6弯曲内力.doc

弯曲是工程中较为常见的变形之一，而弯曲的内力，应力及变形在计算上相对于杆件的其它变形（如轴向拉压、扭转）而言，都较为复杂，本章主要介绍平面弯曲的概念、弯曲内力的概念，梁的内力计算及内力图的作法，同时讨论作用于梁上的分布载荷与内力间的关系。另外，还用少量的篇幅介绍刚架、曲杆的内力计算及弯矩图的作法。6.1平面弯曲的概念和实例弯曲,是工程中常见的一种基本变形。例如，火车轮轴（图6.1a），桥式起重机的大梁（图6.2a）等都是弯曲变形的杆件。产生弯曲变形的杆件的受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面内且与杆轴垂直；变形特点是：杆的轴线由直线弯曲成曲线。在工程中，习惯上把主要发生弯曲变形的杆件称为梁。 图6.1 火车轮轴受力及受力简图 图6.2 桥式起重机大梁受力及受力简图在工程中，绝大部分梁的横截面有一个或两个对称轴，如图6.3所示。由各个截面的纵向对称轴形成一个梁的纵向对称平面。当载荷都作用在梁的纵向对称面内时，梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条曲线，如图6.4所示。这种弯曲称为对称弯曲。上面提到的火车轮轴，起重机大梁及传动轴等等，都属于对称弯曲的情况。梁的轴线弯曲后所在的平面与载荷作用的平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。对称弯曲就是工程实际中常见的一种平面弯曲。以后讨论的弯曲问题，不附加说明时，都指的是平面弯曲问题。图6.3 工程中常见的具有对称轴截面的梁纵向对称面弯曲后轴线对称面轴线图6.4 平面弯曲概念说明图6.2受弯杆件的简化梁的支承条件和梁上作用的载荷种类有各种不同的情况，比较复杂。为了便于分析和计算，对梁应进行必要的简化，用其计算简图（如图6.1b和图6.2b）来代替。确定梁的计算简图时，应尽量符合梁的实际情况，在保证计算结果足够精确的前提下，尽可能使计算过程简单。6.2.1梁的简化首先是梁本身的简化。由于梁的截面形状和尺寸，对内力的计算并无影响，通常可用梁的轴线来代替实际的梁。例如，图6.1（a）所示的火车轴，在计算时就以其轴线AB来表示（图6.1b）。6.2.2载荷的简化作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型。(1)集中载荷对图6.1（a）所示的火车轮轴，车体的重量通过轴承作用于车轴的两端，该作用力与车轴的接触长度与梁的长度相比甚小，可视为载荷集中作用于一点，这种载荷称为集中载荷，或集中力，如图6.1（b）中的载荷P所示。集中载荷的单位为牛顿（N）或千牛顿(kN)。 图6.5 锥齿轮及受力简图(2)分布载荷图6.2（a）所示起总重机大梁的电葫芦及起吊的重物，也是集中力，如图6.2（b）中的力P所示。但是该大梁的自重，连续地作用在整个大梁的长度上，可将其简化为分布载荷。这时，梁上任一点的受力用载荷集度q表示,其单位为kN/m或N/m，如图6.2(b)中的均布载荷q表示。(3)集中力偶图6.5（a）所示的锥齿轮,只讨论与轴平行的集中力。当我们研究轴AB的变形时,由于该力是直接作用在齿轮上的,有必要将平移到轴上.于是,作用在锥齿轮上的力等效于一个沿AB梁的轴向外力和一个作用在梁AB纵向平面内的力偶矩（图6.5b）。集中力偶矩的常用单位为或。 6.2.3约束的简化作用在梁上的外力，除载荷外还有支座反力。为了分析支座反力，必须先对梁的约束进行简化。梁的支座按它对梁在载荷作用面内的约束作用的不同，可以简化为以下三种常见的形式。(1)可动铰支座可动铰支座的力学模型如图6.5（b）中的B支座所示。可动铰支座B只限制B截面沿梁轴线的垂直方向的移动。因此，支座对梁AB仅有一个铅垂直支座反力。结构中的滑动轴承、径向滚动轴承和桥梁下的滚轴支座等，都可简化为可动支座。(2)固定铰支座若梁在某截面处有一固定铰支座，它将限制该截面沿任意方向的移动。因此，固定铰支座有两个支反力，通常表示为沿梁轴方向和垂直方向的两个支反力。一般地，止推轴承和桥梁下的固定支座等，都可简化为固定铰支座，如图6.5（b）中的A支座所示。(3)固定端图6.6 车床刀架及车刀受力简图图6.6（a）表示车床上的车刀及其刀架。车刀的一端用螺钉压紧固定于刀架上，使车刀压紧部分对刀架既不能有相对的移动，也不能有相对的转动，这种约束即可简化为固定端支座，如图6.6（b）中梁AB的B端所示。固定端的约束反力为一个支反力矩和一对相互垂直的支反力。6.2.4梁的类型经过对梁的载荷和支座的简化，便可以得到梁的计算简图。若梁的全部支反力可以用其平衡条件求出，这种梁称为静定梁。静定梁一般有3种基本形式。(1)简支梁梁的两端分别由一个固定铰支座和一个可动铰支座支承的梁称为简支梁，如图6.2（b）和图6.5（b）中的梁AB。(2)外伸梁梁由一个固定铰支座和一个可动铰支座支承，梁的一端或两端伸出支座外的梁称为外伸梁，如图6.1（b）中所示的火车轮轴。梁在两支座之间的长度称为跨度。(3)悬臂梁梁的一端为固定端支座，另一端为自由端的梁称为悬臂梁，如图6.6（b）中所示的车刀AB。梁的支反力不能完全由其平衡条件确定的梁，称为超静定梁。必须强调指出，梁的静定与否是根据梁的计算简图分析支反力而定的，而梁的简化，应尽量符合梁的实际受力情况。如图6.1（a）所示的火车轮轴和6.2（a）所示的起重机大梁，工作时这些梁如向左或向右偏移，总会有一端的轨道能起到阻碍梁偏移的作用。因此，可将梁两端的约束简化为一个固定铰支座，一个为可动铰支座。但若机械地认为梁的两端都是轨道，应全部简化为固定铰支座，则这些梁就是超静定梁了。不但在进行受力分析时比静定梁复杂，更主要的是这种简化和梁的实际受力情况不相符合，分析时会带来很大的误差。6.3剪力和弯矩梁的强度和刚度分析，在材料力学中占有重要的地位。而梁的内力分析对解决梁的承载能力来说，又是很关键的。图6.7 梁的内力分析参考图根据梁的平衡条件，可以求出静定梁在载荷作用下的支反力，于是梁上的外力就都成为已知量。仍然应用截面法，便可求得梁的各个截面上的弯曲内力。现在，以图6.7（a）所示的简支梁为例，进行梁的内力分析。P1、P2和P3为作用于AB梁上的集中力，RA和RB为梁两端的支反力。为了求出梁上距A端为处的任意截面n-n上的内力，沿截面n-n假想地把梁AB截开成两部分。取任意一部分，例如取左段为研究对象，并画其受力图如图6.7（b）所示。由于原来的AB梁处于平衡状态，所以，截分出的梁的左段也仍应处于平衡状态。在梁的左段，除了外力P1和RA外，在截面n-n上还有弃去的右段梁对它作用的内力，以维持梁段的平衡。将截面n-n上的内力系向截面形心O简化，可得其主矢量和主矩。内力称为截面n-n上的剪力，内力偶矩称为横截面n-n上的弯矩。剪力和弯矩统称为弯曲内力（图6.7b）。根据左段梁的平衡条件，即可求得n-n截面上的剪力和弯矩，由此求得 （6.1） （6.2）若以梁的右端为研究对象（图6.7c），用相同的方法也可以求得n-n截面上的剪力和弯矩。 （6.3） （6.4）由于剪力和弯矩是梁的左端与右端在截面n-n上的相互作用的内力，故无论用n-n左端部分，还是右端部分的平衡计算出的内力，其数值总是相等的，但方向总是相反。 图6.8 剪力正负规定示意图图6.9 弯矩正负规定示意图为了使采用截面法取不同的研究对象求内力时，所得的同一截面上的剪力和弯矩不但数值相同，而且代数符号也一致，规定剪力和弯矩的正负如图(6.8)和图(6.9)所示。为了方便记忆，可认为剪力相对于保留截面的形心顺时针为正；反之，为负。弯矩向上弯为正，向下弯为负。在实际计算时，可以直接根据横截面任意一侧梁上的外力来确定该横截面上的剪力和弯矩。根据式（6.1）和（6.3）看出：横截面上剪力等于此截面一侧梁上所有外力在梁轴线的垂直线（y轴）上的投影的代数和，即 （6.5）而每一个外力的正负取决于该力绕截面形心的转向，若外力绕该截面的形心顺时针转动，则该力取正号（例如式6.1中的，式6.3中的，），反之，取负号（例如式6.1中的，式6.3中的）。根据式（6.2）和式（6.4）看出，横截面上弯矩等于此截面一侧梁上所有外力对于该截面形心力矩的代数和，即 （6.6）每一个外力对该截面形心力矩的正负由下述方法确定：外力对该截面形心力矩若向上弯，则该取正值（如式(6.2)中的，式(6.4)中的）；若向下弯，则取负值,如式6.2中的，式6.4中的，。【例6.1】一外伸梁CAB，如图6.10所示。已知均布载荷q=10kN/m，跨度=4m，试求A截面左、右两侧1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。【解】(1) 先求梁的支反力以CAB梁为研究对象，其A、B支座的反力分别为RA和RB，画受力图并列出平衡方程图6.10 例6.1的外伸梁， 解得支反力为RB计算出现负值，说明图中RB力的假设方向反了，实际应向下。(2)求梁的内力先计算剪力。若取截面左侧外力来计算，由式（5-3）可知，截面上的剪力等于截面左侧外力在梁的轴线垂直方向上投影的代数和。截面1-1左侧只有均布载荷q，且相对于截面1-1的形心，逆时针转动，故引起负的剪力，所以可得1-1截面的剪力为截面2-2左侧外力除有均布载荷q外，还有支反力RA，RA相对于截面2-2的形心顺时针转动引起正的剪力。同理，可求得2-2截面的剪力为(3)计算弯矩。若取截面右侧的外力来计算，由式（6.6）可知，截面上的弯矩等于截面右侧所有外力对截面形心力矩的代数和。截面1-1和截面2-2右侧都只有支反力RB对A点的矩。向下弯，引起负的弯矩，这两个截面上的弯矩相同，为A截面处弯矩为负值，说明梁弯曲时在该截面处向上凸。6.4剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置变化而变化的。设横截面的位置用其沿梁轴线上的坐标表示，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标的函数，即 及 它们分别称为剪力方程和弯矩方程（亦称为剪力函数和弯矩函数）。在建立剪力方程和弯矩方程时，一般是以梁的左端为坐标的原点。有时，为了方便计算，也可将坐标的原点取在梁的右端或梁的其他位置。在工程实际中，为了简明而直观地表明梁的各截面上剪力和弯矩的大小变化情况，需要绘制剪力图和弯矩图。可仿照轴力图或扭矩图的作法，以截面沿梁轴线的位置为横坐标，以截面上的剪力或弯矩数值为对应的纵坐标，选定比例尺绘制剪力图和弯矩图。对水平梁，绘图时将正值的剪力画在轴的上方；至于弯矩，则画在梁的受压一侧，也就是正值的弯矩画在轴的上方。由剪力方程和弯矩方程，特别是根据剪力图和弯矩图，可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，以及剪力和弯矩为最大值的截面，这些截面称为危险截面。剪力方程和弯矩方程，以及剪力图和弯矩图是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。绘制梁的剪力图和弯矩图的基本方法，是首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们来作图。这也就是数学中作函数的图形所用的方法。【例6.2】图6.11（a）所示一悬臂梁AB，梁上作用有均布载荷q，试画出此梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)建立AB梁的剪力方程和弯矩方程图6.11 悬臂梁以梁左端A为梁的横坐标原点，选取如图6.11（a）所示坐标系。若用x截面左侧的外力来计算截面的剪力和弯矩，则不必求悬臂梁AB的支反力，而直接写出梁的剪力方程和弯矩方程分别为 (2)确定画内力图的控制截面的内力数值AB梁的剪力方程为线形函数，只须确定剪力图线两端点的剪力数值；弯矩方程为二次函数，其图形为抛物线，至少需要确定三个截面的弯矩数值，才能大致确定该抛物线的形状。现将这些控制截面的内力数值由内力函数求出并列表6.1 控制截面内力数值 表6.1 0 O O (3)绘制剪力图和弯矩图按一定比例，首先在坐标系中确定对绘制内力图起控制作用的控制截面的坐标点。用直线连接剪力图线上A、B两截面的坐标点，即为剪力图（图6.11b）。用光滑曲线连接悬臂梁弯矩图线上的两端及中间截面的坐标点，绘制的弯矩图如图6.11c所示。从图中可以看出【例题6.3】绘制图6.12（a）外伸梁CAB的剪力图和弯矩图。 图图图6.12 例6.3的外伸梁【解】(1)求梁的支反力根据图6.12（a）所示梁的受力图列出其平衡方程，可求得支反力利用校核，说明支反力的计算是正确的。(2)写出梁的剪力方程和弯矩方程根据该梁的受力情况，内力函数在CA段和AB段的表达式不同。选取如图6.12（a）所示的坐标系，CA段梁的剪力方程和弯矩方程分别为 AB段梁的剪力方程和弯矩方程分别为 (3)确定绘制内力图控制截面的内力数值剪力方程和及弯矩方程均为线形函数，其图形为直线，只须确定这些图线端点的内力数值。而弯矩方程为二次函数，只有确定较多的点才能画出该抛物线。根据梁的强度和刚度分析的需要，内力数值最大的点要准确地在内力图上确定。为了确定梁段AB内弯矩为极值的截面位置，令即梁段AB上剪力为零的截面上弯矩有极值，其位置为将代入弯矩方程，可求出AB梁段内的极值弯矩为列出梁的内力图的控制截面的内力数值如下表： AC段控制截面内力值 表6.2 AB段控制截面内力值 表6.30112.55-20-20150-250-202031.250(4)作梁CAB的剪力图和弯矩图如图6.12（b）和图6.12（c）所示。从图中可以明显地看6.5载荷集度q、剪力Q和弯矩M之间的微分关系在上节的例6.3中，求梁段AB（图6.12）的极值弯矩时曾导出关系式。这个关系，并不是特例。实际上，梁的载荷集度q，剪力和弯矩之间存在着一定的微分关系，下面推导这一关系。图6.13表示一根普通的梁。以梁的左端为坐标原点，选取右手坐标系如图6.13所示。规定分布载荷q()向上（与y轴方向一致）为正号。用坐标和的两相邻截面从梁中截取出长为的微段，并将其放大如图6.13(b)所示。其中c为截面的形心。在坐标为的截面上，剪力和弯矩分别为和；在坐标为的截面上，剪力和弯矩则分别为，。图6.13(b)中所示微段的各截面上，剪力和弯矩均为正的，且设该微段内无集中力和集中力偶作用。由于梁处于平衡状态，因此截出的微段也应处于平衡状态。因此，根据该微段的平衡方程有 图6.13 普通梁省略去上面第二式中的二阶微量，整理后可得 (6.7) (6.8)如将式（6.8）再对求导，并应用式（6.7），则又可得到 (6.9)式（6.7）、式（6.8）和式（6.9），就是载荷集度，剪力及弯矩之间的微分关系。从数学上知道，曲线上一点的斜率等于该曲线的函数在这一点的一阶导数值。因此，由公式（6.7）和（6.8）可知，剪力图线上一点的斜率等于梁上相应截面处作用的载荷集度q；弯矩图线上一点的斜率等于梁上相应的剪力的数值。另外，曲线的凹凸方向，取决于该曲线的函数的二阶导数。因此，由公式（6.9）可知，弯矩图线的凹凸方向可由梁的该段上作用的载荷集度q的正负来确定。所以，根据梁的这些内力间的微分关系，可以进一步推出下面一些有关剪力图和弯矩图的几何特征的推论。这些推论，对正确地绘制和校核梁的剪力图和弯矩图是很有帮助的。(1)若梁上某一段无分布载荷作用，即有，由可以知道，在这段梁内剪力常数，即剪力图平行于轴的水平直线。如图6.12（b）中CA梁段的剪力图。这时，由常数，可以知道该梁段的弯矩图必为斜直线。而图6.12（c）中CA梁段因剪力为负常数-20kN，其弯矩图为下斜直线。当某段梁剪力为零时，其弯矩图必为水平直线。(2)若梁上某一段内作用均布载荷，即有常数。由常数可以知道， 图6.14 集中力的简化 图6.15 例6.4的简支梁这段梁的剪力图必为斜直线。由于剪力方程为的线形函数，因而弯矩方程必为二次函数，即弯矩图为抛物线。这时，弯矩图的凹凸方向有，即均布载荷q的正负符号确定。如图6.12（a）中的AB梁段，q=-10kN/m0时，剪力图为上斜直线,弯矩图为下凸抛物线。(3)在集中力作用处，剪力图发生突变,其突变的数值等于该集中力的大小，如图6.12（b）中的A截面剪力突变了35KN，恰为该截面上支反力的数值。同时，由于该截面处剪力突变，弯矩图的斜率也发生突然变化，成为一个转折点。在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变的数值等于该集中力偶矩的大小，如图6.12（c）中A截面的弯矩突变了40，恰等于梁上该截面处的外力偶矩的数值。从上面的分析可以知道，凡是集中力或集中力偶作用的截面上，剪力图或弯矩图都发生突变，剪力或弯矩似乎没有确定的数值。事实上，所谓集中力并不可能“集中”作用于一点，它是分布于一个微段内的分布力经简化后得到的结果，如图6.14（a）所示。若在范围内把载荷看成是均匀分布的，则剪力连续地从变化到（图6.14b）。关于集中力偶作用的截面上弯矩数值的突变，也可作同样的解释。 (4)若在梁的某一截面上剪力，即，说明弯矩图在该截面处的斜率为零，则该截面处的弯矩就是梁在这段内的极值。如例图6.12（c）中，在处的截面上，其弯矩即为AB梁段内弯矩的极值。同时，这个极值弯矩也是整个CAB梁上弯矩的最大值，即有。有时，也可能发生在集中力或集中力偶的作用处。因此，在求梁上的|max时，应综合考虑上述的各种可能性。下面的例题说明利用载荷集度q，剪力和弯矩的微分关系绘制剪力图和弯矩图的方法。【例题6.4】图6.15（a）所示简支梁受有线性规律分布的载荷作用，试作其剪力图和弯矩图。【解】(1)求梁的支反力在图6.15（a）所示坐标系中，在截面上的载荷集度为根据AB梁的平衡条件计算时，分布载荷的合力等于载荷图的面积，分布载荷对A点之矩，等于载荷图面积与其形心到A点距离的乘积，亦即平衡方程简化为解得支反力 控制截面内力值 表6.4000(2)用截面法绘制内力图的控制截面的内力数值控制截面即为AB梁的两端截面，其内力数值列于表6.4中。(3)根据梁的内力微分关系判断内力图的几何形状并作内力图。先作剪力图。由，可以判定梁的剪力图为一上凸抛物线。再由，看出剪力图的斜率均为负值，且斜率的绝对值从左端A截面开始随的增加越来越大，因此，剪力图为向下倾斜的曲线，越靠近B支座，倾斜程度越大。另外，该梁上没有集中力作用，剪力从连续地变化到，梁上必有某截面的剪力为零。为此，令有即该截面上剪力为零。这样，按一定比例在坐标系中确定AB梁两端截面A、B及剪力为零的截面的坐标点，然后用光滑曲线按照上面分析的剪力图线的几何特征连接这些坐标点，即可得到梁的剪力图，如图6.15（b）所示。再作弯矩图。由，知道弯矩图亦为上凸曲线。又因的截面上弯矩有极值，即在这个截面上极值弯矩为在坐标系中，用上凸光滑曲线连接A、B和M的三个截面的坐标点，可以绘制出AB梁的弯矩图，如图（c）所示。从内力图中可以看出 图6.16 连续梁，【例6.5】绘制图6.16（a）所示梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)计算梁的支反力梁AB和BD用中间铰链B连接，求解这种连续梁的支反力时，可将该梁从中间铰链B处假想断开，如图6.16（b）所示。根据梁BD的平衡条件，求得其支反力为根据梁AB的平衡条件，求得支反力为：(2)确定画内力图的控制截面的内力数值该梁的内力图应分成AB，BC和CD三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列于表6.5中。 控制截面内力值 表6.500000表6.5中和分别为C偏左和偏右侧截面的坐标。(3)根据梁的内力微分关系，逐段判断内力图的大致形状并作内力图先作剪力图。按一定比例，在坐标系中首先确定AB、BC和CD梁段端点的剪力坐标点。AB段梁无分布载荷，由可以知道其剪力图线为水平直线；BC段梁因，剪力图为下斜直线；同理，CD段梁因，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图6.16（c）所示。再作弯矩图。AB梁段因，剪力图为水平线，且其剪力，则知道弯矩图为上斜直线；同理，BC梁段因，弯矩图为上凸抛物线，CD梁段由于，为下凸抛物线。在C截面作用有集中力偶，则弯矩数值由突变到。根据上述关于梁的弯矩图的曲线形状的分析，从梁左端A截面开始，连接各梁段端截面的坐标点，即可方便地绘制出梁的弯矩图，如图6.16（d）所示。从图上可以看到，梁上的弯曲内力最大值分别为：，图6.17 钻床、C形卡头及力学简化模型在工程中，常遇到由许多杆件组成的框架形式的结构。如图6.17（a）表示一钻床及其床身的简图；图6.17（b）表示一C形卡头及其受力简图。这些机械的机身或机架的轴线，是由几段直线组成的。杆和杆的交点称为节点。若杆与杆在节点处的夹角始终保持不变，即杆件在节点处不发生相对转动和移动，这样的节点称为刚节点。各杆之间由刚节点连接成的框架结构称为刚架。若刚架的所有杆件都在同一平面内，这种刚架称为平面刚架。图6.17所示的刚架均为平面刚架。刚架的刚节点处常用填角表示，如图6.17（b）中的C、D所示。刚架任意截面上的内力，一般包括弯矩、剪力和轴力以及扭矩。刚架的轴力图和剪力图及扭矩图，和直杆内力图的画法相同，我们用例题介绍平面刚架弯矩图的绘制。其他内力图，如轴力、剪力图，需要时也可按相似的方法绘制。【例6.6】试绘制图6.18(a)所示平面刚架ABC的弯矩图。【解】(1)计算刚架支反力根据平面刚架ABC的平衡条件， ， ， 可求得支反力为, , (2) 写出刚架的各杆的弯矩方程在图6.18(a)所示坐标系中，各杆的弯矩方程分别为 图图图6.18 例6.6的平面刚架 AB杆： BC杆： (3) 根据弯矩方程画弯矩图根据弯矩方程画刚架弯矩图的方法和梁的弯矩图的绘制方法相同，这里不再赘述。但刚架弯矩图规定，弯矩图一律画在杆件受压的一侧，即画在杆件弯曲变形凹入的一侧，而不再标注弯矩的正负符号。绘制刚架ABC的弯矩图如图6.18（b）所示。从图中看出，在刚节点B处，有最大弯矩【例6.7】试绘制图6.19（a）所示平面刚架ABC的弯矩图。【解】(1)计算刚架支反力根据刚架ABC的平衡条件解得支反力(2)根据弯曲内力的微分关系判断弯矩图的大致形状并绘制弯矩图刚架AB杆无分布载荷作用，且剪力为零，其弯矩图为水平线。由于铰支座A处无集中力偶作用，其弯矩值为零，因而AB杆上弯矩处处为零。同理，BC杆的弯矩也为直线。由于刚节点B处有集中力偶作用，B截面的弯矩由零向上突变一个的数值，而铰链C处弯矩为零，连接过B、C两截面弯矩坐标点的直线，即得刚架ABC的弯矩图如图6.19（b）所示。从图中可以看出，B截面的弯矩为最大值从上述的刚架弯矩图还可以看到，刚节点不同于铰链，它既能传递力又能传递力矩。因此，当刚节点处无集中力偶作用时，根据它应满足的力矩平衡条件，截面的弯矩和截面的弯矩应该大小相等，如图6.20所示。图6.18（b）所示刚架的刚节点B处的弯矩即属于这种情况。只有当刚节点处有集中力偶作用时，截面和截面的弯矩才会突变一个外力偶矩的数值。如图6.19（b）的刚节点处的弯矩突变。 图6.19 例6.7的平面刚架图6.20 刚节点6.6叠加法作弯矩图6.6.1叠加法作弯矩图图6.21（a）表示一根起重机大梁AB，q为梁的单位长度的自重，P为起吊的物重。由AB梁的平衡条件，可求得梁在这两种载荷共同作用下的支反力为 (6.10) (6.11)用截面法，可求得AC和CB两段梁的弯矩方程分别为：AC段： (6.12)CB段： (6.13)式（6.10）和式（6.11），以及式（6.12）和式（6.13）中都分别包括两项，每项分别代表一种载荷单独作用时引起的支反力或弯矩。式（6.10）和式（6.11）中第一项代表均布载荷q单独作用时A端和B端的支反力，其第二项表示集中力P单独作用时A端和B端的支反力。同理，式（6.12）和式（6.13）第一项和第二项也分别代表均布载荷q和集中力P各自单独作用时AB梁上的弯矩。图 6.21 叠加法作弯矩图因此，当梁上载荷比较复杂（图6.21）时，其弯矩图就可由梁上均布载荷q单独作用（图6.21b）和集中力P单独作用（图6.21c）时梁的弯矩图，（图6.21e和图6.21f）叠加，得到如图6.21（d）所示的弯矩图。它就是图6.21（a）所示起重机大梁AB在均布载荷q和集中力P共同作用时的弯矩图。这种作弯矩图的方法称为叠加法。6.6.2叠加原理叠加法是材料力学中广泛使用的一种方法。如第四章关于圆柱形密圈螺旋弹簧的簧丝横截面上的应力计算，就是将簧丝在剪切变形时的剪应力和扭转变形时的剪应力叠加而得到的，即叠加法的应用，要求所求的力学量必须与载荷成线形关系，现作如下简单证明。设某构件受载荷和共同作用，构件上其截面或某点A处的力学量为。力学量与载荷之间为线性关系。若载荷单独作用时引起的该力学量为，且 同样，载荷单独作用时该力学量为上两式中和是与载荷及不相关的系数。若A处在作用后再作用，由引起的该力学量为式中也是与载荷及不相关的系数，亦即和都是和载荷或成线形关系。这样，构件先作用载荷，而后再作用载荷时A处的该力学量为 (6.14) 然后，从构件上解除，这时A处的该力力学量。是区别于且与和无关的系数，这里负号表示卸载。然后再解除时，这时A处的该力学量仍应为。和都解除后，构件应恢复到它的原始状态，该力学量亦等于零，即有或者根据上述分析，当和为任意值时上式均应该成立。因此，只有式中两个系数都等于零，即有这样，式（6.12）可表达为 (6.15) 公式（6.15）表明，构件上任意的A处由和共同作用所引起的力学量，等于和单独作用时的该力学量和叠加。若在构件上先加后，再加，即颠倒加载次序，用同样的方法仍可证明式（6.15）是成立的。这种方法显然可以推广到载荷多于两个的情况。材料力学在小变形假设的前提下，当材料服从虎克定律时，构件的支反力、内力、应力和变形等力学量均与外力间为线形关系。因此，当构件上有几个载荷共同作用时，由每一个载荷引起的构件的支反力、内力、应力和变形等力学量都不受其他载荷作用的影响，这种特性称为力的独立作用原理。这时，构件上的支反力、内力、应力和变形等力学量由各个载荷单独作用时的这些力学量叠加得到，这就是材料力学中的叠加原理。6.7平面曲杆的弯曲内力图在工程中，还会遇到如图6.22所示的吊钩、链环等一类杆件。这种轴线为曲线的杆件称为曲杆或曲梁。轴线为平面曲线的曲杆称为平面曲杆。本节只分析平面曲杆弯曲时的内力及内力图。图6.23（a）表示一轴线为圆弧的平面曲杆，其