高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值复习课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 1离散型随机变量的均值 1 通过实例 理解取有限个值的离散型随机变量均值 数学期望 的概念和意义 2 能计算简单离散型随机变量的均值 数学期望 并能解决一些实际问题 3 会求两点分布和二项分布的均值 1 本课时的重点是离散型随机变量均值的概念 两点分布和二项分布的均值及离散型随机变量均值的应用 2 本课时的难点是应用离散型随机变量解决实际问题 1 离散型随机变量的均值或数学期望一般地 若离散型随机变量x的分布列为 1 数学期望e x 2 数学期望的含义 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 2 均值的性质若y ax b 其中a b为常数 x是随机变量 1 y也是随机变量 2 e ax b 3 两点分布 二项分布的均值 1 两点分布 e x 2 二项分布 若x b n p 则e x ae x b p np 1 若某人投篮的命中率为0 8 那么他投篮10次命中的均值为8的含义是什么 提示 某人投篮的命中率为0 8 是通过大量重复的试验推断出来的一个均值 由于每次试验是相互独立的 投一次可能成功 也可能失败 也就是说投篮10次可能一个球也没进 也可能进了几个球 只是从平均意义上讲10次投篮进8个球 2 分布列为的随机变量 的均值为 解析 答案 3 若随机变量x服从二项分布b 4 则e x 的值为 解析 n 4 p e x np 答案 1 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系 2 对均值概念的理解 1 均值的含义 均值是离散型随机变量的一个特征数 反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 均值的来源 均值不是通过一次或几次试验就可以得到的 而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值 3 均值与平均数的区别 均值是概率意义下的平均值 不同于相应数值的算术平均数 求离散型随机变量的均值 技法点拨 求离散型随机变量的均值的两个步骤 1 列 列随机变量的分布列 理解随机变量x的意义 写出x的可能取得的全部值 求x的每个值的概率 写出x的分布列 2 求 由均值的定义求出e x 其中 1 是求解此类问题的关键所在 典例训练 1 某射手射击所得环数 的分布列如下 已知 的数学期望e 8 9 则y的值为 2 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率均为p 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记x为该毕业生得到面试的公司个数 若p x 0 则随机变量x的数学期望e x 3 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片 分别标有数2 3 4 5 另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片 分别标有数3 4 5 6 现从一个盒子中任取一张卡片 其上面的数记为x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的数记为y 记随机变量 x y 求 的分布列和数学期望 解析 1 由分布列可得x 0 6 y 且7x 0 8 2 7 10y 8 9 解得y 0 4 答案 0 4 2 由可得 从而所以e x 答案 3 依题意 随机变量 5 6 11 则有p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10 p 11 的分布列为 互动探究 在题1题设不变的情况下 求e 2 5 的值 解析 e 2 5 2e 5 2 8 9 5 22 8 想一想 求解题1中的未知量用到了什么知识 求解题2中事件 x 1 的含义是什么 提示 1 解题1中的未知量用到分布列的性质及数学期望的定义 2 事件 x 1 的含义是 该毕业生得到面试的公司有且仅有一个 变式训练 已知盒中有10个灯泡 其中8个正品 2个次品 需要从中取出2个正品 每次取出1个 取出后不放回 直到取出2个正品为止 设 为取出的次数 求 的分布列及e 解题指南 求解本题注意两点 一是 取后不放回 二是 直到取出2个正品为止 解析 p 2 p 3 p 4 的分布列如下 e 2 p 2 3 p 3 4 p 4 两点分布及二项分布的均值 技法点拨 1 常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率 则 1 两点分布e x p 2 二项分布e x np 熟练应用上述两公式可大大减少运算量 提高解题速度 2 两点分布与二项分布辨析 1 相同点 一次试验中要么发生要么不发生 2 不同点 随机变量的取值不同 两点分布随机变量的取值为0 1 二项分布中随机变量的取值x 0 1 2 n 试验次数不同 两点分布一般只有一次试验 二项分布则进行n次试验 典例训练 1 2012 威海高二检测 某种种子每粒发芽的概率为0 9 现播种了1000粒 对于没有发芽的种子 每粒需再补种2粒 补种的种子数记为x 则x的数学期望为 a 100 b 200 c 300 d 400 2 若x的分布列为则e x 3 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地1位车主至少购买甲 乙两种保险中的1种的概率 2 x表示该地的100位车主中甲 乙两种保险都不购买的车主数 求x的期望 解析 1 选b 由题意可知 补种的种子数记为x x服从二项分布 即x b 1000 0 2 所以x的数学期望e x 1000 0 2 200 2 由题意知 a 1 e x 答案 3 设该车主购买乙种保险的概率为p 由题意知p 1 0 5 0 3 解得p 0 6 1 设所求概率为p1 则p1 1 1 0 5 1 0 6 0 8 故该地1位车主至少购买甲 乙两种保险中的1种的概率为0 8 2 对每位车主甲 乙两种保险都不购买的概率为 1 0 5 1 0 6 0 2 x b 100 0 2 e x 100 0 2 20 所以x的期望是20人 思考 题1的解答中x b 1000 0 2 的原因及解题3 1 用的思想是什么 提示 1 题1的解答中x b 1000 0 2 的原因是 每粒需再补种2粒 且每粒不发芽的概率均为0 1 2 解题3 1 用了对立事件的概率 即 正难则反 的思想 变式训练 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20层可以停靠 若该电梯在底层载有5位乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 用 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数 求 1 随机变量 的分布列 2 随机变量 的数学期望 解题指南 1 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数 则 的所有可能值为0 1 2 3 4 5 结合变量对应的事件和等可能性事件的概率公式得到变量的概率 写出分布列 2 根据上一问得到的随机变量的分布列 代入数学期望的计算公式 得到随机变量的数学期望 解析 1 的所有可能值为0 1 2 3 4 5 由等可能性事件的概率公式得p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 从而 的分布列为 2 由 1 得 的数学期望为e 均值的应用 技法点拨 1 实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用 如对体育比赛的成绩预测 消费预测 工程方案的预测 产品合格率的预测 投资收益的预测等方面 都可以通过随机变量的均值来进行估计 关键词 均值的应用 2 概率模型的三个解答步骤 1 审题 确定实际问题是哪一种概率模型 可能用到的事件类型 所用的公式有哪些 2 确定随机变量的分布列 计算随机变量的均值 3 对照实际意义 回答概率 均值等所表示的结论 典例训练 1 利用下列盈利表中的数据进行决策 应选择的方案是 a a1 b a2 c a3 d a4 方案 盈利 概率 2 2012 福建四地六校联考 张先生家住h小区 他在c科技园区工作 从家开车到公司上班有l1 l2两条路线 如图 l1路线上有a1 a2 a3三个路口 各路口遇到红灯的概率均为 l2路线上有b1 b2两个路口 各路口遇到红灯的概率依次为 1 若走l1路线 求最多遇到1次红灯的概率 2 若走l2路线 求遇到红灯次数x的数学期望 3 按照 平均遇到红灯次数最少 的要求 请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线 并说明理由 解析 1 选c a1的均值为50 0 25 65 0 30 26 0 45 43 7 a2的均值为70 0 25 26 0 30 16 0 45 32 5 a3的均值为 20 0 25 52 0 30 78 0 45 45 7 a4的均值为98 0 25 82 0 30 10 0 45 44 6 选方案a3 2 1 设走l1路线最多遇到1次红灯为a事件 则p a 所以走l1路线 最多遇到1次红灯的概率为 2 依题意 x的可能取值为0 1 2 p x 0 p x 1 p x 2 随机变量x的分布列为 e x 3 设选择l1路线遇到红灯次数为y 随机变量y服从二项分布 y b 3 所以e y 因为e x e y 所以选择l2路线上班最好 想一想 影响题1选择的标准是什么 提示 影响题1选择的标准是盈利均值的多与少 变式训练 已知一台机器在一天内发生故障的概率为0 2 机器发生故障时全天停止工作 一周五天工作日里无故障可获利10万元 发生一次故障可获利5万元 发生两次故障没有利润 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元 这台机器在一周内平均获利多少 解析 以 表示一周内机器发生故障的次数 则 b 5 0 2 p k 以 表示一周内获得的利润 令 g 而g 0 10 g 1 5 g 2 0 g 3 2 p 10 p 0 0 85 0 32768 p 5 p 1 0 4096 p 0 p 2 0 2048 p 2 p 3 1 p 0 p 1 p 2 0 05792 e 10 0 32768 5 0 4096 2 0 05792 5 20896 故这台机器在一周内平均获利5 20896元 规范解答 综合应用分布列知识求数学期望 典例 12分 2012 临沂模拟 某同学参加3门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为第二 三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 1 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率 2 求p q的值 3 求数学期望e 解题指导 规范解答 事件ai表示 该生第i门课程取得优秀成绩 i 1 2 3 由题意知p a1 p a2 p p a3 q 2分 1 由于事件 该生至少有1门课程取得优秀成绩 与事件 0 是对立的 所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1 p 0 1 5分 2 由题意知p 0 p 3 p a1a2a3 整理得pq p q 1 由p q 可得p 8分 3 由题意知a p 1 b p 2 1 p 0 p 1 p 3 e 0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 2012 山东高考 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命中得1分 没有命中得0分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得2分 没有命中得0分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 1 求该射手恰好命中一次的概率 2 求该射手的总得分x的分布列及数学期望e x 解题设问 射手恰好命中一次的含义是什么 规范答题 1 由于射手每次射击的结果相互独立 所次 3分 分三类 中 不中 不中 不中 中 不中 不中 不中 中 2 由题意知总得分x的可能取值为0 1 2 3 4 5 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 p x 5 9分 因此随机变量x的分布列为 10分所以e x 12分 1 随机变量x的分布列为则其数学期望e x 等于 a 1 b c 4 5 d 2 4 解析 选d e x 1 0 5 3 0 3 5 0 2 2 4 2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球的命中率是0 7 则他罚球6次的总得分x的均值是 a 0 70 b 6 c 4 2 d 0 42 解析 选c 总得分x b 6 0 7 e x 6 0 7 4 2 3 将一颗骰子连掷100次 则点6出现次数x的均值e x 解析 这是100次独立重复试验 x b 100 e x 答案 4 已知e y 6 y 4x