高考数学二轮复习 专题辅导与训练 6.2 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明教学课件.ppt

第二讲圆锥曲线的概念与性质 存在性问题与曲线中的证明 主干知识 1 必记公式 1 三个定义式 椭圆 pf1 pf2 2a 2a f1f2 双曲线 pf1 pf2 2a 2a f1f2 抛物线 pf pm 点f不在直线l上 pm l于m 2 直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求 根据根与系数的关系 进行整体代入 即当直线与圆锥曲线交于点a x1 y1 b x2 y2 时 ab 3 抛物线的过焦点的弦长 抛物线y2 2px p 0 过焦点f的弦ab 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 ab x1 x2 p 同样可得抛物线y2 2px x2 2py x2 2py类似的性质 y1 y2 2 重要性质 1 椭圆 双曲线中a b c之间的关系 在椭圆中 离心率为 在双曲线中 离心率为 a2 b2 c2 c2 b2 a2 2 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标f1 f2 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标f1 f2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 准线方程为 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标为 准线方程为 3 易错提醒 1 忽视定位条件 在圆锥曲线问题的研究中 应先定位 后定形 缺少了定位往往会做无用功 定位条件是 焦点或准线 定形条件是 a b p 2 搞清双曲线渐近线的斜率 在求双曲线的渐近线方程时 一定要注意双曲线渐近线的斜率是 还是 3 忽略一元二次方程的判别式致误 对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题 应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时 应注意判别式大于等于零这一条件 考题回顾 1 2014 安徽高考 抛物线y x2的准线方程是 a y 1b y 2c x 1d x 2 解析 选a 因为y x2 所以x2 4y 所以抛物线的准线方程是y 1 2 2014 浙江高考 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 a b 0 两条渐近线分别交于点a b 若点p m 0 满足 pa pb 则该双曲线的离心率是 解析 由双曲线的方程可知 它的渐近线方程为与y 分别与x 3y m 0 m 0 联立方程组 解得设ab的中点为q 则因为 pa pb 所以pq与已知直线垂直 所以kpq 3 解得a2 4b2 4 c2 a2 即答案 3 2014 江西高考 过点m 1 1 作斜率为 的直线与椭圆c 1 a b 0 相交于a b 若m是线段ab的中点 则椭圆c的离心率为 解析 设a x1 y1 b x2 y2 则答案 4 2014 北京高考 设双曲线c的两个焦点为一个顶点是 1 0 则c的方程为 解析 由焦点坐标可得c 且焦点在x轴上 由顶点坐标 0 知a 1 所以b2 c2 a2 2 1 1 所以c的方程为x2 y2 1 答案 x2 y2 1 热点考向一圆锥曲线的定义 标准方程与性质 考情快报 典题1 1 2014 江西高考 设椭圆c 1的左右焦点为f1 f2 过f2作x轴的垂线与c相交于a b两点 f1b与y轴相交于点d 若ad f1b 则椭圆c的离心率等于 2 2014 北京模拟 若抛物线c y2 2px的焦点在直线x y 2 0上 则p c的准线方程为 信息联想 1 看到过f2作x轴的垂线与c相交于a b两点 想到 2 看到抛物线y2 2px 想到 a b坐标的求法 该抛物线的焦点在x轴上 规范解答 1 不妨令所以直线f1b的方程为令x 0可得即因为ad f1b 所以整理得b2 2ac 故a2 c2 2ac 即e2 2e 0 解得e 负值舍去 答案 2 抛物线c y2 2px的焦点坐标为该点在直线x y 2 0上 则有 2 0 解得p 4 此时抛物线的准线方程为x 2 答案 4x 2 规律方法 圆锥曲线的定义 标准方程与性质的关注点1 求椭圆 双曲线离心率 离心率范围 的方法求椭圆 双曲线的离心率 关键是根据已知条件确定a b c的等量关系 然后把b用a c代换 求的值 在双曲线中 由于故双曲线的渐近线与离心率密切相关 2 双曲线的渐近线的求法及用法 1 求法 把双曲线标准方程等号的右边1改为零 分解因式可得 2 用法 可得或的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程 3 焦点三角形的作用借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组 便于解决问题 变式训练 1 椭圆c 1的左 右顶点分别为a1 a2 点p在c上且直线pa2斜率的取值范围是 2 1 那么直线pa1斜率的取值范围是 2 2014 绍兴模拟 已知f1 f2是椭圆c1 与双曲线c2的公共焦点 点p是曲线c1与c2的一个公共点 且 其中点o为坐标原点 则双曲线c2的离心率为 解析 选b 设且m n 曲线c2 a 0 b 0 由条件知及三角形pf1f2中余弦定理m2 n2 2mncos 2c 2 42 结合m n 6 m n 2a可得a 从而 加固训练 1 2014 郑州模拟 已知椭圆c1 与双曲线c2 1有相同的焦点 则椭圆c1的离心率e的取值范围为 解析 选a 因为椭圆c1 与双曲线c2 1有相同的焦点 所以m 0 n 0 所以m 2 n m n 解得n 1 所以椭圆c1的离心率又e 1 所以椭圆c1的离心率e的取值范围为 1 2 2014 嘉峪关模拟 已知抛物线y2 2px的焦点f与双曲线 1的右焦点重合 抛物线的准线与x轴的交点为k 点a在抛物线上且 ak af 则 afk的面积为 a 4b 8c 16d 32 解析 选d 因为抛物线y2 2px的焦点f与双曲线 1的右焦点重合 所以p 8 设a m n 又 ak af 所以m 4 n 又n2 16m 解得m 4 n 8 所以 afk的面积为s 8 8 32 热点考向二与圆锥曲线有关的证明问题 考情快报 典题2 2014 北京模拟 已知椭圆w 1 a b 0 的焦距为2 过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为 1 o为坐标原点 1 求椭圆w的方程 2 设斜率为k的直线l与w相交于a b两点 记 aob面积的最大值为sk 证明 s1 s2 信息联想 1 看到焦距 想到 看到右焦点和短轴一个端点的直线的斜率 想到 2 看到直线l与w相交于a b两点 想到 2c 两点连线的斜率 直线方程与椭圆方程联 立 规范解答 1 由题意得w的半焦距c 1 右焦点f 1 0 上顶点m 0 b 所以直线mf的斜率kmf 1 解得b 1 由a2 b2 c2 得a2 2 所以w的方程为 y2 1 2 设直线l的方程为y kx m 其中k 1或k 2 a x1 y1 b x2 y2 由方程组得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 所以 16k2 8m2 8 0 由根与系数的关系 得x1 x2 所以因为原点o到直线y kx m的距离d 所以s aob ab d 当k 1时 因为s aob 所以当m2 时 s aob有最大值 所以s1 验证知 成立 当k 2时 因为s aob 所以当m2 时 s aob的最大值s2 验证知 成立 所以s1 s2 规律方法 1 直线与圆锥曲线位置关系与 的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量 如y 得出方程ax2 bx c 0 1 若a 0 此时直线与圆锥曲线只有一个交点 2 若a 0 则当 0时 直线与圆锥曲线有两个交点 相交 当 0时 直线与圆锥曲线有一个交点 相切 当 0时 直线与圆锥曲线没有交点 相离 注 当曲线为开口向上 下 的抛物线时 常用导数求解其切线问题 2 证明与圆锥曲线有关问题的思路将待证问题转化为与点 线 向量等几何元素或斜率 长度等与数量有关的计算问题求解 3 直线与圆锥曲线问题中的巧设直线若直线l过x轴上一点 a 0 时 可设直线l的方程为x ty a 这样可避免对直线l斜率存在性的讨论 变式训练 2014 郑州模拟 已知圆c x2 y2 3的半径等于椭圆e 1 a b 0 的短半轴长 椭圆e的右焦点f在圆c内 且到直线l y x 的距离为 点m是直线l与圆c的公共点 设直线l交椭圆e于不同的两点a x1 y1 b x2 y2 1 求椭圆e的方程 2 求证 af bf bm am 解析 1 设点f c 0 c 0 则f到直线l的距离为即 c 1 因为f在圆内 所以c 故c 1 因为圆c x2 y2 3的半径等于椭圆e 1 a b 0 的短半轴长 所以b2 3 所以椭圆方程为 1 2 连接om oa 因为圆心o到直线的距离为所以直线l与圆c相切 m是切点 故 aom为直角三角形 所以 am 又因为 1 可得 am x1 af 又因为 1 可得 af 2 x1 所以 am af 2 同理 bf bm 2 所以 am af bf bm 即 af bf bm am 加固训练 2014 天水模拟 已知椭圆c的中心在原点 焦点在x轴上 长轴长为4 且点 1 在椭圆c上 1 求椭圆c的方程 2 设p是椭圆c长轴上的一个动点 过p作方向向量d 2 1 的直线l交椭圆c于a b两点 求证 pa 2 pb 2为定值 解析 1 因为c的焦点在x轴上且长轴长为4 故可设椭圆c的方程为 1 b 0 因为点 1 在椭圆c上 所以 1 解得b2 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 设p m 0 2 m 2 由已知 直线l的方程是y x m 由 2x2 2mx m2 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是方程 的两个根 所以x1 x2 m x1x2 所以 pa 2 pb 2 x1 m 2 y12 x2 m 2 y22 x1 m 2 x1 m 2 x2 m 2 x2 m 2 x1 m 2 x2 m 2 x12 x22 2m x1 x2 2m2 x1 x2 2 2m x1 x2 2x1x2 2m2 m2 2m2 m2 4 2m2 5 定值 即 pa 2 pb 2为定值 热点考向三圆锥曲线中点 线 参数等存在性问题 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一与圆锥曲线有关的存在性问题 典题3 2014 温州模拟 f1 f2为椭圆c 1的左 右焦点 d e是椭圆上顶点 右顶点 椭圆的离心率e 若点m x0 y0 在椭圆c上 则点称为点m的一个 椭点 直线l与椭圆交于a b两点 a b两点的 椭点 分别为p q 1 求椭圆c的标准方程 2 问是否存在过左焦点f1的直线l 使得以pq为直径的圆经过坐标原点 若存在 求出该直线的方程 若不存在 请说明理由 现场答案 纠错析因 找出以上现场答案的错误之处 分析错因 并给出正确答案 提示 以上解题过程中出错之处是 1 第 2 小题忽视对直线l的斜率存在性的讨论 原因是直线l的斜率可能存在 也可能不存在 上述解答过程中 只考虑了斜率存在的情况 2 忽视题中 直线与椭圆交于两点 从而 0的约束 规范解答 1 由题意得e 因此c a b a 故a2 4 即a 2 所以b 1 c 故椭圆c的标准方程为 y2 1 2 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 联立解得或不妨令所以对应的 椭点 坐标为而所以此时以pq为直径的圆不过坐标原点 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 联立方程得消去y得 4k2 1 x2 8k2x 12k2 4 0 4k2 1 0 8k2 2 4 4k2 1 12k2 4 16k2 16 0 设a x1 y1 b x2 y2 则这两点的 椭点 坐标分别为p y1 q y2 由根与系数的关系可得 x1 x2 若使得以pq为直径的圆经过坐标原点 则op oq 规律方法 存在性问题求解的思路及策略 1 思路 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确 则存在 若结论不正确 则不存在 2 策略 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 命题角度二点的存在性问题 典题4 2014 湖州模拟 已知动点p到直线l x 4 0的距离与它到点m 2 0 的距离之差为2 记点p的轨迹为曲线c 1 求曲线c的方程 2 问直线l上是否存在点q 使得过点q且斜率分别为k1 k2的两直线与曲线c相切 同时满足k1 2k2 0 若存在 求出点q的坐标 若不存在 请说明理由 信息联想 1 看到动点到一定直线和定点的距离关系 想到 2 看到过q的两直线与曲线c相切 且斜率满足k1 2k2 0 想到 抛物线的定义 方程思想求出k1 k2 规范解答 1 根据抛物线定义 曲线c是以 2 0 为焦点 x 2为准线的抛物线 所以p 4 故曲线c的方程为y2 8x 2 假设存在 设q 4 y0 过q与c相切的直线设为y y0 k x 4 k 0 联立得 ky2 8y 8y0 32k 0 因为相切 故 64 4k 8y0 32k 0 即4k2 y0k 2 0 所以 因为k1 k2是两切线的斜率且满足k1 2k2 所以有即又因为k1 k2 得y0 2 故存在点q 4 2 和 4 2 使得过点q的两直线与曲线c相切 且满足k1 2k2 0 变式训练 2014 青岛模拟 已知点p在椭圆c 1 a b 0 上 以p为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点f2 且tan opf2 其中o为坐标原点 1 求椭圆c的方程 2 已知点m 1 0 设q是椭圆c上的一点 过q m两点的直线l交y轴于点n 若求直线l的方程 3 作直线l1与椭圆d 交于不同的两点s t 其中s点的坐标为 2 0 若点g 0 t 是线段st垂直平分线上一点 且满足求实数t的值 解析 1 由题意知 在 opf2中 pf2 of2 又因为tan opf2 所以cos pof2 设r为圆p的半径 c为椭圆的半焦距 因为所以又因为解得 c r 1 则点p的坐标为因为点p在椭圆上 所以有又因为a2 b2 c2 2 所以a2 4 b2 2 即椭圆c的方程为 2 由题意知椭圆c的方程为 依题意知直线l的斜率存在 设为m 故直线方程为y m x 1 n 0 m 设q x1 y1 因为所以 x1 y1 m 2 1 x1 y1 解得x1 又q是椭圆c上的一点 则解得m 4 所以直线l的方程为4x y 4 0或4x y 4 0 3 依题意知d 由s 2 0 设t x2 y2 根据题意可知直线l1的斜率存在 可设直线斜率为k 则直线l1的方程为y k x 2 把它代入椭圆d的方程 消去y 整理得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 1 4k2 0 16k2 2 4 1 4k2 16k2 4 16 0 由根与系数的关系得则所以线段st的中点坐标为 当k 0时 则有t 2 0 线段st垂直平分线为y轴 于是由 4 t2 4 解得 t 2 当k 0时 则线段st垂直平分线为 因为点g 0 t 是线段st垂直平分线上的一点 令x 0得 t 于是由 2x2 t y2 t 解得 代入t 解得 综上可知 满足条件的实数t的值为 加固训练 2014 西安模拟 已知椭圆 1 a b 0 的一个焦点f与抛物线y2 4x的焦点重合 且截抛物线的准线所得弦长为 倾斜角为45 的直线l过点f 1 求该椭圆的方程 2 设椭圆的另一个焦点为f1 问抛物线y2 4x上是否存在一点m 使得m与f1关于直线l对称 若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 解析 1 抛物线y2 4x的焦点为f 1 0 准线方程为x 1 所以a2 b2 1 又椭圆截抛物线的准线x 1所得弦长为 所以椭圆与抛物线的准线的上交点为将 代入 得2b4 b2 1 0 解得b2 1或b2 舍去 从而a2 b2 1 2 所以该椭圆的方程为 y2 1 2 因为倾斜角为45 的直线l过点f 所以直线l的方程为y tan45 x 1 即y x 1 由 1 知椭圆的另一个焦点为f1 1 0 设m x0 y0 与f1关于直线l对称 则得即m 1 2 又m 1 2 满足y2 4x 故点m在抛物线上 所以抛物线y2 4x上存在一点m 1 2 使得m与f1关于直线l对称 分类讨论思想 解决圆锥曲线中的参数问题 思想诠释 与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型1 判断曲线的类型 判断曲线的类型 常依据二元方程对其参数进行分类讨论 分类标准一般考虑二次项系数的正负 大小关系 2 参数方程 不等式的求解