任意多矢量 3 AG 其幅度的计算方法为 7 2 0 0 k k a AA A 2 18 考虑三维欧氏空间中的两个一级向量a和b 容易验证如下的关系 123 123 123123 aba b a ba b a bab i i e e ee 2 19 双四元数是一种八维的超复数 在信号处理领域多有应用 双四元数与本小 节介绍的三维欧氏空间几何代数具有如下对应关系 39 233112123123 1 1 ijkIIiIjIk eeeeeee 2 20 式 2 20 的一一对应关系说明 双四元数与G3实质上是描述同一空间的不同 坐标基矢 它们具有空间一致性 2 2 2 G3 矩阵及其复数伴随矩阵 将G3中的多矢量作为元素构成的矩阵 定义为G3矩阵 对任意给定的G3 矩阵 3 m n G A 其形式为 01213122331234352617 AAe Ae Ae AeAe Ae Ae A 2 21 z k q 20151125 电子科技大学硕士学位论文 12 其中 0 1 7 p p A为m n 的实数矩阵 由三维欧氏空间几何代数多矢量的特 性可知 G3 矩阵满足普通的矩阵加法交换律 乘法分配律 不满足乘法交换律 其共轭转置矩阵表示为 H A 且定义为 HTTTTTTTT 01122313234123536271 AAA eA eA eA eA eA eA e 2 22 对于任意 3 n G A的方阵 若 H AA 则A被称为酉矩阵 若 HH n A AAAI A被称为单位阵 若存在 3 n G B使得 n ABBAI 称A为可逆矩阵 对于任意给定的 G3 矩阵A 3 m n G A 若其形式可以表达为式 2 21 的形式 则其复数伴随矩阵定义为 04 1231 123526 1233 1237 26 1233 123704 1231 1235 A AA eAeAAA eA eA AA eA eAAA eAeA 2 23 对于给定的几何代数矩阵 3 m n G A 且其复数表示矩阵为 A 则存在以下基 本性质 H 22 22 2 233113 3311 22 23 3113 0 0 1 21 1 1 2 1 mn mn KK KKK KK KK K KK GKm n G A A AEE A QQ A EeIeeI eIeeI Q eeIeI 2 24 其中 K I表示KK 的单位对角阵 后两式带入前两式计算即可证明 由于 123 123 1 ee 123 e和复数的虚部j同构 而且 07 AA为m n 的实数矩阵 因此 A 满足所有复数矩阵的运算规则 A 可以看成复数矩阵进行处理 由 2K E和 2K Q的表达式可以得到以下基本性质 HH 2222 H 22 H1 222 mmnn KKK KKK AA EEE E EEI QQQ 2 25 对于给定的G3矩阵 3 m n G A B和 3 n p G C 若其复数伴随矩阵由式 2 23 给 出 由其复数伴随矩阵的定义及其性质 容易得到如下结论成立 a AB AB b A BABACAC c H H A A d 如果 1 A