（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第八篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第二课时 最值 范围 证明专题习题 理.doc

第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题4,7范围问题1,2,6,8证明问题3,51.(2017重庆一中月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为f1,f2,椭圆上一点m(263,33)满足mf1mf2=0.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆有不同交点a,b,且oaob1(o为坐标原点),求实数k的取值范围.解:(1)设f1(-c,0),f2(c,0),mf1=(-c-263,-33),mf2=(c-263,-33),因为mf1mf2=0,所以-c2+2632+332=0,所以c2=3.所以a2-b2=3,又点m在椭圆上,所以83a2+13b2=1.将代入得83a2+13(a2-3)=1,整理为a4-6a2+8=0,所以a2=2或a2=4,因为a23,所以a2=4,b2=1.所以椭圆方程为x24+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由x24+y2=1,y=kx+2,消去y解得(14+k2)x2+22kx+1=0.x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,0.则oaob=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+2=6-4k21+4k21.所以k20得k214,所以14k2b0)与双曲线x23-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆c的标准方程;(2)设不过原点o的直线l与椭圆c交于m,n两点,且直线om,mn,on的斜率依次成等比数列,求omn面积的取值范围.解:(1)因为双曲线的离心率为233,所以椭圆的离心率e=ca=32,又因为直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,右顶点为(2,0),即a=2,所以c=3,b=1,所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)由题意可设直线l的方程为y=kx+m(k0,m0),m(x1,y1),n(x2,y2),联立y=kx+m,x24+y2=1,消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.又直线om,mn,on的斜率依次成等比数列所以y1x1y2x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=k2-8k2m21+4k2+m2=0.由m0得k2=14,k=12.又由=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,得0m2b0)的短轴长为22,点m(2,1)在c上,平行于om的直线l交椭圆c于不同的两点a,b.(1)求椭圆c的方程;(2)证明:直线ma,mb与x轴总围成等腰三角形.(1)解:依题意2b=22,所以b=2,所以椭圆c的方程为x2a2+y22=1,将m(2,1)代入,得4a2+12=1,解得a2=8,所以椭圆c的方程为x28+y22=1.(2)证明:设直线ma,mb的斜率分别为k1,k2,a(x1,y1),b(x2,y2),l:y=12x+m,则k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2,所以k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=(12x1+m-1)(x2-2)+(12x2+m-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)(x1-2)(x2-2),(*)由y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,代入(*)式,得k1+k2=2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)(x1-2)(x2-2)=2m2-4-2m2+4m-4m+4(x1-2)(x2-2)=0.所以直线ma,mb与x轴总围成等腰三角形.4.(2015浙江卷)已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点a,b关于直线y=mx+12对称. (1)求实数m的取值范围;(2)求aob面积的最大值(o为坐标原点).解:(1)由题意知m0,可设直线ab的方程为y=-1mx+b.由x22+y2=1,y=-1mx+b,消去y,得(12+1m2)x2-2bmx+b2-1=0.因为直线y=-1mx+b与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+4m20, 将线段ab中点m(2mbm2+2,m2bm2+2)代入直线方程y=mx+12,解得b=-m2+22m2.由得m63.(2)令t=1m(-62,0)(0,62),则|ab|=t2+1-2t4+2t2+32t2+12,且o到直线ab的距离为d=t2+12t2+1.设aob的面积为s(t),所以s(t)=12|ab|d=12-2(t2-12)2+222.当且仅当t2=12时,等号成立.故aob面积的最大值为22.5.导学号 18702508已知椭圆c的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于255,它的一个顶点恰好是抛物线y=14x2的焦点.(1)求椭圆c的标准方程;(2)过椭圆c的右焦点f作直线l交椭圆c于a,b两点,交y轴于m点,若ma=1af,mb=2bf,求证:1+2为定值.(1)解:设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为抛物线y=14x2的焦点坐标是(0,1),所以b=1.又有a2-b2a2=255,即1-1a2=255,所以a2=5.所以椭圆c的方程为x25+y2=1.(2)证明:设a,b,m点的坐标分别为a(x1,y1),b(x2,y2),m(0,y0).易知右焦点f的坐标为(2,0).因为ma=1af,所以(x1,y1-y0)=1(2-x1,-y1).即x1=211+1,y1=y01+1.将a点坐标代入到椭圆方程中,得15(211+1)2+(y01+1)2=1.去分母整理得12+101+5-5y02=0.同理,由mb=2bf可得22+102+5-5y02=0.所以1,2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根,所以1+2=-10为定值.6.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为4,且与椭圆x2+y22=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点m(0,1),与椭圆c交于不同的两点a,b.(1)求椭圆c的标准方程;(2)当椭圆c的右焦点f在以ab为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆c的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+y22=1的离心率为22,所以椭圆c的离心率e=ca=2a=22,所以a=22,b=2,所以椭圆c的标准方程为x28+y24=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx+1,x28+y24=1,消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2.由(1)知椭圆c的右焦点f的坐标为(2,0),因为右焦点f在圆的内部,所以fafb0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y20,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+10,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)-61+2k2+(k-2)-4k1+2k2+5=8k-11+2k20,所以k18.经检验,当kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.(1)求椭圆e的方程;(2)若a是椭圆e的左顶点,经过左焦点f的直线l与椭圆e交于c,d两点,求oad与oac的面积之差的绝对值的最大值.(o为坐标原点)解:(1)由题意得ca=12,又2a=4,则a=2,所以c=1.又b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆e的方程为x24+y23=1.(2)设oad的面积为s1,oac的面积为s2.当直线l斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时不妨设d(-1,32),c(-1,-32),且oad,oac面积相等,|s1-s2|=0.当直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k0),设c(x1,y1),d(x2,y2),和椭圆方程联立得x24+y23=1,y=k(x+1),消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.显然0,方程有根,且x1+x2=-8k23+4k2.此时|s1-s2|=122|y2|-|y1|=|y2+y1|=|k(x2+1)+k(x1+1)|=|k(x2+x1)+2k|=6|k|3+4k2.因为k0,所以上式=63|k|+4|k|623|k|4|k|=6212=32(k=32时等号成立).所以|s1-s2|的最大值为32.8.导学号 18702510已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,且过点(1,22),右焦点为f.设a,b是c上的两个动点,线段ab的中点m的横坐标为-12,线段ab的中垂线交椭圆c于p,q两点. (1)求椭圆c的方程;(2)求fpfq的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆c过点(1,22),所以1a2+12b2=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆c的方程为x22+y2=1.(2)由题意知,当直线ab垂直于x轴时,直线ab方程为x=-12,此时p(-2,0),q(2,0),又f(1,0),得fpfq=-1.当直线ab不垂直于x轴时,设直线ab的斜率为k(k0),m(-12,m)(m0),a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由x122+y12=1,x222+y22=1得(x1+x2)+2(y1+y2)y1-y2x1-x2=0,则-1+4mk=0,故k=14m.此时,直线pq斜率为k1=-4m,直线pq的方程为y-m=-4m(x+12).即y=-4mx-m.联立y=-4mx-m,x22+y2=1,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设p(x3,y3),q(x4,y4),所以x3+x4=-16m232m2+1,x3x4=2m2-232m2+1.于是fpfq=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3