安徽省江南十校联考2016年高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|2x25x30，B=xZ|x2，则AB中的元素个数为（）A2B3C4D52若复数z满足z（1i）=|1i|+i，则z的实部为（）AB1C1D3“a=0”是“函数f（x）=sinx+a为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知l是双曲线C：=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若=0，则P到x轴的距离为（）ABC2D5在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y21，x0，y0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）ABCD6在数列an中，an+1an=2，Sn为an的前n项和若S10=50，则数列an+an+1的前10项和为（）A100B110C120D1307设D是ABC所在平面内一点， =2，则（）A =B =C =D =8执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A5B6C7D89已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xR，有f（x）f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）10若x，y满足约束条件，则z=yx的取值范围为（）A2，2B，2C1，2D，111某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A4+16+4B5+16+4C4+16+2D5+16+212已知函数f（x）=alnxx2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）Ae3Be2CeD二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.132016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=14（2xy）5的展开式中，x2y3的系数为15椭圆C： +=1（ab0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，APPQ，则椭圆C的离心率为16已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，2Sn=（n+1）an，若存在唯一的正整数n使得不等式an2tan2t20成立，则实数t的取值范围为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，CBD=30，BCD=120，求（）ADB；（）ADC的面积S18如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EFBD，EF=BD，平面EFBD平面ABCD（）证明：DE平面ACF；（）若梯形EFBD的面积为3，求二面角ABFD的余弦值19第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日21日在巴西里约热内卢举行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX20已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴（）求线段ON的长；（）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由21已知函数f（x）=ex+ax22ax1（）当a=时，讨论f（x）的单调性；（）设函数g（x）=f（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和+的区间）四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22如图，过O外一点E作O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点（）证明：BE=DE；（）若AD=3AC，求AE：AC的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为=2cos（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求ABP面积的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x|2x1|，记f（x）1的解集为M（）求M；（）已知aM，比较a2a+1与的大小2016年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|2x25x30，B=xZ|x2，则AB中的元素个数为（）A2B3C4D5【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x3）0，解得：x3，即A=x|x3，B=xZ|x2=2，1，0，1，AB=0，1，2，即有3个元素，故选：B2若复数z满足z（1i）=|1i|+i，则z的实部为（）AB1C1D【考点】复数代数形式的混合运算【分析】z（1i）=|1i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出【解答】解：z（1i）=|1i|+i，z=+i，z的实部为故选：A3“a=0”是“函数f（x）=sinx+a为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先根据奇函数的定义判断出a=0时，为奇函数，再根据奇函数的定义判断当为奇函数时，a=0，故可以判断为充要条件【解答】解：f（x）的定义域为x|x0，关于原点对称当a=0时，f（x）=sinx，f（x）=sin（x）（）=sinx+=（sinx）=f（x），故f（z）为奇函数，当函数f（x）=sinx+a为奇函数时，f（x）+f（x）=0又f（x）+f（x）=sin（x）（）+a+sinx+a=2a，故a=0所以“a=0”是“函数f（x）=sinx+a为奇函数”的充要条件，故选C4已知l是双曲线C：=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若=0，则P到x轴的距离为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m， m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离【解答】解：双曲线C：=1的a=，b=2，c=，即有F1（，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m， m），=（m，m）（m，m）=（m）（m）+（m）2=0，化为3m26=0，解得m=，则P到x轴的距离为|m|=2故选：C5在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y21，x0，y0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）ABCD【考点】类比推理【分析】类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论【解答】解：类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B6在数列an中，an+1an=2，Sn为an的前n项和若S10=50，则数列an+an+1的前10项和为（）A100B110C120D130【考点】数列的求和【分析】由数列an中，an+1an=2，可得此数列是等差数列，公差为2数列an+an+1的前10项和=a1+a2+a2+a3+a10+a10+a11=2S10+10d，即可得出【解答】解：数列an中，an+1an=2，此数列是等差数列，公差为2数列an+an+1的前10项和为：a1+a2+a2+a3+a10+a10+a11=2（a1+a2+a10）+a11a1=2S10+102=120，故选：C7设D是ABC所在平面内一点， =2，则（）A =B =C =D =【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】根据平面向量线性运算的几何意义用表示出【解答】解：，=故选：D8执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A5B6C7D8【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足st，输出n=6，故选：B9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为4，且对xR，有f（x）f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意，利用周期公式可求由f（x）f（）恒成立，结合范围|，可求=，令=k（kZ），即可解得f（x）的对称中心，即可得解【解答】解：由f（x）=sin（x+）的最小正周期为4，得因为f（x）f（）恒成立，所以f（x），即+=+2k（kZ），由|，得=，故f（x）=sin（）令=k（kZ），得x=2k，（kZ），故f（x）的对称中心为（2k，0）（kZ），当k=0时，f（x）的对称中心为（，0），故选：A10若x，y满足约束条件，则z=yx的取值范围为（）A2，2B，2C1，2D，1【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化简z=yx为y=x+z，从而结合图象求解【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=yx为y=x+z，设l：y=x+z，故结合图象可知，当l过3xy=0与x+y4=0的交点（1，3）时，z取得最大值2；当l与抛物线y=x2相切时，z取得最小值，由，消去y得：x22x2z=0，由=4+8z=0，得z=，故z2，故选B11某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A4+16+4B5+16+4C4+16+2D5+16+2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为242=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为14=4，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故选：D12已知函数f（x）=alnxx2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）Ae3Be2CeD【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f（x）=x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），则函数的导数f（x）=x+b，若函数f（x）=alnxx2+bx存在极小值，则f（x）=x+b=0有解，即x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b2，（a0），由f（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，b2，（a0），x1=（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1x12+bx1=alnx1x12+x12a=alnx1+x12a，设g（x）=alnx+x2a，x（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，g（x）=+x=0，g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）g（）=alna0，得ln，即ae3，则ae3，故a的最小值为是e3，故选：A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.132016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：由题意可得=，故N=200故答案为：20014（2xy）5的展开式中，x2y3的系数为40【考点】二项式定理【分析】Tr+1=（2x）5r（y）r，令r=3，即可得出【解答】解：Tr+1=（2x）5r（y）r，令r=3，可得：x2y3的系数为22（1）3=40故答案为：4015椭圆C： +=1（ab0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，APPQ，则椭圆C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】设点P在第一象限，由对称性可得|OP|=，推导出POA=60，P（），由此能求出椭圆的离心率【解答】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|=，APPQ，在RtPOA中，cosPOA=，POA=60，P（），代入椭圆方程得： =1，a2=5b2=5（a2c2），整理得2a=c，离心率e=故答案为：16已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，2Sn=（n+1）an，若存在唯一的正整数n使得不等式an2tan2t20成立，则实数t的取值范围为2t1或t1【考点】数列与不等式的综合【分析】由题意求得数列an的通项公式，将原不等式转化成n2tn2t20，构造辅助函数f（x）=n2tn2t2，由题意可知f（1）0，f（2）0，即可求得t的取值范围【解答】解：当n2时，an=SnSn1=，整理得=，又a1=1，故an=n，不等式an2tan2t20可化为：n2tn2t20，设f（n）=n2tn2t2，由于f（0）=2t2，由题意可得：，解得2t1或t1故答案为：2t1或t1三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，CBD=30，BCD=120，求（）ADB；（）ADC的面积S【考点】解三角形的实际应用【分析】（I）在BCD中由正弦定理解出BD，在ABD中，由余弦定解出cosADB；（II）代入三角形的面积公式计算【解答】解：（）在BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3在ABD中，由余弦定理得：cosADB=ADB=45（）CBD=30，BCD=120，CDB=30sinADC=sin（45+30）=，SACD=CDsinADC=18如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EFBD，EF=BD，平面EFBD平面ABCD（）证明：DE平面ACF；（）若梯形EFBD的面积为3，求二面角ABFD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角【分析】（）根据线面平行的判定定理即可证明DE平面ACF；（）若梯形EFBD的面积为3，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角ABFD的余弦值【解答】解：（）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF，由EFBD，EF=BD，得EFODEF=OD，所以四边形EFOD为平行四边形，故EDOF，又EF平面ACF，OF平面ACF，所以DE平面ACF （）方法一：因为平面EFBD平面ABCD，交线为BD，AOBD，所以AO平面EFBD，作OMBF于M，连AM，AO平面BDEF，AOBF，又OMAO=O，BF平面AOM，BFAM，故AMO为二面角ABFD的平面角取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OPBD，因为=OP=3，所以OP=由PF=，得BF=OF=，因为，所以OM=，故AM=，所以cos=，故二面角ABFD的余弦值为 19第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日21日在巴西里约热内卢举行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（）作出两国代表团获得的金牌数的茎叶图，通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P（X=0）=P（）P（）P（）=（1）2（1）=，P（X=1）=+（1）2=，P（X=2）=（）2（1）+C（）（1）（）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=（）2（）=，故X的分布列为：X0123PEX=20已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴（）求线段ON的长；（）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可【解答】解：（）由抛物线y2=2px经过点M（2，2），得22=4p，故p=1，c的方程为y2=2x C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则=，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y2=（x2），令y=0得x=2，所以点N的坐标为（2，0），故线段ON的长为2 （）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=2，因为l2与l1相交，故m0由l2：x=my+b，令x=2，得y=，故E（2，）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y22my2b=0则y1+y2=2m，y1y2=2b 直线MA的斜率为=，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+=2=1+，即=1+=1+，整理得：，因为l2不经过点N，所以b2所以2mb+2=2m，即b=2故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）21已知函数f（x）=ex+ax22ax1（）当a=时，讨论f（x）的单调性；（）设函数g（x）=f（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和+的区间）【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断【分析】（）求得当a=时的f（x）的导数，由导数的单调性，讨论x0，x0，即可得到所求单调性；（）由条件可得g（x）=2ax2a，g（x）=ex+2a，对a讨论：a=0，a0，分12a0，即a时，12a=0，即a=时，12a0，即0a时，a0，分ln（2a）20，即a0时，ln（2a）2=0，即a=时，ln（2a）20，即a时，运用导数判断单调性以及函数零点存在定理，即可判断零点的个数【解答】解：（）当a=时，f（x）=ex+x1，易知f（x）在R上单调递增，且f（0）=0，因此，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0故f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（）由条件可得g（x）=2ax2a，g（x）=ex+2a，（i）当a=0时，g（x）=ex0，g（x）无零点；（ii）当a0时，g（x）0，g（x）在R上单调递增，g（0）=12a，g（1）=e0，若12a0，即a时，g（0）=12a0，g（x）在（0，1）上有一个零点；若12a=0，即a=时，g（0）=0，g（x）有一个零点0；若12a0，即0a时，g（）=e10，g（x）在（，0）上有一个零点；（iii）当a0时，令g（x）0，得xln（2a）；令g（x）0，得xln（2a）所以g（x）在（，ln（2a）单调递减，在（ln（2a），+）单调递增，g（x）min=g（ln（2a）=2aln（2a）2；若ln（2a）20，即a0时，g（x）0，g（x）无零点；若ln（2a）2=0，即a=时，g（2）=0，g（x）有一个零点2；若ln（2a）20，即a时，g（1）=e0，g（ln（2a）0，g（x）在（1，ln（2a）有一个零点；设h（x）=exx2（x1），则h（x）=ex2x，设u（x）=ex2x，则u（x）=ex2，当x1时，u（x）e20，所以u（x）=h（x）在1，+）单调递增，h（x）h（1）=e20，所以h（x）在1，+）单调递增，h（x）h（1）=e1，即x1时，exx2，故g（x）x2+2ax2a，设k（x）=lnxx（x1），则k（x）=1=0，所以k（x）在1，+）单调递减，k（x）k（1）=10，即x1时，lnxx，因为a时，2ae21，所以ln（2a）2a，又g（2a）（2a）2+2a（2a）2a=2a0，g（x）在（ln（2a），2a）上有一个零点，故g（x）有两个零点综上，当a时，g（x）在（1，ln（2a）和（ln（2a），2a）上各有一个零点，共有两个零点；当a=时，g（x）有一个零点2；当a0时，g（x）无零点；当0a时，g（x）在（，0）上有一个零点；当a=时，g（x）有一个零点0；当a时，g（x）在（0，1）上有一个零点四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22如图，过O外一点E作O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，