湖南省衡阳市衡阳县高三数学4月模拟试卷 文（含解析）.doc

2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合a=x|2x5，集合b=1，0，1，3，则ab等于（）a0，1b1，0，1c0，1，3d1，0，1，32若复数z=+a的实部为2，则复数z的虚部是（）aib3c1d23某学校采用系统抽样方法，从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检査现将800名学生从1到800进行编号已知从3348这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 116中随机抽到的数是（）a5b7c11d134已知，则cosx等于（）abcd5我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若 金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）a6斤b9斤c9.5斤d12斤6已知函数f（x）=，则“x2x20”是“f（x）3”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为a，且直线af与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）ab3c2d8如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）a3b4c5d69如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）a4b4c4d810已知函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调且最大值不大于，则的取值范围是（）a0，b，c（，0d，011已知四棱锥pabcd的顶点都在半径为r的球面上，底面abcd是正方形，且底面abcd经过球心o，e是ab的中点，pe底面abcd，则该四棱锥pabcd的体积等于（）a r3b r3c r3d r312已知函数f（x）是奇函数，当x0，f（x）=x2+x，若不等式f（x）x2logax（a0且a1）对x（0，恒成立，则实数a的取值范围是（）a（0，b，1）c（0，d，（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13如果实数x，y满足条件，则z=x2y的最小值为14各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若a3=2，s4=5s2，则s4=15已知函数f（x）=x3（1+）x2+2bx在区间（3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是16已知焦点f为抛物线y2=2px（p0）上有一点，以a为圆心，af为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟)17设abc内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且（1）若，求abc的面积；（2）若，且cb，bc边的中点为d，求ad的长18为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品已知甲厂该天生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率19如图所示，在直角梯形abcd中，abcd，bcd=90，bc=cd=2，af=bf，ecfd，fd底面abcd，m是ab的中点（1）求证：平面cfm平面bdf；（2）点n在ce上，ec=2，fd=3，当cn为何值时，mn平面bef20已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，椭圆c过点，且mf1f2为正三角形（1）求椭圆c的方程；（2）垂直于x轴的直线与椭圆c交于a、b两点，过点p（4，0）的直线pb交椭圆c于另一点e，证明：直线ae与x轴相交于定点21设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，cr，c0）且x=1为f（x）的极值点（1）若在曲线以g（c）=f（x）x2上点（1，g（1）处的切线过点（2，0），求b，c的值；（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，已知pa是o的切线，a是切点，直线po交o于b、c两点，d是oc的中点，连结ad并延长交o于点e，若pa=2，apb=30（1）求abo的大小；（2）求ad的长选修4_4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点a的坐标为（23sin，3cos2），其中r在极坐标系（以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线c的方程为cos（）=a（）判断动点a的轨迹的形状；（）若直线c与动点a的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值选修4_5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+2|+|x2|，xr，不等式f（x）6的解集为m（1）求m；（2）当a，bm时，证明：3|a+b|ab+9|2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合a=x|2x5，集合b=1，0，1，3，则ab等于（）a0，1b1，0，1c0，1，3d1，0，1，3【考点】交集及其运算【分析】先求出关于集合a的不等式，再求出其和b的交集即可【解答】解：集合a=x|2x5=x|x，集合b=1，0，1，3，则ab=1，0，1，故选：b2若复数z=+a的实部为2，则复数z的虚部是（）aib3c1d2【考点】复数代数形式的混合运算【分析】由条件利用两个复数代数形式的运算法则求得a的值，再利用复数的基本概念求得它的虚部【解答】解：复数z=+a=a+3ai的实部为2，a+3=2，a=1，复数z的虚部是a=1，故选：c3某学校采用系统抽样方法，从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检査现将800名学生从1到800进行编号已知从3348这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 116中随机抽到的数是（）a5b7c11d13【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，进行求解即可【解答】解：从该校髙一年级全体800名学生中抽50名学生，则样本 间隔为80050=16，则3348这16个数中抽到的数是39，则在第1小组 116中随机抽到的数3932=7，故选：b4已知，则cosx等于（）abcd【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值【解答】解：，sin（x+）=sin（x）=cosx=，cosx=故选：b5我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若 金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）a6斤b9斤c9.5斤d12斤【考点】等差数列的通项公式【分析】此问题是一个等差数列an，设首项为2，则a5=4，可得中间3尺的重量为3a3=3【解答】解：此问题是一个等差数列an，设首项为2，则a5=4，中间3尺的重量为3a3=3=9斤故选：b6已知函数f（x）=，则“x2x20”是“f（x）3”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由x2x20，解得x2或x1由f（x）3，对x分类讨论，分别解出，即可判断出结论【解答】解：由x2x20，解得x2或x1由f（x）3，x0时， +13，解得x4；同理可得x0时，x1x4或x1“x2x20”是“f（x）3”的必要不充分条件故选：b7已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为a，且直线af与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）ab3c2d【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得f（c，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得a（a，b），求得直线af的斜率，由对称思想可得直线af的斜率和渐近线的斜率互为相反数再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得f（c，0），双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，令x=a，可得a（a，b），可得直线af的方程为y=（xc），由于直线y=b经过a，且斜率为0，由对称性可得直线af的斜率和渐近线的斜率互为相反数即有=，即为a=ca，可得c=2a，离心率e=2故选：c8如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）a3b4c5d6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=23，i=5时满足条件235m，退出循环，输出i的值为5，由此可得m，结合选项即可得解实数m的值【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，i=1，执行循环体后，s=2，i=2不满足条件22m，再次执行循环体后，s=6，i=3不满足条件63m，再次执行循环体后，s=13，i=4不满足条件134m，再次执行循环体后，s=23，i=5由题意，此时满足条件235m，退出循环，输出i的值为5，则m，实数m的值可以是4故选：b9如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）a4b4c4d8【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然spcdsabc由三视图特征可知pa平面abc，db平面abc，abac，pa=ab=ac=4，db=2，bc=4，sabc=8，spac=8，sbcd=4s梯形pabd=12bcd的面积最小故选b10已知函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调且最大值不大于，则的取值范围是（）a0，b，c（，0d，0【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的单调性和最值，求得的取值范围【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调，且最大值不大大于，2+且2（）+，求得0，故选：d11已知四棱锥pabcd的顶点都在半径为r的球面上，底面abcd是正方形，且底面abcd经过球心o，e是ab的中点，pe底面abcd，则该四棱锥pabcd的体积等于（）a r3b r3c r3d r3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出pe，sabcd，即可求出四棱锥pabcd的体积【解答】解：连接op、oe，则op=r，oe=rpe=rsabcd=2r2vpabcd=故选：d12已知函数f（x）是奇函数，当x0，f（x）=x2+x，若不等式f（x）x2logax（a0且a1）对x（0，恒成立，则实数a的取值范围是（）a（0，b，1）c（0，d，（1，+）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质【分析】先求出f（x）在x0的解析式，不等式f（x）x2logax（a0，a1）对x（0，恒成立，转化为logaloga，分类讨论即可【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x0，f（x）=x2+xf（x）=f（x），设x0，则x0，f（x）=x2x，f（x）=x2+x，不等式f（x）x2logax（a0，a1）对x（0，恒成立，x2+xx2logax（a0，a1）对x（0，恒成立，x2logax2，（）2loga（）2，loga=loga，当a1时，解得a，此时无解，当0a1时，解得a，此时a1，综上所述a的取值范围为，1）故选：b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13如果实数x，y满足条件，则z=x2y的最小值为3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：由z=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分abc）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点a时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即a（1，2）代入目标函数z=x2y，得z=122=3目标函数z=x2y的最小值是3故答案为：314各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若a3=2，s4=5s2，则s4=【考点】等比数列的前n项和【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组可得首项和第二项可得s2，代入已知式子计算可得【解答】解：由题意可得公比q1，由a3=2，s4=5s2可得a1q2=2，s4=5s2=，联立解得q=2或q=2（舍去），a1=，a2=1，s4=5s2=5（+1）=，故答案为：15已知函数f（x）=x3（1+）x2+2bx在区间（3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（，3【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=x2（2+b）x+2b，函数f（x）=x3（1+）x2+2bx在区间（3，1）上是减函数，f（x）=x2（2+b）x+2b0，恒成立，即（xb）（x2）0恒成立，3x1，b3，故答案为：（，316已知焦点f为抛物线y2=2px（p0）上有一点，以a为圆心，af为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=2【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线定义可得：|af|=m+根据以a为圆心，af为半径的圆被y轴截得的弦长为，可得=又，联立解出即可得出【解答】解：由抛物线定义可得：|af|=m+，以a为圆心，af为半径的圆被y轴截得的弦长为，=又，联立解得p=2，m=2故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟)17设abc内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且（1）若，求abc的面积；（2）若，且cb，bc边的中点为d，求ad的长【考点】正弦定理【分析】（1）由题意和正弦定理以及同角三角函数基本关系可得tanb，可得b值，再由正弦定理整体可得ac的值，代入三角形的面积公式计算可得；（2）由余弦定理可得c值，在abd中由余弦定理可得【解答】解：（1）在abc中，由正弦定理可得sinccosb=sinbsinc，约掉sinc可得cosb=sinb，tanb=，b=，又，a2c=4a，ac=4，abc的面积s=acsinb=；（2），由余弦定理可得7=12+c222c，解关于c的方程可得c=5，或c=1（不满足cb，舍去）bc边的中点为d，在abd中由余弦定理可得：ad2=（）2+5225=13，开方可得ad的长为18为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品已知甲厂该天生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）利用频率=，能求出乙厂该天生产的产品总数（2）由频率=，能求出样品中优等品的概率和乙厂该天生产的优等品的数量（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求出基本事件总数，乙厂的5件产品中优等品有两件，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率【解答】解：（1）乙厂该天生产的产品总数为：5=35（2）样品中优等品的概率为，乙厂该天生产的优等品的数量为35=14（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，基本事件总数n=，当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，乙厂的5件产品中优等品有两件，抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率：p=1=19如图所示，在直角梯形abcd中，abcd，bcd=90，bc=cd=2，af=bf，ecfd，fd底面abcd，m是ab的中点（1）求证：平面cfm平面bdf；（2）点n在ce上，ec=2，fd=3，当cn为何值时，mn平面bef【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出四边形bcdm是正方形，从而bdcm，又dfcm，由此能证明cm平面bdf（2）过n作noef，交ef于o，连结mo，则四边形efon是平行四边形，连结oe，则四边形bmon是平行四边形，由此能推导出n是ce的中点时，mn平面bef【解答】证明：（1）fd底面abcd，fdad，fdbd，af=bf，adfbdf，ad=bd，连接dm，则dmab，abcd，bcd=90，四边形bcdm是正方形，bdcm，dfcm，cm平面bdf解：（2）当cn=1，即n是ce的中点时，mn平面bef证明如下：过n作noef，交ef于o，连结mo，ecfd，四边形efon是平行四边形，ec=2，fd=3，of=1，od=2，连结oe，则oedcmb，且oe=dc=mb，四边形bmon是平行四边形，则ombe，又omon=o，平面omn平面bef，mn平面omn，mn平面bef20已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，椭圆c过点，且mf1f2为正三角形（1）求椭圆c的方程；（2）垂直于x轴的直线与椭圆c交于a、b两点，过点p（4，0）的直线pb交椭圆c于另一点e，证明：直线ae与x轴相交于定点【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得b=，运用正三角形的性质可得c=btan30=1，求得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设直线pb的方程为y=k（x4）联立，设点b（x1，y1），e（x2，y2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标【解答】解：（1）椭圆c过点，可得b=，mf1f2为正三角形，可得c=btan30=1，a=2，即有椭圆c的方程为+=1；（2）由题意知直线pb的斜率存在，设直线pb的方程为y=k（x4），联立，得（4k2+3）x232k2x+64k212=0设点b（x1，y1），e（x2，y2），则a（x1，y1），直线ae的方程为yy2=（xx2），令y=0，得x=x2，再将y1=k（x14），y2=k（x24）代入整理得x=由得x1+x2=，x1x2=，代入整理得x=1，所以直线ae与x轴相交于定点（1，0）21设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，cr，c0）且x=1为f（x）的极值点（1）若在曲线以g（c）=f（x）x2上点（1，g（1）处的切线过点（2，0），求b，c的值；（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，根据g（1），g（1），得到关于b，c的方程组，求出b，c的值即可；（2）通过讨论c的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，从而求出c的范围即可【解答】解：f（x）=，又f（1）=0，即b+c+1=0，f（x）=，且c1，（1）g（x）=clnx+bx，g（x）=+b，则g（1）=b+c，g（1）=b，=b+c，又b+c+1=0，b=1，c=2；（2）若c0，则f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，f（x）=0恰有两个解，则f（1）0，即+b0，c0，若0c1，则f（x）极大值=f（c）=clnc+c2+bc，f（x）极小值=f（1）=+b，b=1c，则则f（x）极大值=clnc+c2+c（1c）=clncc0，f（x）极小值=c，从而f（x）=0只有一解，若c1，则，f（x）极小值=clnc+c2+c（1c）=clncc0，f（x）极大值=c，从而f（x）=0只有一解，综上，使得f（x）=0恰有2个解的c的范围是（，0）选修4-1：几何证明选讲22如图，已知pa是o的切线，a是切点，直线po交o于b、c两点，d是oc的中点，连结ad并延长交o于点e，若pa=2，apb=30（1）求abo的大小；（2）求ad的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接ab，求出aob=60，即可求abo的大小；（2）过a作ahbc于h，求出hd，即可求ad的长【解答】解：（1）连接ab，则apb=30，pa是o的切线，a是切点，aob=60，oa=o