高中数学 5.2证明不等式的基本方法配套课件 北师大版选修4.ppt

第二节证明不等式的基本方法 三年3考高考指数 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 几何法 反证法 放缩法等 1 利用综合法 分析法证明不等式是高考的热点 且常与函数 三角 平均值不等式联系在一起综合考查 2 在高考中 多以中高档题为主 特别是以一次函数 二次函数 指数函数 对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法 有求差比较法和求商比较法两种 1 求差比较法的理论依据是a b a0 1 b1 a b 0 a b 0 a b 0 a b a b 即时应用 1 思考 求差比较法和求商比较法主要适合的类型是什么 提示 求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明 求商比较法主要适用于积 商 幂 对数 根式形式的不等式的证明 2 已知a b 1 则与的大小关系是 解析 a b 1 a 1 b 1 0 答案 2 综合法与分析法 1 综合法一般地 从已知条件出发 利用不等式的性质 或已证明过的不等式 推出所要证明的结论 这种证明不等式的方法称为综合法 综合法又叫 2 分析法证明命题时 从所要证明的结论入手向已知条件反推 直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 这是一种 的证明方法 由因寻果法 执果索因 即时应用 1 思考 用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系 提示 综合法 ab1b2 bnb 逐步推演不等式成立的必要条件 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法 bb1b2 bna 步步寻求不等式成立的充分条件 总之 综合法与分析法是对立统一的两种方法 2 已知等比数列 an 的各项均为正数 且公比q 1 若则p与q的大小关系为 解析 由等比数列的性质 a2a9 a4a7 由已知a2 0 a9 0 a2 a9 答案 p q 比较法的应用 方法点睛 1 求差比较法 1 求差比较法的一般步骤是 作差 变形 判断符号 得出结论 其中 变形整理是关键 变形的目的是为了判断差的符号 常用的变形方法有 因式分解 配方 通分 拆项 添项等 2 若所证不等式的两边是整式或分式多项式时 常用作差比较法 2 求商比较法 1 求商比较法的一般步骤是 作商 变形 判断与1的大小关系 得出结论 2 利用求商比较法时 要注意分母的符号 提醒 当不等式的两边为对数式时 可用求商比较法证明 另外 要比较的两个解析式均为正值 且不宜用求差比较法时 也常用求商比较法 例1 1 已知a b r 且a b 1 则下列两个数的大小关系为 a 2 2 b 2 2 2 当a b 0 时 下列两式的大小关系为aabb 解题指南 1 利用消元 可考虑作差比较大小 2 为两个幂指数型的代数式比较大小 可考虑采用求商比较法解决 规范解答 1 a b r a b 1 b 1 a a 2 2 b 2 2 a2 b2 4 a b a2 1 a 2 4 2a2 2a 2 a 2 0 当a b时 当a b 0时 则当b a 0时 则综上可知 当a b 0 时 成立 答案 1 2 互动探究 在例1 2 的条件下 试比较与abba的大小 解析 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 反思 感悟 1 利用求差比较法时 变形的目的在于判断差的符号 而不必考虑差的值是多少 若遇到结果符号不能确定的情况 这时要对差式进行分类讨论 2 在利用求商比较法时 其中是不正确的 这与a b的符号有关 比如 若b 0 由可得a b 但若b 0 则由得出的反而是a b 也就是说 在利用求商比较法时 要对a b的符号作出判断 变式备选 若a b均为正数 则下列两式的大小关系为a5 b5 a3b2 a2b3 解析 a5 b5 a3b2 a2b3 a5 b5 a3b2 a2b3 a5 a3b2 b5 a2b3 a3 a2 b2 b3 b2 a2 a2 b2 a3 b3 a2 b2 a b a2 ab b2 a b a b 2 a2 ab b2 a b均为正数 a b 0 a b 2 0 a2 ab b2 0 a b a b 2 a2 ab b2 0 即a5 b5 a3b2 a2b3 0 a5 b5 a3b2 a2b3 答案 综合法与分析法的应用 方法点睛 1 综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理 清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 2 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 且和重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 例2 1 已知a b c 0 且互不相等 abc 1 则下列两式的大小关系为2 2012 宜春模拟 已知a b c d 则与的大小关系是 解题指南 1 本题可用abc 1代换中的a b c 然后利用平均值不等式证明或者利用平均值不等式从右向左证明 2 只需判断与9的大小关系 可将a d变形为a d a b b c c d 再利用不等式a 0 b 0 c 0 则判断 规范解答 1 方法一 a b c 0 且互不相等 abc 1 即方法二 以上三式相加 得又 a b c互不相等 方法三 a b c是互不相等的正数 且abc 1 答案 2 a b c d a b 0 b c 0 c d 0 a d 0 答案 反思 感悟 1 本题1条件中abc 1是解题的关键 可先利用 1 的代换 构造利用平均值不等式的条件 然后解决问题 也可以先利用平均值不等式 然后通过 1 的代换来建立与之间的大小关系 因此在综合法中 每一个题设条件所反馈出来的 信息 都是至关重要的 也都有可能成为解题的突破口 2 对于平均值不等式要注意条件a 0 b 0 c 0 同时在利用平均值不等式时