数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步.doc

第二十二章 各种积分间的联系与场论初步1 各种积分间的联系1应用格林公式计算下列积分：（1） ，其中L为椭圆+=1取正向；（2） L同（1）；（3）， 是顶点为的三角形的边界，取正向；（4）取正向；（5） 为矩形 的边界，取正向；（6）其中是任意逐段光滑闭曲线解（1）原式 = =（广义极坐标变换） =（2）=（3）原式 （4）原式（5）原式 （6），所以，原式 其中为包围的平面区域2利用格林公式计算下列曲线所围成的面积：（1）双纽线；（2）笛卡尔叶形线；（3），解（1），其中由，所围成（2）作代换则得曲线的参数方程为，所以，从而，于是，面积为=（3）= = = 3利用高斯公式求下列积分： （1）.其中 （a）为立方体的边界曲面外侧； （b）为锥面,下侧. 解：（a） =2 =2 = (b)补充平面:的上侧后，成为闭曲面的外侧, 而 = 所以 : + = =2 =2 = = = 所以 =（2）, 其中是单位球面的外侧；解：=3 =3 = （3）设是上半球面的上侧，求 （a） (b) 解：补充平面：，下侧后，成为闭曲面的外侧，而 （a） 所以 3 =2 (b) =2d=0 所以 = = =dsind=（4）, 是 的外侧. 解：, =3 =44用斯托克斯公式计算下列积分： （1）, 其中 （a）为圆周，方向是逆时针； （b）为 所交的椭圆，沿轴正向看去，按逆时针方向； 解： （a）取平面上由交线围成的平面块为S，上侧，由Stokes公式 = = = = = （b）取平面上由交线围成的平面块为S，上侧，由由Stokes公式 = = =（2），是从经至回到的三角形；解： 三角形所在的平面为，取平面上由以上三角形围成的平面块为S，取上侧，由stokes公式 = =（+） =（+） =（3），其中 （a）为与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则； （b）是曲线, ()，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则； 解：（a）中取平面上与三坐标面交线所围平面块为S，上侧；（b）中取曲面上由所围曲面块为S，上侧， 则由stokes公式，得 =2则（a） = =0 （因为cos=cos=cos=）（b） 注意到球面的法线的方向余弦为： , ，所以=2=2由于曲面S关于平面对称，故 又于是=（4），是，从轴正向看去圆周是逆时针方向解：平面的法线的方向余弦为 cos，于是，=5.设L为平面上封闭曲线,为平面的任意方向，证明：，其中是的外法线方向。证明：不妨规定L的方向为逆时针的，以表示，由于夹角故得=+但 且 ，因此，有：再利用Green公式，并注意到和均为常数，即得 设是封闭曲线，为任意固定方向，证明：.证明：因为 其中为的方向余弦，故有而为固定方向，从而均为常数，于是由auss公式，得7 求I=, 为包围有界区域D的光滑闭曲线，为的外发向。解： 设 曲线的逆时针切线方向，则，即： 而所以， =于是 =8. 证明Gauss积分 ，其中是平面一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向.又若r表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于2.证明： 设与轴夹角为，与轴的夹角为， 则于是 ,并设曲线上的点为,曲线外一点为，则 所以 =令 ，则有，因而,的偏导数除去点外，在全平面上是连续的，且 于是，利用Green公式，当点在外一点时，有当在内时，则在内以为圆心，以为半径作一小圆，即得 即=即 =9 计算Gauss积分，其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点（）处的外法向，. 试对下列两种情形进行讨论：（1）曲面包围的区域不含点； （2）曲面包围的区域含点.解： 设的方向余旋为cos,cos,cos，则而：，所以，由于，这些偏导数除去即点外。在全空间是连续的，且+=0于是（1）当曲面所包围的区域不含点时，由 Gauss公式有 （2）当则曲面所包围的区域含点时，在内以为球心，以为半径作小球面，由 Gauss公式=10求证,其中是包围的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向，,. 分下两种情形进行讨论：（）中不含原点（）中含原点时,令，其中是以原点为心，以为半径的球.证明：（1）其中 为的方向余旋，因此,利用Gauss公式,得 =所以: （2）对封闭区域应用Gauss公式,可得，但在上，于是，令取极限，即得：=11.利用Gauss公式变换下列积分: （1） （2）,其中是曲面的外法线方向余弦.解:（1）=0 （2）=12设，是具有二阶连续偏导数的函数，并设证明：（1）；（2）；（3）.其中为闭曲线所围的平面区域,为沿外法线的方向导数.证明:(1)（2） 令 ，则，所以：由Green公式有： 所以： （3） 由（2）已证知： 后式减去前式得： =-（该公式称为Green第二公式）13设+，是的边界曲面，证明：（1）（2）式中在及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，为沿曲面的外法线的方向导数.证明：（1）= （2） 14、计算下列曲线积分：(1),其中是下侧；解：补充平面被割下的部分上侧为，则由Gauss公式 =0而 =0所以 (2) ,是立体的边界面，而立体由和三坐标面围成； 解： =(3),其中，是的外法向单位向量，为上侧； 解：设，则补充被割出一块的下侧，由于=0 所以 = = = = (4) ,是后侧； 解：补充被割下的一块前侧为，则 =0 由Green公式有： = = =15证明由曲面所包围的体积等于=，式中为曲面的外法线的方向余弦.证明：= =16若是平面=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为，求，其中依正方向进行解： 记 = = = 则 =17设，有连续的偏导数，且对任意光滑闭曲面，有=0证明：=0证明：（反证法）若不然，设在某点，=，则由于函数在连续，故，使得在内，（） 因而在曲线：，有 0= = 矛盾 故原命题成立.18设，在全平面上有连续偏导数，而且以任意点为中心，以任意正数为半径的上半圆:， 恒有求证：，证明：，考虑以为内点的闭区域，由于，在全平面上有连续偏导数，而且，故，使得，在上成立。任取且上半圆周：， 及平行于轴的直线段:，完全与内，则是内的闭围线，由Cauchy积分公式得 = 其中为所围的闭区域，显然，有已知条件有 = 即 = = =对 ，使得 = 代入上式得 令，则，即得即，由的任意性，知 因此，于上. 特别在，同样由的任意性，.2 积分与路径无关1验证下列积分与路径无关，并求它们的值：(1) 解：，在全平面有连续偏导数，且 因此积分与路径无关。所以=0(2) 沿在右半平面的路径；解：,， 在右半平面有连续的偏导数，且 ，因此积分 与沿在右半平面的路径无关所以 =(3) 沿不通过原点的路径；解：， 在有连续的偏导数，且 ，故沿不通过原点的路径积分与路径无关 所以=(4) ，式中是连续函数；解：=，=均在平面有连续偏导数，且，故积分与路径无关 所以 =(5) 其中，为连续函数；解：= , = 在全平面有连续的偏导数，且 =0= 故积分与路径无关所以 =(6) ；解： ,故积分与路径无关，所以=+=0(7) ；解：=, 故积分与路径无关，所以=(8) ，其中,在球面上 。解： =在均成立 ， 故在区域 内 ，积分与路径无关，所以，其中,在球面=上与路径无关，且=02求下列全微分的原函数：(1)；解：=,=在全平面有连续的偏导数，且 =，故是某一函数的全微分.且= = = (c为实常数) (2)解：=, =在全平面上有连续的偏导数， 且 =， 因此知 是某一函数 的全微分，且 = = = = (c为实常数) (3) ；解：=, =, = 在 只有连续的偏导数， 且 ， , 故在 ，是某函数 的全微分 ， 实际上 =所以 (c为实常数). (4) 解： 原式= = 所以 = (为实常数).(5) 解： 原式= = = = 所以全微分的原函数 (为实常数)(6) 解： 原式= = = = 所以全微分的原函数为: =,（且，即 ，为实常数). 3. 函数应满足什么条件才能使微分式是全微分.解：，要使有连续的偏导数，须使有连续的偏导数，且要使，只须，即，因此函数应满足有连续的偏导数，且 时，才能使微分式是全微分.4. 验证 适合条件，其中,为常数，,求奇点的循环常数.证明: ,，在具有连续的偏导数，而由于可得同号， 且由 仅在为0,知具有连续的偏导数，且,以为心作正方形周界 逆时针方向,则由于+=0即的循环常数为0.5. 求,其中是不经过原点的简单闭曲线，取正方向，设围成的区域为.（1）不包含原点；（2）包含原点在其内部.解: 由于，显然在具有一阶连续偏导数，且，因此（1）不包含原点时，（2）包含原点在其内时，任取，作圆周，正向，则6. 求，其中是不经过和点的简单闭曲线。解：，则当且时，设是不经过和点的简单闭曲线,若（1）与均在所包围的区域外，则由格林公式，（2）与均在所包围的区域内，则分别以与为圆心，以很小的正数为半径做圆周，使圆周及其内部全含于，且与不交，则在由，为边界的区域上，因此而在包围区域内，及 均有连续的偏导数，；在包围区域内， 及 均有连续的偏导数，且，因此，得（3）与一个在包围的区域内，另一个在内，则以在园内的点为圆心，做一个小圆完全包含于，同（2）一样可计算得： 所以有7. 设在单连通区域上有二阶连续偏导数，证明在内有的充要条件是对内的任一简单光滑闭曲线，都有，其中为沿外法线方向的方向导数.证明:“必要性” = =0其中是外法线的方向余弦，为包围的区域.“充分性”若在D内，则由函数在连续,故，使得当落入以为心,以为半径的圆域上（包括边界）时， 或,故得 矛盾，故 .8. 计算积分，其中是从点到的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是。解：设，,则,在具有连续的偏导数，且，,故(1) 若，则取以到的方向，则由和围成一条闭曲线,由格林公式知： 即 =（2）若，则取以到的方向，因此有： =9. 计算积分， 其中是被积函数定义域内从点至的逐段光滑曲线.解：,，则,在定义域有连续的偏导数，且，这里为二连通区域，是唯一的洞，故在围绕该洞任一路径上逆时针方向积分一周，其值相等，等于该洞的循环常数，不妨取圆周:,得循环常数=故积分与路径无关,采用平行于坐标轴的折线路径,3 场论初步1. 求在点,的梯度，并求梯度为零的点.解： ，故在,的梯度分别为, .由即梯度为零的点为.2. 计算下列向量场的散度和旋度:(1) 解: （2）解: (3)解: 3. 证明是有势场并求势函数.证明：只需证是全微分。事实上，有 故是有势场，且势函数为（c为是常数）.4. 设,.（1）计算其中是螺旋线;解: （2）设，求；解: （3）在什么条件下为有势场，并求势函数。解: 当，时，即时，为有势场，这时， 势函数为 （为实常数）5. 设为可微函数，求.解： 6. 求向量场沿曲线的环流量：（1）为平面上的圆周，逆时针方向； 解： （2）为平面上的圆周，逆时针方向；解： （3）为平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域的面积为.证明沿的环流量为.证明: （4）设有一平面取为上侧，上有一逐段光滑简单闭曲线，其方向关于为正向.围成的平面区域的面积为，问沿的环流量是什么？解: 7. 求向量场沿曲线的环流量:（1）不环绕轴；（2）环绕轴一圈；（3）环绕轴圈.解： 所以沿曲线的环流量为，均在除外的点具有连续偏导数，且， 故（1） 不环绕轴时，包围的曲面上不包括，由Stokes公式，I=0；（2） 环绕Z轴一圈时，可以为圆心，为半径作一圆柱面，与包围的曲面的交线为，则在上，使用Stokes公式，有=（3）当环绕轴圈时，过可作光滑