高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第二章第12课时 导数的应用与定积分课件.ppt

第12课时导数的应用与定积分 基础梳理1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得 与 若函数在 a b 内是 的 该函数的最值必在 处取得 连续不间断 最大值 最小值 可导 极值点或区间端点 2 解决优化问题的基本思路 3 定积分的几何意义 4 定积分的性质 5 微积分基本定理一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么f x dx 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做牛顿 莱布尼茨公式 f b f a 课前热身 解析 选c y x2 81 令y 0解得x 9 9舍去 当0 x 9时 y 0 当x 9时 y 0 则当x 9时 y取得最大值 故选c 3 函数f x x ex在区间 0 1 上的最小值为 解析 f x 1 ex 函数f x 在区间 0 1 单调递减 最小值为f 1 1 e 答案 1 e 4 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值是 最小值是 答案 5 15 考点1函数的最大 小 值与导数 已知函数f x x3 ax2 3x 若x 3是f x 的极值点 求f x 在x 1 a 上的最小值和最大值 又x 1 4 x 3 当x变化时 f x f x 的变化情况为 当x 1时 函数取得最大值 6 当x 3时 函数取得最小值 18 f x 在x 1 a 上的最大值为 6 最小值为 18 题后感悟 函数的最大 小 值是在函数极大 小 值基础上的发展 从函数图象上可以直观地看出 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 只要把函数y f x 的所有极值连同端点处的函数值进行比较 就可以求出函数的最大 小 值 备选例题 教师用书独具 已知函数f x xlnx 1 求函数f x 的极值点 2 设函数g x f x a x 1 其中a r 求函数g x 在区间 1 e 上的最小值 其中e为自然对数的底数 2 g x xlnx a x 1 则g x lnx 1 a 由g x 0 得x ea 1 所以 在区间 0 ea 1 上 g x 为递减函数 在区间 ea 1 上 g x 为递增函数 当ea 1 1 即a 1时 在区间 1 e 上 g x 为递增函数 所以g x 的最小值为g 1 0 当1 ea 1 e 即1 a 2时 g x 的最小值为g ea 1 a ea 1 当ea 1 e 即a 2时 在区间 1 e 上 g x 为递减函数 所以g x 的最小值为g e a e ae 综上 当a 1时 g x 的最小值为0 当1 a 2时 g x 的最小值a ea 1 当a 2时 g x 的最小值为a e ae 变式训练 列表 函数f x 的最小值为5 3ln2 考点2导数与方程 不等式 题后感悟 对于类似本题中不等式证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有知识 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 备选例题 教师用书独具 2010 高考安徽卷 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 解 1 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 变式训练2 若a 3 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上的实根个数为 a 0b 1c 2d 3解析 选b 设f x x3 ax2 1 则f x 3x2 2ax x 3x 2a 由于a 3 则在 0 2 上f x 0 y f x 为减函数 而f 0 1 0 f 2 9 4a 0 则方程x3 ax2 1 0在 0 2 上恰有1个实根 故选b 2011 高考江苏卷 请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 考点3导数在实际生活中的应用 1 某广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 题后感悟 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 构造出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 并根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 备选例题 教师用书独具 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 变式训练 且a b两种型号的电视机投放金额都不低于1万元 请你制定一个投放方案 使得在这次活动中农民得到的补贴最多 并求出其最大值 精确到0 1 参考数据 ln4 1 4 解 设b型号电视机的价值为x万元 1 x 9 农民得到的补贴为y万元 则a型号电视机的价值为 10 x 万元 考点4定积分 题后感悟 1 利用微积分基本定理求定积分 其关键是求出被积函数的原函数 求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算 因此应注意掌握一些常见函数的导数 2 求由不同曲线围成的图形的面积时 若被积函数的原函数难以找到 但被积函数具有明显的几何意义 可利用几何法求其面积 备选例题 教师用书独具 变式训练 方法技巧1 函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 2 求曲边多边形的面积其步骤为 1 画出草图 在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 2 借助图形确定被积函数 求出交点坐标 确定积分的上限 下限 3 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和 4 计算定积分 失误防范1 用导数求最值时 要步骤规范 表格齐全 若解析式中含有参数 要注意讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 定积分的几何意义是曲边梯形的面积 但要注意 面积非负 而定积分的结果可以为负 命题预测从近几年的高考试题来看 利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点 试题大多有难度 多与函数的单调性 极值结合命题 考查考生学会做综合题的能力 预测2013年高考仍将以利用导数研究函数的单调性 极值与最值结合题目为主要考向 同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题 规范解答 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售