高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量及平面的法向量讲义.docx

32.1直线的方向向量及平面的法向量1用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的方向向量)形式在直线l上取 a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得t作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点2用向量表示平面的位置(1)通过平面上的一个定点和两个向量来确定条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得xayb(2)通过平面上的一个定点和法向量来确定平面的法向量直线l，直线l的方向向量，叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行lauau0面面平行uvukv(kR)线线垂直lmabab0线面垂直lauau(R)面面垂直uvuv01判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量()(2)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是_(2)已知a(2，4，3)，b(1，2，4)是平面内的两个不共线向量如果n(1，m，n)是的一个法向量，那么m_，n_.(3)(教材改编P104T2)设平面的法向量为(1,3，2)，平面的法向量为(2，6，k)，若，则k_.(4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1(1,2，2)，v2(3，6,6)，则直线l1，l2的位置关系为_答案(1)(2,4,6)(2)0(3)4(4)平行探究1点的位置向量与直线的方向向量例1(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A. B.C. D.(2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BDCA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标解析(1)(1,2,3)，(1,2,3)，又因为与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量故选A.(2)由题意可设点D的坐标为(x,0，z)，则(x2，2，z)，(0，2,5)BDCA，点D的坐标为(2,0,5)答案(1)A(2)见解析拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题【跟踪训练1】已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得2，求点Q的坐标解由题设2，设Q(x，y，z)，则(x2，y4，z)2(1x,3y,3z)，解得探究2求平面的法向量例2如图，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SBA的法向量解AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n(1，u)，则n(1，u)0，.n(1，u)u0，u，n.综上，平面SCD的一个方向向量为n，平面SBA的一个法向量为.拓展提升设直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvukva1ka2，b1kb2，c1kc2，其中kR，平面的法向量的求解方法：设出平面的一个法向量为n(x，y，z)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量【跟踪训练2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的一个法向量证明设正方体的棱长为1，分别以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)于是有0.所以，即DB1AC.同理，DB1AD1，又ACAD1A，所以DB1平面ACD1，从而是平面ACD1的一个法向量探究3利用方向向量、法向量判断线、面关系例3(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)；a(2,1,4)，b(6,3,3)(2)设u，v分别是不同的平面，的法向量，根据下列条件判断，的位置关系：u(1，1,2)，v；u(0,3,0)，v(0，5,0)；u(2，3,4)，v(4，2,1)(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量(l)，根据下列条件判断和l的位置关系：u(2,2，1)，a(3,4,2)；u(0,2，3)，a(0，8,12)；u(4,1,5)，a(2，1,0)解(1)因为a(2,3，1)，b(6，9,3)，所以ab，所以ab，所以l1l2.因为a(5,0,2)，b(0,4,0)，所以ab0，所以ab，所以l1l2.因为a(2,1,4)，b(6,3,3)，所以a与b不共线，也不垂直，所以l1与l2的位置关系是相交或异面(2)因为u(1，1,2)，v，所以uv3210，所以uv，所以.因为u(0,3,0)，v(0，5,0)，所以uv，所以uv，所以.因为u(2，3,4)，v(4，2,1)所以u与v既不共线，也不垂直，所以，相交(3)因为u(2,2，1)，a(3,4,2)，所以ua6820，所以ua，所以直线l和平面的位置关系是l.因为u(0,2，3)，a(0，8,12)，所以ua，所以ua，所以l.因为u(4,1,5)，a(2，1,0)，所以u和a不共线也不垂直，所以l与斜交拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直【跟踪训练3】根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别为a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分别是u(1,3,0)，v(3，9，0)；(3)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(1，4，3)，u(2,0,3)；(4)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(3,2,1)，u(1,2，1)解(1)因为a(1，3，1)，b(8,2,2)，所以ab8620，所以ab，所以l1l2.(2)因为u(1,3,0)，v(3，9,0)，所以v3u，所以vu，所以.(3)因为a(1，4，3)，u(2,0,3)，所以aku(kR)且au0，所以a与u既不共线也不垂直，即l与相交但不垂直(4)因为a(3,2,1)，u(1,2，1)，所以au3410，所以au，所以l或l.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于t，当t时，我们就得到线段中点的向量表达式设点M是线段AB的中点，则()，这就是线段AB中点的向量表达式.3.利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.4.向量法证明线面平行(1)设n是平面的一个法向量，v是直线l的方向向量，则vn且l上至少有一点A，则l.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.5.向量法证明面面平行(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a平面，b平面，且ab，那么.1若平面，的法向量分别为a，b(1,2，6)，则()Aa B与相交但不垂直C D或与重合答案D解析b2a，ba，或与重合2在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF的方向向量可以是()A. B(1,0，)C(1,0，) D(2,0，)答案D解析由已知得E(1,1，)，F，所以|(1,1，)，结合选项可知，直线EF的方向向量可以是(2,0，)3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.答案D解析由(1,1,0)，(1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.答案8解析因为直线l，所以直线l的方向向量与平面的法向量垂直，所以(2，m,1)220，解