高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用 导数实际应用中的三类问题素材 苏教版选修22.doc

1.4 导数实际应用中的三类问题导数有着广泛的应用,比如:一.最优化问题例1. 从一块边长为a的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形（如图),然后按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子，要截去多大的小四边形方使盒子容积最大？分析: 将四边形分解成两个全等的直角三角形，将盒子高作为自变量，体积作为因变量，建立函数关系，运用导数求解解: 设盒子的高为x,则盒子的底面边长为(), 得x或x.v在x(0,)上为增函数，在(,)上为减函数，v在x=处取得最大值，此时小四边形面积.答：截去三个面积都为的四边形时，盒子的容积最大.评析: 解空间几何体有关的最值问题，要熟悉相关几何体的形和数的特征二.学科间综合问题例2.如图,已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长分析:由抛物线y=4-x2的图象性质可知，矩形是关于y轴对称的，设矩形的长为2x，则宽为4-x2，利用面积公式，运用导数求解解: 设矩形的长为2x，则宽为4-x2,矩形面积s=2x(4-x2）=8x-2x3 (0x2),=8-6x2,令0得- x ,s在(0, )上为增函数，在(，2)上为减函数当x=时，矩形面积最大.答: 当矩形的长、宽分别为和时矩形面积最大.评析: 这是与解析几何有关的问题，本题充分利用了抛物线的图形特征和数量特征三.方案设计类例3. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积v1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积v2v1.分析: 本例主要考查利用导数研究函数单调性、求最值等基础知识，解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点.在第(2)问中,有多种设计方案,哪一种容器的容积最大呢?当然,原材料不浪费的情况下,最为优化.解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，v1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.v1=4（3x28x+4）.令v1=0，得x1=，x2=2（舍去）.而v1=12（x）（x2），又当x时，v10；当x2时，v10，当x=时，v1取最大值.（2）重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积v2=321=6，显然v2v1.故第二种方案符合要求.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象