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第三章基本初等函数 第1讲 指数式与指数函数 1 根式 1 根式的概念 一般地 如果xn a 那么x就叫做a的n次方根 其中n 0 且n n 式子叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次 方根是一个负数 这时 a的n次方根记作 4 指数函数的图象与性质 r 0 过点 0 1 即x 0时 y 1 b a 1 1 c 0 b 1 d 1 0 d 2 函数y ax 1 a 0且a 1 的图象必经过点 a 0 1 b 1 0 c 2 1 d 0 2 3 对任意实数a 下列等式正确的是 d 4 方程4x 2x 2 0的解是 x 0 3 考点1 指数幂运算 例1 计算 解题思路 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算 互动探究 考点2 指数函数的图象 例2 偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且在x 0 1 时 f x a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 23 解析 由f x 1 f x 1 知f x 是周期为2的偶函数 故当x 1 1 时 f x x2 答案 c 图d4 答案 c 0 a 1 的图象的大致形状是 互动探究 2 函数y xax x d 考点3指数函数的性质及应用 1 求f x 的解析式 2 证明f x 在 0 上是增函数 互动探究 答案 思想与方法 1 运用分类讨论的思想讨论指数函数的单调性 b满足ab 0 1 若ab 0 判断函数f x 的单调性 2 若abf x 时x的取值范围 例题 2011年上海 已知函数f x a 2x b 3x 其中常数a 1 中ab 0 包括 a 0 b 0 和 a 0 b 0 两种情形 2 中ab 0 也包括 a 0 b 0 和 a0 两种情形 分类讨论 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 就需要对研究对象按某个标准分类 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 最后综合各类结果得到整个问题的解答 实质上 分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的数学策略 1 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系 因此 在运算过程中 要贯彻先化简后运算的原则 并且要注意运 算的顺序 2 利用指数函数的单调性可比较两个幂的大小 当幂的底数 指数都不同时 可选择中间量进行比较 在指数函数解析式中 必须时刻注意底数a 0且a 1 对于指数函数的底数
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