谈“余弦定理”一节课的教学案例分析.doc

附件1沛县（含徐州市）第四届中小学教学案例封面案例题目：谈“余 弦 定 理”一节课的教学案例分析案例涉及的学科：数学 学段：高中作者姓名：郝培影 出生年月：1977.8性别：男 职称：中教一级 作者单位（全称）：沛县湖西中学邮编：221611 学校意见（鉴定是否抄袭）：学校印章年 月 日 县区意见（是否同意上报）：单位印章年 月 日 市评审小组认定等次：签名等次简要评价评委1评委2评委3复审认定等次： 签名：终审认定等次： 签名：谈“余 弦 定 理”一节课的教学案例分析沛县湖西中学 郝培影随着教育改革的深化，如何提高学生学习的兴趣，培养学生探索能力是广大教师非常重视的问题其中数学的教学也不仅仅是原来那种教师讲解，学生被动接受的传统教学模式，而是要学生真正的参与进去，成为学习的主体，通过其动手实践，合作交流，体验数学发现和创造的历程，引发学生对实际问题蕴涵的一些数学模型进行思考、探索，养成善于观察、勤于思考、勇于归纳的良好思维品质本文就“余弦定理”一节课的教学谈谈个人的看法一、教学内容分析苏教版普通高中课程标准实验教科书必修第章解三角形第单元第课余弦定理，改变了传统的证明方法，是利用向量的数量积来推导余弦定理的要求学生正确理解定理的结构特征，正确解决三角形边角边，边边边，边边角的问题，通过定理的应用，体会方程思想在解决问题中的应用，激发学生探究问题的欲望，培养应用数学知识的能力二、学情分析学生在学习本课之前已经学习了三角函数、平面向量、三角恒等变换以及正弦定理等有关内容，对三角形中的边角关系有了初步的认识，已能解决一些简单的边角关系，在此基础上探求余弦定理，会激发学生的探究兴趣.余弦定理的推导有一定的难度，这就要求教师要合理的设疑，正确的引导学生通过计算-归纳-推理余弦定理，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯 三、设计思想为了充分调动学生的学习兴趣，发挥在教学中的主体性，本课的教学采用探究式的教学方式，即教学过程中教师以问题为导向设计问题情境，学生通过自主探究和合作交流，解决问题、总结经验、归纳规律，从而发现“余弦定理”、证明“余弦定理”在此过程中，学生通过交流、讨论，互为取长补短，在知识形成发展过程中提高学生的数学思维能力，体会方程思想在解决数学问题中的应用，通过余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的实际问题，养成学以致用的品质四、教学三维目标（一）知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式，理解证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决 “边角边”、“边边边”两类基本的解三角形问题，以及边边角的问题；2.运用余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的实际问题（二）过程与方法 利用向量的数量积来推导余弦定理，通过余弦定理的变形推出其推论，并通过实践掌握运用余弦定理解决三角形边角边、边边边、边边角的问题（三）情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处解决三角形的一些问题；2. 通过三角函数、向量数量积、余弦定理等多处知识间联系来理解事物之间的普遍联系性.五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现和证明过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积证明余弦定理. 六、教学过程一、创设情景，揭示课题1.三角形全等的判断方法有哪些？2.向量加法的三角形法则是什么?3.正弦定理的内容是什么？可解决哪几类三角形的问题？【设计意图】回顾已学相关知识，防止遗忘 4.在ABC中a8，b5，c60，你能求c边长吗？引导学生从平面几何、坐标系等方面进行估计判断【设计意图】学生体会到正弦定理的不足，从而激发研究兴趣，探索新知师：你能够有更好的具体的量化方法吗？教师引导学生从平面几何、向量知识、平面直角坐标系、三角函数等多方面进行分析，选择简洁的处理方法，引发学生的积极讨论生1：过点B作BDAC交AC与D点，通过BCD可以求出线段BD、CD的长度，进而求出AD的值，再借助ABD求出线段AB的值，即c边长；生：建立平面直角坐标系，设点(0,0),点A(5,0),通过三角函数可求出点B(4,),借助两点距离公式可求出师:两位同学的方法都很好,大家回想一下,我们在学习向量的时候研究过向量加法的三角形法则,那么这个问题能否从向量的角度来思考呢? 【注】学生通过讨论,终于有个学生说出自己的解法生3: 即 【评】通过具体问题的解题探究，为一般性问题的探究做铺垫，使学生在探究新知是不会感到无从下手，通过类比容易找到解决一般性问题的思路，培养学生从特殊演绎到一般的思考意识二、研探新知 师：通过这一具体问题的求解，同学们讨论讨论，我们能否借助这三位同学的方法解决任意三角形中边角边的问题生：如果用第一种方法需要对是锐角、直角、钝角进行分类讨论，比较麻烦，应用第二、三种方法则不必讨论，应用第二种方法可做如下证明：建立直角坐标系，则所以同理可证，生5：应用向量的方法证明如下： 如图，在中，、的长分别为、，+， 即 ；同理可证：， 【设计意图】在利用数量积计算时，两个向量的夹角可能会找错，从而得出错误的结果，教师要适时引导，让学生从错误中发现问题，巩固向量的有关知识；同时，让学生理解数学中的转化思想：化未知为已知于是得到以下定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 师：这几个式子有怎样的特点？可以什么样的问题？学生：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。可以解决“边角边”问题【设计意图】知识归纳比较，发现特征，加强识记，同时首尾呼应师：从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生：上面的式子可变形为：，可以由三边求出一角，解决“边边边”问题【设计意图】加强学生对定理的理解，熟悉其应用范围：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角师：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生：若中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1在中，（1）已知，求；（2）已知，求例2 在中，最大角为最小角的2倍，且三边、为三个连续整数，求、的值【设计意图】应用数学知识求解问题,训练计算能力，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用例 以5，12，13为各边长的三角形是_三角形以4，12，13为各边长的三角形是_三角形以12，13，14为各边长的三角形是_三角形【设计意图】用准确的量化关系去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例例在ABC中， 求边 分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造关于的方程求解。（3）比较两种方法的利弊能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性【设计意图】继续深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于正弦定理并让学生初步发现“边边角”问题解法，为下节学习辅垫四、巩固深化，反馈矫正 . 在中，则_. 在中，则角的度数是_.已知锐角三角形的边长分别是、，则的取值范围是_.用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，【设计意图】用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养五、归纳整理，整体认识1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些知识和方法？ 【设计意图】通过知识回顾，使学生各自体会收获六、板书设计（略）七、教学反思本节课的教学是在学生学习了三角函数、平面向量、正弦定理等基础上而设置的教学内容，从而我采取了从复习以前相关内容入手，从解三角形的问题出发，提出问题，引发学生思考，激发学生的求知欲，调动学生的积极性，在对旧知识应用中提炼出新知识，从而新旧知识融为一体，使学生建立完整的知识系统教学中，引导学生从已学知识进行多角度分析问题，从而培养了学生思考问题的灵活性，在得到充分的讨论后，找出问题解决的办法，揭示了蕴含在处理问题中的数学思想方法，不仅知其然，而且知其所以然在引导学生推导出公式，通过类比的方法引导学生推到出三个等式和三个推论，培养学生善于观察，归纳，发现特点，总结规律的好习惯通过和勾股定理的比较，得出勾股定理是余弦定理的特殊情况，使学生加深了对余弦定理的理解，思维问题更加深入，提高了思维能力常言说：要学以至用余弦定理的应用是本节教学的重要一环所以，例题的选择和讲解是学习本节课的重要一环例1、例2是余弦定理的简单应用，目的在于巩固余弦定理知识，加深对定理的理解；例是余弦定理的变形应用，通过本题的训练，使学生更灵活