【培优练习】《矩形的性质与判定》（数学北师大九上） (2).docx

矩形的性质培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角相等2如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=8，点E为BC的中点，连接AE，EF是AEC的平分线，交AD于点F，则FD=（）A3B4C5D63如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OMAB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A5B4C342D34二填空题（共3小题）4如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果ADB=40，则E= 5如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E若AD=6，则点E到AB的距离是 6如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把BAE沿BE折叠，点A落在A处，如果A恰在矩形的对称轴上，则AE的长为 三解答题（共4小题）7如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长8如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DEAC，CEBD，DE、CE相交于点E求证：（1）四边形OCED是菱形（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积9如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积10如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等故选：B2【解答】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC=8，ADBC，AFE=FEC，EF平分AEC，AEF=FEC，AFE=AEF，AE=AF，E为BC中点，BC=8，BE=4，在RtABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：AE=5，AF=AE=5，DF=ADAF=85=3，故选：A3【解答】解：四边形ABCD是矩形，D=90，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OMAB，OM是ADC的中位线，OM=3，DC=6，AD=BC=10，AC=AD2+CD2=234，BO=12AC=34，故选：D二填空题（共3小题）4【解答】解：如图连接AC四边形ABCD是矩形，AC=BD，EC=BD，AC=CE，E=CAE，易证ACB=ADB=40，ACB=E+CAE，E=CAE=20，故答案为205【解答】解：连接EO，延长EO交AB于HDEOC，CEOD，四边形ODEC是平行四边形，四边形ABCD是矩形，OD=OC，四边形ODEC是菱形，OECD，ABCD，ADCD，EHAB，ADOE，OADE，四边形ADEO是平行四边形，AD=OE=6，OHAD，OB=OD，BH=AH，OH=12AD=3，EH=OH+OE=3+6=9，故答案为96【解答】解：分两种情况：如图1，过A作MNCD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，AM=BN=12AD=1，ABE沿BE折叠得到ABE，AE=AE，AB=AB=1，AN=AB2-BN2=0，即A与N重合，AM=1，AE2=EM2+AM2，AE2=（1AE）2+12，解得：AE=1，AE=1；如图2，过A作PQAD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，PQAB，AP=PB，ADPQBC，AB=2PB，PAB=30，ABC=30，EBA=30，AE=AE=ABtan30=133=33；综上所述：AE的长为1或33；故答案为：1或33三解答题（共4小题）7【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中，OBE=ODFOB=ODBOE=DOF，BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=133，BD=AD2+AB2=213，OB=12BD=13，BDEF，EO=BE2-OB2=2133，EF=2EO=41338【解答】解：（1）证明：DEOC，CEOD，四边形OCED是平行四边形OC=DE，OD=CE四边形ABCD是矩形，AO=OC=BO=ODCE=OC=BO=DE四边形OCED是菱形；（2）如图，连接OE在RtADC中，AD=4，CD=3由勾股定理得，AC=5OC=2.5C菱形OCED=4OC=42.5=10，在菱形OCED中，OECD，又OECD，OEADDEAC，OEAD，四边形AOED是平行四边形，OE=AD=4S菱形OCED=12CDOE=1234=69【解答】（1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD，FNC=D=90，AME=B=90，ANF=90，CME=90，四边形ABCD为矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，&FAN=ECM&AN=CM&ANF=CME，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四边形AECF是平行四边形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，设CE=x，则EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四边形AECF的面积为：ECAB=56=3010【解答】解：（1）由折叠性质得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN=NAB，四边形ABCD是矩形，DAB=90，DAM=30，DM=ADtanDAM=3tan30=333=3；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折叠性质得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，ANM=90，ANQ=90，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=32+x2，解得：x=4，NQ=4，AQ=5，AB=4，AQ=5，SNAB=45SNAQ=4512ANNQ=451234=245；（3）过点A作AHBF于点H，如图2所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，HBA=BFC，AHB=BCF=90，ABHBFC，BHAH=CFBC，AHAN=3，AB=4，可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF最大，此时B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，AD=BC，AH=BC，在ABH和BFC中，&HBA=BFC&AHB=BCF&AH=BC，ABHBFC（AAS），CF=BH，由勾股定理得：BH=AB2-AH2=42-32=7，CF=7，DF的最大值=DCCF=47矩形的性质 培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A若ADBC，则四边形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形2若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（）A菱形B对角线相互垂直的四边形C正方形D对角线相等的四边形3四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）AAB=CD，ABCD，BAD=90BAO=CO，BO=DO，AC=BDCBAD=ABC=90，BCD+ADC=180DBAD=BCD，ABC=ADC=90二填空题（共3小题）4如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是 （写一个即可）5在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 AB=CD；ABCD；OA=OC；OB=OD；AC=BD；ABC=90这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如四边形ABCD是矩形请再写出符合要求的两个： ； 6工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是 三解答题（共4小题）7如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论8如图，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F（1）求证：ABECDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形9如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）ABFDCE；（2）四边形ABCD是矩形10如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，AEC=90求证：四边形AECF为矩形参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D2【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG；四边形EFGH是矩形，即EFFG，ACBD；故选B3【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确B、矩形的对角线平分且相等，故B正确C、BCD+ADC=180，但BCD不一定与ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确D、因为BAD=BCD，故ABCD，又因为，ABC=ADC=90，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确故选：C二填空题（共3小题）4【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC=BD5【解答】解：或，理由是：AB=CD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，ABC=90，平行四边形ABCD是矩形OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形，ABC=90，平行四边形ABCD是矩形，故答案为：，6【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，DAB=ABC=BCD=ADC=90（对角线相等的平行四边形是矩形），故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形三解答题（共4小题）7【解答】证明：（1）AFBC，AFE=DCE，E是AD的中点，AE=DE，&AFE=DCE&AE=DE&AEF=DEC，AEFDEC（AAS），AF=DC，AF=BD，BD=CD；（2）四边形AFBD是矩形理由：AB=AC，D是BC的中点，ADBC，ADB=90AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AFBC，四边形AFBD是平行四边形，又ADB=90，四边形AFBD是矩形8【解答】证明：（1）ABD的平分线BE交AD于点E，ABE=12ABD，CDB的平分线DF交BC于点F，CDF=12CDB，在平行四边形ABCD中，ABCD，ABD=CDB，CDF=ABE，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，A=C，即&A=C&AB=DC&ABE=CDF，ABECDF（ASA）；（2）ABECDF，AE=CF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，DEBF，DE=BF，四边形DFBE是平行四边形，AB=DB，BE平分ABD，BEAD，即DEB=90平行四边形DFBE是矩形9【解答】证明：（1）BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，BF=CE四边形ABCD是平行四边形，AB=DC在ABF和DCE中，&AB=DC&BF=CE&AF=DE，ABFDCE（SSS）（2）ABFDCE，B=C四边形ABCD是平行四边形，ABCDB+C=180B=C=90四边形ABCD是矩形10【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=ODBE=DF，OE=OFOA=OC，AECF是平行四边形；AEC=90，四边形AECF为矩形矩形的性质与判定培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1下列命题错误的是（）A平行四边形的对边相等B两组对边分别相等的四边形是平行四边形C对角线相等的四边形是矩形D矩形的对角线相等2下列关于矩形的说法中正确的是（）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分3如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A3B22C10D4二填空题（共3小题）4如图，在RtABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值是 5如图ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，已知A=30，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 6如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 三解答题（共4小题）7平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积8如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）当t为何值时，四边形QPBC为矩形？9如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形10如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C2【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选：B3【解答】解：四边形COED是矩形，CE=OD，点D的坐标是（1，3），OD=12+32=10，CE=10，故选：C二填空题（共3小题）4【解答】解：PEAB，PFAC，BAC=90，EAF=AEP=AFP=90，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EF=AP，EF，AP的交点就是M点，当AP的值最小时，AM的值就最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小12APBC=12ABAC，APBC=ABAC，在RtABC中，由勾股定理，得BC=62+82=10，AB=6，AC=8，10AP=68，AP=245AM=125，故答案为：1255【解答】解：AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，DF为三角形ABC的中位线，DEBC，DF=12BC，又ADF=90，C=ADF=90，又BEDE，DEAC，CDE=E=90，四边形BCDE为矩形，BC=2，DF=12BC=1，在RtADF中，A=30，DF=1，tan30=DFAD，即AD=3，CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CDBC=23故答案为：236【解答】解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，A1D1是ABD的中位线A1D1BD，A1D1=12BD，同理：B1C1BD，B1C1=12BDA1D1B1C1，A1D1=B1C1，四边形A1B1C1D1是平行四边形ACBD，ACA1B1，BDA1D1，A1B1A1D1即B1A1D1=90四边形A1B1C1D1是矩形；由三角形的中位线的性质知，B1C1=12BD=3，B1A1=12AC=2，得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；四边形A3B3C3D3的面积=32由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为：12(12)n三解答题（共4小题）7【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，DFBE，CF=AE，DF=BE，四边形BFDE是平行四边形，DEAB，DEB=90，四边形BFDE是矩形（2）ABCD，B