高中数学第二章平面上的柯西不等式的代数和向量形式导学案新人教B版.docx

2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.自学导引1.若a1，a2，b1，b2R，则(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，等号成立a1b2a2b1.2.设，为平面上的两个向量，则|，等号成立与共线(0)；|，等号成立的条件为，0或与同向或(0).3.设a1，a2，b1，b2为实数，则，等号成立存在非负实数及，使得a1b1，a2b2.4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则，其几何意义为：|AB|BC|AC|.5.设，为平面向量，则|，等号成立的充要条件为()_(0).基础自测1.已知a，bR*且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()A.PQ B.PQ解析P(axby)2(x)(y)2(ax2by2)(ab)ax2by2QPQ，选A.答案A2.下列说法：二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.柯西不等式的向量式中取等号的条件是.柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.其中正确的个数有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析由柯西不等式的概念知，只正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.答案A3.设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_.解析运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x22y26，求证：2xy.证明由于2xy(x)(y).由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2(3x22y2)6611，|2xy|，2xy.反思感悟：柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2 |a1b1a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知a，b，c，dR，x0，y0，且x2a2b2，y2c2d2，求证：xyacbd. 证明由柯西不等式知：acbdxy.xyacbd.【例2】 (二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2R，用代数的方法证明 .证明()2xy2 xyxy2|x1x2y1y2|xyxy2(x1x2y1y2)xyx2x1x2xy2y1y2y(x1x2)2(y1y2)2 反思感悟：在平面中设(x1，y1)，(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由向量加法的三角形法则知：|，由向量减法的几何意义知：|.2.利用柯西不等式证明：.证明(a2b2).知识点2利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y5的最大值.解函数的定义域为x|1x5.y526当且仅当5即x时取等号，故函数的最大值为6.反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知xy1，求2x23y2的最小值.解2x23y2(x)2(y)2(xy)2.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2当且仅当a1b2a2b1时等号成立.2.推论：(1)(ab)(cd)()2；(2)|a1b1a2b2|；(3)|a1b1|a2b2|.3.柯西不等式的向量形式|.当且仅当存在实数0，使时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)(或 )；(2) .随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).当且仅当时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式.解有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为 定理4为 .3.已知a2b2c21，x2y2z21.求证：axbycz1.证明由柯西不等式得：(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2a2b2c21，x2y2z21，|axbycz|1.axbycz1.基础达标1.函数y的最小值是()A.20 B.25C.27 D.18解析y2x(12x)()2()2(23)225.答案B2.若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A.2，2 B.2，2C.， D.，解析(a2b2)12(1)2(ab)2|ab|2，ab2，2.答案A3.已知4x25y21，则2xy的最大值是()A. B.1C.3 D.9解析2xy2x1y1 .2xy的最大值为.答案A4.设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值是_.解析(abc)()2()2()2( )2( )2( )218.2.答案25.若a2b2c22，x2y2z24，则axbycz的取值范围是_.解析(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，(axbycz)28，2axbycz2.答案2，2 6.已知a2b21，a，bR，求证：|acos bsin |1.证明(acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)111，|acos bsin |1.综合提高7.已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A.4 B.2C.1 D.解析(1)224.答案A8.设a、bR，且ab，P，Qab，则()A.PQ B.PQC.P0，b0，ab0.(ab)又ab，而等号成立的条件是即ab，ab.即PQ.答案A9.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q，则P与Q的大小_.解析由柯西不等式，得PQ.答案PQ10.函数y2的最大值为_.解析y213.当且仅当1取等号.即22x4x2，x0时取等号.答案311.若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值点.解由柯西不等式(4x29y2)(1212)