高考数学一轮复习 第二章 第10课时 函数与方程课件 理.ppt

第二章函数与基本初等函数 1 结合二次函数的图像 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 了解函数的零点与方程根的联系 2 根据具体函数的图像 能够用二分法求相应方程的近似解 请注意1 函数y f x 的零点即方程f x 0的实根 易误认为函数图像与x轴的交点 2 由函数y f x 在闭区间 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 如图所示 所以f a f b 0是y f x 在闭区间 a b 上有零点的充分不必要条件 1 函数零点的概念零点不是点 1 从 数 的角度看 即是使f x 0的实数x 2 从 形 的角度看 即是函数f x 的图像与x轴交点的横坐标 2 函数零点与方程根的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与有交点 函数y f x 有 x轴 零点 3 函数零点的判断如果函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 4 二分法的定义对于在 a b 上连续不断 且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的所在的区间 使区间的两端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 a b f a f b 0 零点 一分为二 5 用二分法求函数f x 零点近似值 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点x1 3 计算f x1 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 f a f b 0 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 2 若函数y f x x d在区间 a b d内有零点 函数图像连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c在b2 4ac 0时没有零点 4 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实根 答案 1 2 3 4 2 方程2 x x2 3的实数解的个数为 a 2b 3c 1d 4答案a解析构造函数y 2 x与y 3 x2 在同一坐标系中作出它们的图像 可知有两个交点 故方程2 x x2 3的实数解的个数为2 故选a 答案c 4 下列函数图像与x轴均有公共点 其中能用二分法求零点的是 答案c解析a b图中零点两侧不异号 d图不连续 故选c 5 若在二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 答案2 例1 1 2013 天津理 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 题型一零点的个数及求法 答案 b 2 函数f x xcos2x在区间 0 2 上的零点的个数为 a 2b 3c 4d 5 答案 d 探究1函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 那么有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图像和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 画两个函数图像 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 解析 f x 2xln2 3x2 在 0 1 上f x 0恒成立 f x 在 0 1 上单调递增 又 f 0 10 f x 在区间 0 1 上存在一个零点 答案 1 思考题1 题型二求零点所在区间 答案 d 探究2此类题的解法是将f x 0 拆成f x g x h x 0 画出h x 与g x 的图像 从而确定方程g x h x 的根所在的区间 设f x lnx x 2 则函数f x 的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 思考题2 解析 函数f x 的零点所在的区间转化为函数g x lnx h x x 2图像交点的横坐标所在的范围 作图如图所示 可知f x 的零点所在的区间为 1 2 答案 b 题型三零点性质的应用 探究3已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图像 然后观察求解 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 求实数a的取值范围 解析 函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 即方程ax x a 0有两个根 即函数y ax与函数y x a的图像有两个交点 思考题3 当01时 图像如图 所示 此时有两个交点 实数a的取值范围为 1 答案 1 例4 1 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次经计算f 0 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 题型四二分法 答案 0 0 5 f 0 25 2 在用二分法求方程x3 2x 1 0的一个近似解时 现在已经将根锁定在区间 1 2 内 则下一步可断定该根所在的区间为 探究4利用二分法求近似解需注意的问题 1 在第一步中 区间长度尽量小 f a f b 的值比较容易计算且f a f b 0 2 根据函数的零点与相应方程根的关系 求函数的零点与相应方程的根是等价的 在用二分法求方程x2 2的正实数根的近似解 精确度0 001 时 若我们选取初始区间是 1 4 1 5 则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 思考题4 答案 7 1 函数零点的性质 1 若函数f x 的图像在x x0处与x轴相切 则零点x0通常称为不变号零点 2 若函数f x 的图像在x x0处与x轴相交 则零点x0通常称为变号零点 2 函数零点的求法 求函数y f x 的零点 1 代数法 求方程f x 0的实数根 常用公式法 因式分解 直接求解等 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 3 二分法 主要用于求函数零点的近似值 所求零点都是指变号零点 3 有关函数零点的重要结论 1 若连续不断的函数f x 是定义域上的单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图像通过一重零点时 不是二重零点 函数值变号 通过二重零点时 函数值可能不变号 答案c 答案b 3 2015 唐山一中模拟 设f x 3x x2 则在下列区间中 使函数f x 有零点的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 1 d 1 0 答案d解析函数f x 在区间 a b 上有零点 需要f x 在此区间上的图像连续且两端点函数值异号 即f a f b 0 把选择项中的各端点值代入验证可得答案d 答案b 5 如果函数f x ax b a 0 有一个零点是2 那么函数g x bx2 ax的零点是 二次函数的零点问题例1若二次函数f x x2 2ax 4在 1 内有两个零点 求实数a的取值范围 例2m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 1 有且仅有一个零点 2 有两个零点且均比 1大 解析 1 f x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 方程f x 0有两个相等实根 0 即4