高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第二章第5课时 二次函数与幂函数课件.ppt

第5课时二次函数与幂函数 基础梳理1 二次函数的解析式有三种常用表达形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 h k 是顶点 3 标根式 或零点式 f x a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2分别是f x 0的两实根 2 二次函数的图象及其性质 减 增 思考探究1 二次函数f x ax2 bx c a 0 会为奇或偶函数吗 若会 请写出其对称中心或对称轴 提示 不会为奇函数 当b 0时 二次函数为偶函数 对称轴为y轴 4 幂函数的概念与性质 1 幂函数的概念一般地 形如y xa a r 的函数称为幂函数 其中x是 a是 自变量 常数 思考探究2 幂函数与指数函数有何不同 提示 本质区别在于自变量的位置不同 幂函数的自变量在底数位置 而指数函数的自变量在指数位置 2 幂函数的性质 0 0 0 0 0 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 幂函数y x x r 是常数 的图象在第一象限的分布规律是 所有幂函数y x x r 是常数 的图象都过点 1 1 当 1时 y x 的的图象不过原点 0 0 且在第一象限是 下滑 曲线 如c4 无论 取任何实数 幂函数y x 的图象必然经过第一象限 并且一定不经过第四象限 课前热身答案 b 2 函数y x2 bx c在 0 上单调递增 则b的取值范围是 a b 0b b 0c b 0d b 0答案 a 4 函数y x2 x 2 x 1 5 的值域是 5 若不等式ax2 ax 1 0对任意x r恒成立 则实数a的取值范围是 解析 令f x ax2 ax 1 若不等式f x 0恒成立 即要求f x 的图象恒在x轴的上方 1 当a 0时 f x 1 0恒成立 满足条件 答案 0 4 利用已知条件求二次函数的解析式 常用的方法是待定系数法 但可根据不同的条件选用适当形式求f x 的解析式 1 若已知三个点坐标时 宜用一般式 2 若已知抛物线的顶点坐标或与对称轴 最大 小 值有关时 常使用顶点式 3 若已知抛物线与x轴有两个交点 且横坐标已知时 选用标根式求f x 更方便 已知二次函数f x 的二次项系数为a 满足不等式f x 2x的解集为 1 3 且方程f x 6a 0有两个相等实根 求f x 的解析式 思路分析 f x 与f x 2x的二次项系数相等 由f x 2x 0的解集为 1 3 可设f x 2x a x 1 x 3 解 f x 与f x 2x的二次项系数相等 f x 2x的二次项系数为a 又 f x 2x 0的解集为 1 3 设f x 2x a x 1 x 3 a 0 f x a x2 4x 3 2x ax2 4a 2 x 3a 名师点评 求二次函数的解析式的关键是待定系数 由题目的条件 合理地选择二次函数解析式的表达式形式 求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向 即二次函数中二次项系数的正负 然后借助于二次函数的图象或性质求解 因此 定义域 对称轴及二次项系数是求二次函数的最值的三要素 函数f x x2 2x 2在闭区间 t t 1 t r 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象并写出g t 的最小值 解 1 f x x2 2x 2 x 1 2 1 当t 1 1 即t 0时 函数在 t t 1 上为减函数 g t f t 1 t2 1 当0 t 1时 g t f 1 1 2 g t 的图象如图所示 g t min 1 名师点评 二次函数区间最值主要有三种类型 轴定区间定 轴定区间动和轴动区间定 不论哪种类型 解决的关键是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 一般来说 讨论二次函数在闭区间上的最值 主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上 从而应用单调性求最值 互动探究1 将本例变为已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a的值 解 函数f x 的图象的对称轴方程为x a 当a 0时 f x max f 0 1 a 1 a 2 a 1 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 思路分析 可把函数转化为方程 其方程的两根满足x11 利用 x1 1 x2 1 0求解 也可利用图象求解 解 法一 设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x11 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 法二 函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 名师点评 此类方程根的分布问题通常有两种解法 一是方程思想 利用根与系数的关系 二是函数思想 构造二次函数利用其图象分析 从而求解 互动探究2 若例3中函数不变 后面的内容改为 一个零点在0与1之间 另一个零点在1与2之间 求实数a的范围 解 函数图象大致如图 1 在 0 1 上 幂函数的指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数的指数越大 函数图象越远离x轴 2 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 只要作出幂函数在第一象限内的图象 然后根据其性质就可作出幂函数在其定义域内完整的图象 思路分析 先用待定系数法求幂函数的解析式 然后利用g x f x 的图象 求x的取值范围 2 在同一坐标系下作出f x x2与g x x 2的图象 如图所示 由图象可知 f x g x 的图象均过点 1 1 与 1 1 当x 1或x 1时 f x g x 当x 1或x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 误区警示 容易失误的原因 1 幂函数g x 的图象只画出第一象限的部分 2 忽略g x x 2的定义域为 x x 0 方法技巧 2 当a 0时 f x 在 p q 上的最大值与上述最小值讨论一致 而最小值类似上述最大值讨论 2 二次函数 二次方程 二次不等式之间可以相互转化 一般规律 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 2 在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 3 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和惟一标准 应当 注意并不是任意的一次函数 二次函数都是幂函数 如y x 1 y x2 2x等都不是幂函数 失误防范1 研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负 及对称轴的位置 两点不应忽视 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 命题预测从近几年的高考试题来看 二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现 主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者 的综合应用 它们常有机结合在一起 而二次函数又是 三个二次 的核心 通过二次函数的图象贯穿为一体 因此 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 用函数思想研究方程 不等式 尤其是恒成立 问题是高考命题的热点 幂函数要求较低 只要求 五种特性 要会设 解析式 计算 注意与其它知识的简单交汇 题型一般为选择题 填空题 属容易题 主要考查幂函数的图象及性质 预测2013年福建高考中以二次函数为命题落脚点的题目仍将是一个热点 重点考查数形结合与等价转化两种数学思想 典例透析 本题满分12分 2010 高考江西卷 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 1 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 求实数a的值 2 是否存在实数a 使得f x 是 上的单调函数 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 2 f x 18x2 6 a 2 x