数学人教版八年级上册剪不断,理还乱.doc

剪不断，理还乱 -对三角形内角和定理推论的重命名及其教学建议 内蒙古自治区赤峰市喀喇沁旗锦山第三中学（024400） 徐长存 新人教版九年义务教育教科书八年级数学上册，把“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一结论叫三角形内角和定理的推论，笔者认为这样命名不妥，并且由此推出的结论：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”该如何命名，难道叫推论的推论？真是“剪不断，理还乱”！下面笔者谈谈自己的看法：一、 重命名原因（1）根据推论的概念新人教版九义务教育教科书八年级数学（2013年6月第一版）上册，在15页小字版提示语中明确给出了推论的概念：“推论是由定理直接推出的结论。和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据。”而“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一结论也可由平行线的性质独立证明，如图1，过C点作CEAB，易得ACDAB.从这一点上说，它需要重命名。（2）可证明三角形内角和定理在欧几里得的几何原本中，三角形内角和定理被安排为第一卷的命题32：“在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。”他是用平行线的性质，先证明了外角等于二内对角的和，进而用这一结论证明了三角形内角和定理。也就是说，完全可以用外角的这一性质证明三角形内角和定理。从这一点上说，它需要重命名。 （3）外角与内角的不等关系无法命名“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”这一重要结论不是由三角形内角和定理直接推出的，而是由结论“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”直接推出的，所以根据推论的概念，它不能叫做三角形内角和定理的推论，更不能叫做推论的推论，把外角与内角的相等关系这一结论叫推论，导致外角与内角的不等关系无法命名。从这一点上说，它必须重新命名。二、教学建议（1）将推论的概念提前 在新人教版教材中，只是说由三角形内角和定理可得：“直角三角形的两锐角互余”和“ 有两个角互余的三角形是直角三角形”，而讲到外角时却说由三角形内角和定理可以推出下面的推论：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并且在提示语中给出推论的概念。本来是推论却不明确告诉学生叫推论，不该称为推论的却“羞羞答答”告诉学生称为推论，真是“犹抱琵琶半遮面”。笔者建议：在第二课时由三角形内角和定理得出：“直角三角形的两锐角互余”这一结论后，直接讲推论的概念，并且将此结论命名为“三角形内角和定理推论1”。新教材的一大亮点就是紧接着给出结论“ 有两个角互余的三角形是直角三角形”，这是旧教材所没有的，可命名为“三角形内角和定理的推论2”。将推论概念提前，并且把以上两个结论明确告诉学生为推论，强化了它与三角形内角和定理的所属关系，突出他们的地位和应用价值，为解决直角三角形中的计算、推理和判定问题奠定坚实的基础。（2）将推论更名为定理在第三课时讲外角时，利用平行线的性质，得出结论“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，进而得出三角形内角和定理，因此将此结论与三角形内角和定理并列叫定理，且命名为“三角形外角与不相邻内角关系定理”，突出了此结论的地位和作用，引起教师和学生的注意，正确区分内角和外角的两种关系，避免应用错误，为发现新的解题思路提供方便。（3）补充一个推论由于外角与不相邻的内角的相等关系叫推论已经不妥，且外角与不相邻的内角的不等关系无法命名，所以新教材干脆将它删掉，避而不谈；在实际应用中，用以上两个定理证明三角形中角的不等关系仍然比较困难，笔者建议教材补充由三角形外角与不相邻内角关系定理直接推出的结论“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”，并且把它叫做此定理的推论，为证明三角形中角的不等关系提供方便。（4）将外角和命名为定理“三角形三个外角的和等于360o”这一结论同样可以用平行线的性质进行证明，如图2，过A点作AEBC，易得1+2+3=DAB+DAE+3=360o，所以笔者建议命名为：三角形外角和定理，突出此结论的地位和作用，为以后讲多边形外角和奠定基础，打下伏笔；在讲多边形时，同样把“任意多边形的外角和等于360o”命名为多边形外角和定理。（5）将公式改为定理对于多边形的内角和，教材称之为公式，笔者感到很疑惑，为什么三角形的内角和称为定理，而多边形的内角和却称为公式，为什么教材前后说法不一，尽管它不影响解题，但细心的学生会产生疑问，为什么前面叫定理，而后面却叫公式呢？教师会无言以对，这样弄得老师和学生一头雾水、无所适从。笔者建议将“n边形的内角和等于（n2）180o”命名为“多边形内角和定理”更为贴切，（n2）180o才叫公式，这样命名与三角形内角和定理遥相呼应，一脉相承，争奇斗艳。笔者认为，更名后定理和推论的所属关系更加明确，层次更加分明，对与三角形有关的角各个知识点的称呼更加明了，方便记忆和应用；整体知识结构清晰，各知识点联系紧密，关系明确，易于形成知识网络，给教师的教和学生的学带来方便。以上只是