带参数的线性方程组的解法.docx

带参数的线性方程组的解法左连翠( 济南大学)侯淑轩( 基础部)摘要对带参数的线性方程组的解法进行了系统的研讨, 分类给出了具体的解法, 并对一类复杂的题目提供了简便的解题方法。关键词线性方程组; 增广矩阵; 系数矩阵一般线性方程组的解法比较固定, 也就是对其增广矩阵实行行的初等变换化为行简化的阶梯形矩阵, 然后对以此为增广矩阵的线性方程组求解。但对于带参数的线性方程组的解法就 不这么简单了。 这需要针对不同的情况, 给出不同的解法。 下面对几种常见的情况给出讨论。1参数只在常数项中出现的方程组这种情况只要对其增广矩阵直接实行行初等变换即可。 例 1问 a、b 取何值时线性方程组x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 13x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 =x 2 + 2x 3 + 2x 4 = a0有解? 并求解。5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 =解: 所给方程组的增广矩阵为b130512141123113310 a b10000100- 1200- 1200- 23 经行初等变换A =a -b -32所以原方程组有解的充要条件是 a -3= b- 2= 0, 即 a = 3, b= 2。x 1 = - 2+ x 3 + x 4x 2 = 3- 2x 3 - 2x 4此时解为其中 x 3 , x 4 为自由未知量。2参数在系数中出现, 并且方程个数与未知量的个数不同的方程组。此时仍要讨论方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩。 例 2问 a 取何值时, 线性方程组a x 1 + x 2 + x 3 = 1x 1 +x 1 + (1 -a x 2 + x 3 = a有解? 并求解。a 2a 2 ) x 2 =x 2 + a x 3 =a ) x 1 +(1 -0收稿日期: 1994206223山 东 建 筑 工 程 学 院 学 报1995 年108解: 上方程组的增广矩阵为a 2a (1 - a )(1 - a ) (1 + a 2 )01a111a01a a 20a111 -10001a -00a1 -经行初 等变换1aA =(1 -a ) (2 -0a )a 2a 1 -a + 1, x 2 =1所 以,( 1 ) 当 a 1, - 2 时, 秩 A= 秩 A =3, 方 程 组 有 唯 一 解: x 1 =-,a + 2a + 2(a + 1) 2。x 3 =a + 2(2)当 a = 1 时, 显然原方程组与x 1 + x 2 + x 3 =1是同解的, 故解为 x 1 = 1- x 2 - x 3 , 其中 x 2 , x 3 为自由未知量。(3)当 a = - 2 时, 显然秩 A = 3, 秩 A = 2, 故方程组无解。3参数在系数中出现, 并且方程个数与未知量个数相同的方程组。此时要先讨论系数行列式是否为零。 例 3问 a、b 取何值时, 方程组a x 1 + x 2 + x 3 =10x 1 +x 1 +bx 2 + x 3 =有解? 并求解。2bx 2 +x 3 = 1解: 因为系数行列式1b2b111a11= b (1 -a )D=所以 (1) 当 a 1, b0 时解唯一: 2b - 1 , 1 ,ba + b - 1x 1 =x 2 =1b -2b -x 3 =1b (a - 1)b (1 - a )b1100(2)当 a = 1 时, 增广矩阵 A 0011- 10所以, 当 2b- 1= 0 即 b= 1 时, 秩 A = 秩 A , 有解, 解为2x 1 = -1 -x 3x 2 =2其中 x 3 为自由未知量; 当 b 1 时, 秩 A = 3 秩 A = 2, 无解。2当 b= 0 时, 由原方程组中容易看出无解。(3)总之, 当 a 1 且 b0 时有唯一解; 当 a = 1 且 b= 1 时有无穷多解; 当 a = 1 且 b 1 , 或 b22= 0 时无解。有些题目虽属于第三类情况, 但因题目比较复杂, 故在求解过程中需要针对各种特殊情况 具体求解。第 4 期左连翠等: 带参数的线性方程组的解法109例 4问 a , b, c 取何值时, 线性方程组a x 1 + x 2 + x 3 =x 1 + bx 2 + x 3 =111有解? 并求解。x 1 + x 2 +cx 3 =1b111ca11解: 因为系数行列式D =b- c+ 2, 所以当 a bc-a - b- c+ 20 时有= a bc-a -唯一解: (b - 1) (c - 1) (a - 1) (c - 1) (a - 1) (b - 1)。x 1 =当 D = 0 时, x 2 =, x 3 =DDDa x 1 + x 2 + x 3 = 1x 1 + x 2 + x 3 = 1( 1)若 b= c= 1 但 a 1 时有解, 因为此时原方程组与x 1 = 0是同解的, 解易得x 3 为自由未知量; 同理x 2 = 1- x 3x 1 = 1- x 2x 3 = 0, x 2x 1 = 1- x 3x 2 = 0(2)当 a = b= 1, 但 c1 时有解为为自由未知量;当 a = c= 1, 但 b1 时有解为当 D = 0, 且 a , b, c 均不为 1 时:x 3 为自由未知量;(3)(4)1011 -11 - ac1 - a ca bc - a - b - c + 2a11b1111c111经行初等变换aA=001 - b1 - a10011- a01c1- a c0但 a bc- a - b- c+ 2= 0, 故 A 1- a 从而秩 A = 3, 秩 A = 2, 所以无解;1- b最后, 当 D = 0 时, 若 a , b, c 中已有一个为 1, 如 a = 1, 则 a bc- a - b- c+ 2= bc- b- c+ 1= 0, 所以有 b (c- 1) = c- 1, 即 (b- 1) (c- 1) = 0, 从而有 b= 1 或 c= 1。即当 D = 0 时, a , b, c 中 不可能只有一个等于 1, 要么至少有两个为 1, 要么全不为 1。 故 (1) (4) 包括了 D = 0 的全部情形。4对于带参数的齐次线性方程组的非零解问题关于这一类的题目, 因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知 量的个数, 所以还是要讨论系数矩阵的秩。x 1 - 4x 2 + 2x 3 = k x 1例 5问 k 取何值时, 方程组 2x 1 + 7x 2 - 4x 3 = k x 2 有非零解? 并求其一般解。4x 1 + 10x 2 - 6x 3 = k x 3(1- k ) x 1 - 4x 2 + 2x 3 = 0解: 首先将原方程组改写为 2x 1 + (7- k ) x 2 - 4x 3 = 04x 1 + 10x 2 - (6+ k ) x 3 = 0山 东 建 筑 工 程 学 院 学 报1995 年110因为其系数行列式 D = (2- k ) (k - 1) (+ 1) , 故当 k = 1 或- 1 或 2 时才有非零解。024- 46102- 4 - 72000- 20- 110当 k = 1 时, 系数矩阵 A =(1),所以有解 x 1 = x 2 = 1 x 3 , x 3 为自由未知量。2224- 48102- 4- 52000200- 1 ,0(2)当 k = - 1 时, A =x 1 = 0,所以解为 x 3 为自由未知量。x 2 = 1 x 32- 124- 45102- 4- 8-101020 ,0(3)当 k = 2 时, A =00x 1 = 2x 3x 2 = 0所以解为其中 x 3 为自由未知量。a x 1 + bx 2 + 2x 3 = 0a x 1 + (2b-a x 1 + bx 2 +1) x 2 + 3x 3 = 0(b+ 3) x 3 = 0bx 3 = 0例 6问 a , b 取何值时, 方程组有非零解?并求一般解(b-1) x 2 -解: 系数矩阵23b +1b -0011b + 10aa a0b2b -b b -a00011A =31- b所以当 a = 0 或 b= 1 或 b= - 1 时有非零解。00001b- 10011b+ 100000100012- b b+ 10(1)当 a = 0 时, 系数矩阵 A ,解为 x 2 = x 3 = 0, x 1 为自由未知量。a0001000a0001100x 2 = -x 3 = 0a x 1当 b= 1 时, 系数矩阵 A , 解为其中 x 1 为自由未知量。(2)1- 2001100ax 2 = - 3 x 1(3)当 b= - 1 时, 系数矩阵 A , 解为其中 x 1 为自由未知x 3 = - 2a x 1 ,3第 4 期左连翠等: 带参数的线性方程组的解法111量。综上所述, 对于带参数的线性方程组的求解问题, 大致分为两类: 一类是方程个数与未知量个数相同时, 可用系数行列式非零先判断出有唯一解的情况, 然后对于系数行列式为零的各 种情况加以求解; 另一类是方程个数与未知量的个数不同时, 直接对其增广矩阵进行行初等变 换化简然后求解。 而针对不同的情况就需要灵活掌握, 给出最恰当的方法。参考文献1 北京大学 1 高等代数 1 北京: 高等教育出版社, 19782 张禾瑞, 郝钅丙新 1 高等代数 1 北京: 高等教育出版社, 19863 蔡剑芳等 1 高等代数综合题解 1 武汉: 湖北科技出版社, 19864( 苏)N 1B 1 普罗斯库烈柯夫著, 周晓钟译 1 线性代数习题集 1 北京: 北京人民教育出版社, 1982THE M ETHOD O F SOL V ING A BO UT SY STEMO F L INEA R EQUA T IO N W ITH PA RAM ETERZ u o L ia n cu i(J in an U n ive r sity)H ou S h u x u a n(D ep t. o f F u n dam en ta l Co u r se)A bstra c tT h is p ap e r stu d ie s an d d iscu sse s th e so lu t io n o f th e sy stem o f lin ea r e2qu a t io n s w ith p a ram e te r, g ive s th e ir co n c