“一纸”思维——在草稿本的使用中培养几何直观.docx

“一纸”思维在草稿本的使用中培养几何直观蒋家璐金家漕小学【摘要】草稿本是学生解决数学问题的重要工具。草稿本的主要作用是表征题目意思，体现思维过程，记录阶段性思维成果。在表征题目意思方面就包含了很多几何直观的培养。借助草稿本，学生可以经历从实物直观到简约符号直观，从简约符号直观到图形直观的过程。正确地使用草稿本有助于培养学生的几何直观。【关键词】草稿本几何直观解决问题(关键字应该分开，草稿本 几何直观 ）教学中，经常可以看到这样的现象：学生打草稿时有时候打在小纸头上，有时候直接打在手掌上。翻翻学生的草稿本,也能发现并不是每个学生的草稿本都能专本专用，学生们大多只是在不能口算的情况下使用草稿本。草稿本是数学学习中的重要工具，用好草稿本能够帮助学生提高解决问题的能力。学生借助草稿本进一步表征题目意思，在草稿本上展现探究、思考的过程，记录阶段性思维成果。表征题目意思就体现了几何直观的重要意义。因此草稿本的使用和培养学生的几何直观之间存在着非常密切的关系，教师在教学的过程中应当培养学生“本不离手”的好习惯，并且引导学生有条理地使用草稿本。一、所见（标题不够新颖，所见，所见什么呢，能否概括所见现状）笔者针对草稿本的使用情况和学生做了个别访谈，以下是其中一段对话。问：你做题时经常使用草稿本么？答：是的。问：通常什么情况下使用草稿本？答：算式口算算不出来的时候。问：算不出来时在草稿本上干什么？答：列竖式。问：有专门的草稿本么？答：没有。问：草稿都打在哪里？答：有时随便打来一张纸，有时候就打在作业本上再擦掉。（这个调查能否设计几个问题，用表格的形式呈现）这段对话反映出学生在主观上忽视了草稿本的重要作用，并且在使用草稿本过程中存在着很多误区。1.对草稿本作用的认识比较单一。学生对于草稿本的普遍认识在于算不出来的时候列竖式用。其实不只是学生，很多教师对于草稿本的认识也还是停留在列竖式计算上。基于这样的认识很多学生的草稿本上通常只有一些竖式（如图1）。然而，观察一些数学成绩比较拔尖的学生的草稿本可以发现，他们的草稿本上除了列竖式以外还有很多的图形、符号（如图2）。图2图12.打草稿的时候比较随意。部分学生没有专门的一本草稿本，或者说准备了草稿本但是却没有专门用来打草稿。在需要用到草稿本的时候随手拿一张纸或直接在书的角落里打草稿。草稿本上的内容也是杂乱无章的，没有条理性，有时候连自己也看不懂意思。（补充图片）3.缺乏简洁的个人符号系统。要简明有效地表明题目的意思就需要一系列有意义的图形或符号。这些符号有些是规定的，比如说用S表示面积，用r表示半径，有些则是自己创造的，这些符号的意思可能只有学生自己能看懂。这里的用符号和图形表征题目意思就体现了几何直观的重要意义。而不少同学的草稿本上缺乏对符号的创造性运用。（这个用符号的目的是什么呢，是省时还是什么，要讲清楚）二、所思（思什么）课标中对几何直观的描述是这样的：几何直观就是利用图形描述和分析问题。使复杂的数学问题变得简单、形象。几何直观能够帮助学生在解决问题的过程中探索解题思路，预测结果。能使问题变得更加直观。这是学生数学学习过程中的一种重要学习方法。史宁中和孔凡哲认为几何直观包括实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种形式。草稿本的使用主要体现了其中的简约符号直观和图形直观。借助几何直观把题目中抽象的数量关系在草稿本上用图形（如几何图形、线段图、简单符号等）描述出来，便于更加清晰地理清数量关系；将思维过程体现在草稿本上，便于反思和梳理，查找思维的漏洞；将阶段性思维过程记录在草稿本上，减轻记忆的负担，有利于学生更多地把注意力集中在关键问题的思考。1.在草稿本上经历从实物直观到简约符号直观的过程（半抽象、抽象的过程）数学学习离不开实物直观。实物直观的抽象程度比较低，对于学生来说更加容易理解。但是数学学习不可能只是依靠实物直观。一方面并不是所有的数学问题都可以在生活中找到实物模型，另一方面过多地依赖实物不利于学生抽象思维的发展。因此首先要让学生脱离实物的束缚，在实物的基础上抽象出简单的图形或符号。图3人教版数学教材一年级上册加法这一课中（如图3），气球是属于实物层面的，圆圈则是半具体半抽象的，属于简约符号层面。教材中把气球抽象成四个圆圈来表示，这是摒弃了气球作为实物的一些具体特征（如颜色、形状、大小等），仅保留了作为“数量”的特征。这就实现了从实物直观到简约符号直观的飞跃。这个过程对于刚接触的小学生来说是比较困难的，但是随着年级的增高，在解题方面有着十分重要的作用。学生在利用草稿本解题时，便可以将具体的事物抽象成、等简单的符号帮助解题。2.在草稿本上实现从简约符号直观到图形直观的提升图形直观中的“图形”其实指的是一种特殊的符号。图形直观其实是利用图形的空间关系直观地来表示题目中的数量关系。图4如人教版数学教材二下混合运算中的例4（如图4），左右两个长方形的关系直观地表示了数量间的关系。图形直观忽略了具体数量的多少转而更加关注图形间的关系，从图形的关系中看数量关系。由此看来，图形直观的抽象程度要高于简约符号直观。其优越性主要表示在以下几点。第一画图更简单，不需要表示出具体的数量，如图4，并不需要画出具体有几个面包，只要画出相对应的长方形就可以了。当题中的数量比较大时，这种方法显得尤为方便。第二更突显数量之间的关系。引导学生将关注点从数量转向数量关系，有利于学生抽象思维的提升。（这一段貌似和草稿本没多大关系，试着联系起来）3.创造符号表达思维过程用草稿本解决问题的方法有很多。单从几何直观角度来说，画图的方法也有很多。但是教学中经常发现部分学生画的图连他自己也不知道是什么意思。让“图”变得更简洁、明了是教师们在教学中要努力引导学生达到的目标。要实现这个目标，就需要学生在解题过程中创造性地使用符号，形成自己的数学符号系统。如：北师大教材四上中有这样一个问题：图5学生在解题的过程中出现了这样的几种情况。图6图7图8图9请学生比较四种画法，说说更喜欢哪一种，孩子们普遍喜欢第四种（图10）。由此可以看出，数学中的“画图”和美术中画图有着本质的区别。数学中的“画图”不讲究图案的相像而是追求简明，更注重于其关于“数与数量、数量关系”的内涵。（这一段貌似和草稿本没多大关系，试着联系起来）三、所做（做什么，概括要点）几何直观是新课标的十个核心词之一，平时的教学中，除了在课上培养学生的几何直观，另一个培养的途径就是利用草稿本。（这句有问题，几何直观培养只有上课和打草稿吗，课上不打草稿吗，这是包容的）如何在草稿本的使用中培养几何直观是教师们需要思考的。针对学生使用草稿本的现状，笔者在教学实践中发现遵循四“一”策略有助于学生几何直观的培养。即纠正一个想法，树立一个观念，养成一个习惯，引领一个方法。1.纠正一个想法：打草稿太麻烦学生们总是有这样一个想法：打草稿太累，打完草稿还要再抄到作业本上去太麻烦，又浪费回见。因此很多学生总是在脑子里想想就写上了答案。显而易见，这样做出来的作业正确率不高。打草稿是数学学习的重要方式之一。借助草稿纸，学生能明显地提高解题正确率。并且使用草稿纸并不会降低解题速度，当碰到稍难的题目时，反而会提高解题速度。（具体纠正思想的策略没有看见）2.树立一个观念：答案还可以是“画”出来的解决问题的过程包括分析题目，理清数量关系，列式解答，检验反思等。学生平时做作业时，教师一般要求在题目下面写上算式并解答。这就使部分学生误解解题就是列式，从而忽略了对题目意思的理解，对数量关系的分析。导致很多学生学乘法时一看到数据就相乘（错别字），学除法是一看到数据就想除的现象。“套类型、凑算式”的不良解题习惯随处可见。然而事实上，列式解答知识解决问题过程中的结果呈现，并不是解决问题过程的全部。并且并不是所有的问题都必须通过列式才能解答，有的可以通过文字的叙述，有的甚至还可以通过画图等。这时草稿本就起了一个记录阶段性思维成果的作用。学生的很大一部分思维活动都体现在草稿本上。如人教版数学一年级上册有这样一个例题（如图11）：图10在解决这个问题时，如果能在草稿本上画画图，那答案是一目了然的。但如果非要列式解答的话，对于一年级的孩子来说还是比较困难的。所以说，数学不一定是算出来的，也有可能是在草稿本上“画”出来的。（把用草稿本画的图片附上去效果更好）3.养成一个习惯：本不离手草稿本作为数学学习的重要工具，不应该是临时去找，而应该随时放在手头备用。教师应有意识地引导学生正确使用草稿本。1） 准备一本专门的本子作为草稿本。学期初发本子时可以专门发现一本写上草稿本并且说明要随时检查2） 加强草稿本使用的指导，也就是说要知道草稿本是用来干什么的。第一用自己喜欢的方法较简单地表征题目的意思。第二记录自己的思考过程。3） 在解决问题中，将对问题结果的关注更多地转移到对解题过程的关注上来。时不时地将草稿本收上来看看学生的想法，从中也能发现学生的思维漏洞。好的草稿本可以在班里展示，作为榜样。4） 让学生真正需要草稿本。只有需要才会使用。先让学生体验到草稿本的优越性，让其认同草稿本使用的必要性。教师可以出示一些例题，让学生感受用草稿本解题和不用草稿本解题对解题结果的影响，从而体会到草稿本的重要性。4.引领一个方法：高效且有序草稿本中有一个“草”字，这说明，在草稿本上作图可以画草图不用太精确，写字也不用像在作业本上那么端正，甚至在列竖式计算时只列一半，在保证解题正确率的基础上，尽量节省时间，可以创建自己的符号系统，理清数量关系，这就是所谓高效。但是这并不是说草稿本上可以随便乱涂乱画，杂乱无章。草稿至少要让自己看得懂，并且能够清晰地反映自己的想法。一般来说，打草稿时也是从左往右从上往下有顺序地书写，这样能够使得思维更加清晰，也有利于自己的反思和检查，发现思