高考立体几何考点解析与试题集粹(上).pdf

5 2 重庆 数学教学通讯 2 0 0 5 年 6 月 下半月 总第 2 3 5 期 高考立体八何考点麓析与试题集粹 上 四川省渠县中学 6 3 5 2 0 0 郑兴明 数学科 考试大纲 要求考生 掌握平面基本性质 空间两条直线 直线和平 面 两个平面的位置关系 特别是平行和垂直关系 以 及它们所成的角与距离的概念 能运用上述概念以及有关两条直线 直线和平 面 两个平面的平行和垂直关系的性质与判定 进行论 证和解决有关问题 理解空间直角坐标系 空间向量的概念 掌握空 间向量的加法 减法 数乘和数量积的定义 性质及其 应用 掌握运用向量研究空间图形的数学思想方法 下面介绍直线和平面基础试题考点及解析 考点 1 考查异面直线所成角的求法 例 1 2 0 0 4 年天津高考题 如图1 在棱长为 2 的 正方体A B C D A B C D 中 O是底面A B C D的中心 E F分别是C C A D的中点 求异面直线O E和F D 所 成的角的余弦值 解析 求异面直线所成的角 一是根据其定义选择 恰当的点分别平移两条异面直线 将其转化为相交直 线所成的不大于直角的角 二是建立空间直角坐标系 求出与两条异面直线共线的向量 最后由向量夹角公 式去获解 解 以 D为原点 建立如图1 所示 的空间直角坐标 系 D x y z 则 F 1 0 0 O 1 1 O D o 0 2 E 0 2 1 o g 一1 1 1 两 一1 o 2 设O E和F D 所成角为 则 砚 两 酉 丽一 1 2 西 5 图 1 考点 2 考查斜线和平面所成角的求法 例 2 2 0 0 4年浙江高考题 如图 2 在正三棱柱 A8 C A 1 B L C L 中 已知A B 1 D在棱B B L 上 且 B D 一 1 若 A D与平面 A A C C所成的角为 O L 则 O L A 詈 B r 4 c a r c s i n D a r cS in 竿 解析 求直线和平面所成角 的思路是根据其定义作出这条直 线在 该 平 面 卜的射 影 从而 将 其 图 2 且 D B 转化为两条相交直线所成角的问题去解决 解 设过D且与底面平行的截面交A A于点 交 C C于点 则平面DMN上平面A A C C 且 D MN 为正三角形 作DEj 于E 则D Ej 平面A A C C 连结E A 则 E A D为A D与平面A A C C所成的 角 即 E A D 口 在R t x A D E中 由A B B D 1 得 r I A D 又D E s in E A D 篇一 竿 故 选 D 考点 3 考查二面角大小的求法 例 3 2 0 0 4年天津高考题 如图 3 在四棱锥 P A B C D中 底面A B C D是正方形 侧棱P D j 底面 A B C D P D D C 求二面角C P B D的大小 解析 求二面角的大小 应根 据二面角的定义 运用三垂线定 理及其逆定理作其平面角 最后 在直角三角形中求其平面角的大 小即可获解 亦可运用向量知识去解 其 依据是 设n n 分别是两个半平 面的法向量 则其二面角 锐角 满足c o s 0 l C O S l 2 I 图 3 解 建立如图3 所示的空间直角坐标系 设DC 维普资讯 数 学教 学通 讯 2 O O 5 年6 月 下 半月 总 第2 3 5 期 重庆 5 3 2 则D 0 0 O B 2 2 O C o 2 O 尸 O o 2 一 2 o o 2 一 2 2 设 n t 一 z y 为平面P B C的法向量 则 f l一 一 2 z o I 百 声 l 一2 z 一2 2 一0 取2 1 则 z 0 Y 1 n 1 O 1 1 又n 2 A C一 一2 2 O 是平面P B D的法向量 o s n l n 2 一 一 由题意知所求二面角为锐角 故 二面角C 一尸 B D的大小为6 O 考点 4 考查空间线线位 关系判断 例 4 2 0 0 4 年河南高考题 已知 d b 为不垂直的 异面直线 是一个平面 则n b 在 上的射影有可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点 在上面结论中 正确结论的 编号是 写出所有正确结 论的编号 图4 G C 解析 确定空间线与线的位 置关系时 一要掌握好基础知识 二是作出合乎条件的 图形 帮助我们直观地观察或构造出一个反例 以否定 一 些选项 三能运用平行 垂直的有关定理去论证 解 如图 4 构造正方体 A B C D E F G H 将底面 A日 C D视为平面口 则 B E与G H 在平面 内的射影是两条平行直线 B E与A H在平面 内的射影是两条垂直直线 若 A B为直线d b 在 上的射影 则 d b 必在平 面A F内 这与d b 异面矛盾 故 假 B E与C G在平面 内的射影是一条直线及其外 一 点 故正确结论的编号是 考点5 考查空间线面位 关系判断 例 5 2 0 0 3 年天津高考题 下列五个正方体图形 中 是正方体的一条对角线 点 M 尸分别为其所在 棱的中点 能得出 上面M 尸的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 解析 如图5 确定线面位置关系是高考的常考点 常结合直观的图形和运用三垂线定理及其逆定理 线 每 图 5 面 面面平行 垂直的有关定理去推证 解 对于 由三垂线定理知 l LMN l LMP 丽 z L 面 MNP 图 的平面M 尸与图 中的平面 彳 尸不 平行 图 中的平面 彳 N尸与图 中的平面 彳 N尸 平行 由线面垂直的判定定理知 与图 中的平面 彳 N尸分别垂直 故填 考点 6 考查点到平面距离的求法 例 6 2 0 0 4 年江苏高考题 在棱长为 4的正方体 A B C D A l B 1 C 1 D1 中 点 尸在棱 C C l 上 且 C C1 4 C P 求点尸到平面A B D 的距离 解析 求点到平面距离 一是可根据其定义过该点 作平面的垂线段 然后在直角三角形中求其长度 二是 构造棱锥 运用等积原理将其转化为求锥体的高 三是 建立空间直角坐标系 运用点 z o y o o 到平面m z g 一 0 的 距 离 d 一 旦 二 卜 十一 m 公式可简捷求解 解 建立如图 6 所示的空间 直角 坐标 系 D z 设 平 面 A B D 的方程为 mx n y p z q 0 把 A 4 0 O B 4 4 0 D1 O 0 4 代人得 r 4 m q一 0 4 m 4 n q 0 L 4 p q 0 取q一一4 则 一户 1 0 平面A B D 的方程为 z 一4 故 P O 4 1 到平面A B D t 的距离为 图 6 维普资讯 5 4 重庆 数学教学通讯 2 0 0 5 年 6 月 下半月 总第 2 3 5 期 l 0 0 1 4 l 3 2 l 0 l 考点 7 考查直线与平面距离的求法 例 7 2 0 0 4年辽 宁高考 题 如 图 7 四棱柱 B C D B C D 的底面A B C D为正方形 侧棱与底 面边长均为 2 d 且 AD AA A B一 6 0 则侧棱 AA 和截面B D D B的距离是 解析 求直线与平面的 距离 常将其转化为直线上 的任一点到平面 的距离去 求 解 设 o o 分别为四棱 柱上 下底面对角线的交点 作 Hj 平面A B C D于H 则 由 1 D AA A B一 6 O 知H必在A C上 图 7 B D j a C BD j H 且 BD c 面 B D DB 面 i C C j 面 B1 D DB 作 K j O 01 于K 则 1 Kj 面B 1 D D B 即 1 K 的长度就是侧棱 AA 和截面B D D B的距离 C O S AA1 AC C O S AA1 B C O S CAB C O S 6 0 c o s 4 5 A1 A C一4 5 在 R t A 1 K o 1 中 1O1 一 2 d AA1 Ol K AA1 AC一 4 5 故 1 K A 1 O 1 s i n 4 5 d为所求 考点8 考查立几探索性问题 例 8 1 9 9 8 年全国高考题 如图 8 在直四棱柱 l B C D 一A8 c D中 当底面四边形 A B C D满足条件 时 有 C j B 1 D 解析 求解此类问题时 应运 用分析法去寻求结论成立的充分 条件 直到符合题设要求为止 以 选择恰当的条件予以补充 使原 命题成立 解 欲 证 B D j C 而 B D B D 即证 B D j c 而 l4 上 面A B C D 由三垂线定理 的逆定理可知B D j A C 图 8 上面推导每步均可逆 故满足A C上B D时 有 c j B D 而A B C D是正方形或菱形均能推导出 c j B D 故亦可满足题设条件 近几年高考直线与平面基础试题常以客观题的形 式出现 难度低 源于课本的改编题多 重视对空间线 面位置关系及其距离和角等知识的考查 只要我们立 足课本 夯实基础 掌握线面关系及其距离和角的有关 概念 运用 空间向量 工具 三角知识和化归转化思想 方法 就能适应高考的要求 高考立体几何试题集粹 1 2 0 0 4 年辽宁高考题 已知 是不同的两个平 面 直线 a c 直线 b c 命题P a 与 b 无公共点 命 题q 则P是q的 A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 2 2 0 0 2 年 天 津 高 考 题 正 六 棱 柱 B c D E F B c D E F 的底面边长为 l 侧棱长为 2 则这个棱柱的侧面对角线 E D与B C 所成的角 是 A 9 0 B 6 0 C 4 5 D 3 0 3 2 0 0 4年甘肃高考题 对于直线 m 和平面 下面命题中的真命题是 A 如果 c n m 是异面直线 那么 口 B 如果 c 是异面直线 那么 与 相交 c 如果m c n 共面 那么m D 如果 7 7 l 共面 那么 4 2 0 0 4 年天津高考题 如 图 定点 和B都在平面 内 定 点P P B j C是 内异于 和B的动点 且 P C j A C 那 么 动点 C在平面 内的轨迹是 A 一条线段 但要去掉两 个点 P 第 4题 B 一个圆 但要去掉两个点 C 一个椭圆 但要去掉两个点 D 半圆 但要去掉两个点 5 2 O O 3年 广 东 高 考 题 已 知 正 四 棱 柱 B c D 1 B l c 1 D A B 1 1 2 点 E为 C C 1 中 点 则点 D 到平面B D E的距离为 6 1 9 9 9 年全国高考题 是两个不同的平面 m 是平面 及 之外的两条不同直线 给出四个论断 维普资讯 数学教学通讯 2 O O 5 年 6 月 下半月 总第 2 3 5 期 重庆 5 5 m上 a 上 卢 n上卢 上a 以其中三个论断作为条件 余下 个论断作为结 论 写出你认为正确的一个命题 7 2 0 0 2年 天津 高 考 题 如 图 正 三 棱 柱 A B C A B C 的底面边长为n 侧棱长为 2 口 建立适当的坐标系 并写出点 B C 的坐 标 求 A C 与侧面A B B 所成的角 第 7 题 第 8 题 C 8 2 O 0 4年辽 宁高考题 如图 已知 四棱锥 P A8 C D 底面A B C D是菱形 D A B 6 0 P D上 平面A B C D P D A D 点E为A B中点 点F为P D中 点 证明平面P E D上平面P A B 求二面角P 一以 F的平面角的余弦值 9 2 0 0 4 年河南高考题 如 图 已知 四棱锥 P A B C D P B 上A D侧面P A D为边长等于2 的 正三角形 底面 A B C D为菱形 侧面P A D与底面A B C D所成的 二面角为 1 2 0 求点 P到平面 A B C D的 距离 第 9 题 求面A P B与面C P B所成二面角的大小 答案或提 示 1 4 B B C B 5 3 6 若a 上卢 n上卢 m上n 则 上 1 提示 5 建立如图所示的空 间直角坐标 系D z z 设 过 曰 D E 的 平 面 方 程 为 m z n y p z q 0 第 5 题 把 D O 0 O B 1 1 0 E 0 1 1 代入可得 m 一 户 一 一 r I q 0 平 面 BDE 的 方程 为 z 一 0 故 D1 O 0 2 到平 面 BDE 的距 离为 1 1 1 2一 一 0 6 可创设出四个命题 甲 乙 丙 丁 根据要求 探索出一个正确命题即可 其中甲 丁 为假命题 故只需填写乙或丙 7 以点A为坐标原点0 分另 q 以A B A A i 所在 直线为 z轴 以经过原点且与面ABBt At 垂直的直线 为z轴 建立空间直角坐标系 由 题设得A O 0 o B O 口 o A 1 o 0 口 c 一 孚 号 设 A B中点为M 则M O a 口 连结 AM MC 则 丽 一 o o a g一 o 口 o o o 口 由 一o 而 o 得 MC1 上 面 A BBI A1 MA C I 就是A C t 与面A B B l Al 所成的角 由 一 一 号 n 得 I f 由 劢一 o 号 V n 得 f 警 又 万 一 o 筹 2n 一 等 毒 故A C l 与侧面A B B l A 0 所成角为3 O 8 证明 连接B D A B A D D A B 6 0 AD B为等边三角形 叉E是 B中点 AB上 DE PD I面 AB C D AB 二面 AB C D A B上 P D A B上 平面 P E D 叉 ABc 面 PAB 平面 P ED上 平面 P AB 解 A B上 平面P E D P E c 面P E D AB上 PE 连接 E F EF c 面 PE D AB上 EF PE F为二面角P 一F的平面角 维普资讯 5 6 重 庆 数 学教 学通 讯 2 O 0 5 年6 月 下半月 总 第2 3 5 期 窗 盆 见徊 田 武题臼 0 四川省渠县中学 6 3 5 2 0 0 郑兴明 数学科 考试大纲 要求考生 了解棱柱 棱锥 正棱锥的概念 掌握其性质及 其应用 了解正多面体的概念和欧拉公式 了解球的概念 掌握球的性质和球的表面积 体 积公式 下面介绍高考此节内容的考点及其解析 考点 1 考查棱柱概念性质应用 例 1 2 0 0 4 年四川高考题 下面是关于四棱柱的 四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四 棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该 四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四 棱柱为直四 棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱 为直四棱柱 其中 真命题的编号是 写出所有正确结论 设A D 2 则尸 F F D 1 D E一 广 了 在 APEF中 P R一 EF一 2 PF 1 C O S 尸 E F 了 z 2 2 1 5 了 2 2 1 4 故所求二面角的平面角的余弦值为 9 如图 作P O上平面A B C D 垂足为点0 连结 OA OB 0D 设 0B与 AD交于点 E 连结 P E A D 上 尸 B A D 上 O B 尸A 一尸D O A 0D 于是