第十四讲圆精品复习资料.doc

教育是一项良心工程第十四讲 圆(一)一、课标下复习指南1圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角2圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形圆具有旋转不变性3圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆4垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧5圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等6圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径7点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr8直线和圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交图形公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr9切线的判定切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(会过圆上一点画圆的切线)10切线的性质切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径11切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角二、例题分析例1 已知：如图141，在O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD图141(1)若AB，OC1，求CD的长；(2)若半径ODR，AOB120，求CD的长分析 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题解 半径OD经过弦AB的中点C，半径ODAB(1)AB，ACBCOC1，由勾股定理得OA2CDODOCOAOC1(2)ODAB，OAOB，AODBODAOB120，AOC60说明 如图141，一般的，若AOB2n，ODAB于C，OAR，OCh，则AB2Rsinn2htannCDRh；的长例2 已知：如图142，O中，半径OA4，弦BC经过半径OA的中点P，OPC60，求弦BC的长图142分析 要用好60角，构造直角三角形在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形解 过O作OMBC于M，连接OC在RtOPM中，OPC60，在RtOMC中，例3 已知：如图143，ABC内接于O，BD半径AO于D图143(1)求证：CABD；(2)若BD4.8，sinC，求O的半径分析 解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心解法一：(1)过O作OEAB于E，连接BO(如图144)，则又AOE图144BDAO，ABDBAD90又AOEBAD90，ABDAOEC在RtABD中，设AD4k，则AB5k，BD3k4.8，k1.6AB8，AE4解法二：(1)延长AO交O于C，连接BC(如图145)图145CCAC为O的直径，ABC90CBAD90BADABD90，ABDCC(2)在RtBDC中，在RtABC中，设AB4k，则AC5k，BC3k6k2例4 已知：如图146所示，AB是O的直径，BAC30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECFE图146(1)求证：CF是O的切线；(2)设O的半径为1，且ACCE，求MO的长分析 连接OC，证OCCF是证切线的常用方法(1)证明连接OCAB是O的直径，ACB90BAC30，ABC60在RtEMB中，EMBE90，E30EECF，ECF30ECFOCB90又ECFOCBOCF180，OCF90CF为O的切线(2)解 在RtACB中，A30，ACB90，ACCE，BEBCCE在RtBEM中，E30，BME90，MBBEsin30MOMBOB说明 有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”三、课标下新题展示例5 (2008荆门市)如图147，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC30，CD是O的切线，EDAB于F图147(1)判断DCE的形状；(2)设O的半径为1，且求证DCEOCB解 (1)ABC30，BAC60又OAOC，AOC是正三角形CD是切线，OCD90DCE180609030DCEDEC而EDAB于F，CED90BAC30故CDE为等腰三角形(2)证明：在ABC中，AB2，ACAO1，又AEF30，而OCBACBACO30ABC，故CDECOB例6 如图148，AB是O的直径，AF是O的弦，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF于点D，交AB的延长线于点C 图148 图149(1)求证：CD是O的切线；(2)若DE4，求AE的长解 (1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BFAF，BFCDOAOE，OAEOEAOAEFAE，OEAFAEOEAF，AFDE，OECDCD为O的切线(2)解：BFDE，OEAF，D90，四边形DEGF为矩形BF2GF2DE8BFCD，CABF可求得OAOB5，OG3DFEG2，AFABsinC6说明 (1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件，DE4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF2，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OMAF于M后得OMDE4，sinAOM加以解决(构造半径、半弦、弦心距的直角三角形)例7 如图1410，O的直径AB4，点P是AB延长线上的一点，PC切O于点C，连接ACPM平分APC交AC于M图1410(1)若CPA30，求CP的长及CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为CMP的大小是否发生变化?若变化，说明理由；若不变化，请求出CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切O于点C，那么CMP的大小是否变化?请直接写出你的结论提示 (1)当题目条件中有“PC切O于点C”时，可连接半径OC，利用切线的性质得出OCP90，这也是解题的基本方法解 (1)连接OC，则OCP90OAOC，COP2CAP60PM平分CPA， CMPCAPMPA45(2)设CPAa，PM平分CPA，OCP90，COP90a又OAOC，CMPCAPMPA(3)CMP的大小_，并且CMP_(请读者自己填写)说明 本题是将株洲市2008初中毕业学业考试中的21题做了适当改编得到的一方面第(1)小题增加了求CMP，为第(2)小题做了铺垫；另一方面添加了第(3)小题，让读者研究点P在直径BA的延长线上的条件下，相应CMP的结论解第(2)小题时，引用“设CPAa”这一方法，用代数方法计算得出结论，减少了解题的难度三、课标考试达标题(一)选择题1在ABC中，C90，AC4，BC3，CDAB于点D，若以C为圆心，2.3cm为半径作O，则点D与O的位置关系是( )A点D在O外B点D在O上C点D在O内D无法确定2如图1411，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA10m，桥拱的跨度AB16m，则拱高CD为( )图1411A4mB6mC8mD10m3如图1412，AB是O的直径，若C26，则ABD等于( )图1412A36B38C52D644如图1413，P是O外一点，PA，PB切O于点A，B，点C在优弧AB上，若P68，则ACB等于( )图1413A22B34C56D685如图1414，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径，AC2，则cosB的值为( )图1414ABCD(二)填空题6若圆外一点到圆的最大距离是18cm，到圆的最小距离是5cm，则圆的半径是_7如图1415，在ABC中，ADBC于点D，AE是ABC外接圆的直径，则图中与BAE相等的角是_图14158在ABC中，C90，AB5cm，BC3cm，若以A为圆心，4cm为半径作A，则直线BC与A的位置关系是_9如图1416，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，A与x轴相切于B，与y轴交于C(0，1)，D(0，4)两点，则点A的坐标是_图141610已知：如图1417，O的半径为3cm，B为O外一点，OB交O于点A，ABOA，动点P从点A出发，以pcm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间为_s时，BP与O相切图141711(2006宁波)已知BAC45，一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合)，设OAx，如果半径为1的O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是_(三)解答题12如图1418，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设O的半径为4cm，图1418(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求ACM的度数13如图1419，在平面直角坐标系中，以点M(0，)为圆心，以长为半径作M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交M于P点，连接PC交x轴于E点图1419(1)求出CP所在直线的解析式；(2)连接AC，求ACP的面积14如图1420，梯形ABCD中，ABCD，AB2cm，CD4cm，以BC上一点O为圆心的O经过A，D两点，且AOD90，求圆心O到弦AD的距离图142015如图1421，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12，以BC为直径作O交AB于D，交AC于G，DEAC于E图1421(1)求证：直线ED是O的切线；(2)求GE的长参考答案第十四讲 圆(一)1A 2A 3D 4C 5B66.5cm 7CAD 8相