高考数学总复习 241 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版.ppt

2 4平面向量的数量积2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 1 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理含义 掌握向量a与b的数量积公式 重点 2 理解平面向量数量积的几何意义以及向量a与b投影的定义 难点 3 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 并能运用这些性质与运算律解决有关问题 易错点 向量的数量积 对于向量a b和c 等式 a b c a b c 一定成立吗 提示 不一定成立 若 a b c 0 其方向与c相同或相反 而a b c 0时其方向与a相同或相反 而a与c方向不一定相同或相反 故该等式不一定成立 1 两个向量的数量积含义 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成a b 今后要学到两个向量的外积a b 符号 在向量运算中不是乘号 既不能省略 也不能用 代替 2 向量的数量积与实数积的区别 1 若a b为实数 且a b 0 则有a 0或b 0 但a b 0却不能得出a 0或b 0 因为只要a b就有a b 0 而不必a 0或b 0 2 若a b c r 且a 0 则由ab ac可得b c 但由a b a c及a 0却不能推出b c 理由 若a b的夹角为 1 a c的夹角为 2 则由a b a c得 a b cos 1 a c cos 2及 a 0 只能得到 b cos 1 c cos 2 即b c在a方向上投影相等 而不能得出b c 见图 3 若a b c r 则a bc ab c 结合律 成立 但对于向量a b c 则 a b c与a b c 都是无意义的 这是因为a b与b c是数量 不是向量 而数量与向量是没有点乘定义的 同时 a b c a b c 这是因为数量a b与向量c相乘是与c共线的向量 而数量b c与向量a相乘是与a共线的向量 一般二者是不等的 这就是说 向量的数量积是不满足结合律的 4 若a b r 则 a b a b 但对于向量a b 却有 a b a b 等号当且仅当a b时成立 这是因为 a b a b cos 而 cos 1 思路点拨 解答本题可充分利用a b a b cos 只要确定好夹角 的值即可解决 题后总结 求两向量数量积的步骤是 1 求a与b的夹角 2 分别求 a b 3 求数量积 即a b a b cos 1 已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为60 时 分别求a与b的数量积 解 1 a b 若a与b同向 则 0 a b a b cos0 4 5 20 若a与b反向 则 180 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 题后总结 求解模问题一般转化为求模平方 与向量数量积联系 要灵活应用 a 2 a2 勿忘记开方 2 若本例题设条件不变 求 a b a 2b 的值 解 a b a 2b a2 a b 2b2 16 4 2 4 12 a b a 2b 12 用a b 0来证明a b 把研究垂直问题转化为代数计算 12分 已知向量a b不共线 且 2a b a 2b 求证 a b a b 思路点拨 证明a b与a b垂直 转化为证明a b与a b的数量积为零 规范解答 证明 2a b a 2b 2a b 2 a 2b 2 3分 4a2 4a b b2 a2 4a b 4b2 a2 b2 6分 a b a b a2 b2 0 9分又a与b不共线 a b 0 a b 0 a b a b 12分 3 若非零向量a b满足 a b a b 求证 a b 证明 a b a b a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 a 2 2a b b 2 a b 0 又 a 0 b 0 a b 4 若本例条件不变 那么a b与a的夹角是多少 解 a b 2 a