高考数学 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 理 新人教A版.ppt

第五节两角和与差的正弦 余弦和正切公式 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 两角和与差的正弦 余弦公式中的角 是任意的 2 存在实数 使等式sin sin sin 成立 3 在锐角 abc中 sinasinb和cosacosb大小不确定 4 公式tan 可以变形为tan tan tan 1 tan tan 且对任意角 都成立 5 存在实数 使tan2 2tan 解析 1 正确 对于任意的实数 两角和与差的正弦 余弦公式都成立 2 正确 如取 0 sin0 0 sin 0 sin sin sin0 3 错误 a b cos a b 0 即cosacosb sinasinb 0 sinasinb cosacosb 4 错误 变形可以 但不是对任意角 都成立 变形后 k k z 5 正确 当 k k z 时 tan2 2tan 答案 1 2 3 4 5 1 tan 3 则的值等于 a 2 b 3 c 4 d 6 解析 选d 2tan 2 3 6 2 已知 均为锐角 且sin cos 则sin 的值是 a b c d 以上均不对 解析 选b 由 均为锐角 sin cos 得cos sin sin sin cos cos sin 3 下列各式的值为的是 a 2cos2 1 b 1 2sin275 c d sin15 cos15 解析 选d a项 2cos2 1 cos b项 1 2sin275 cos150 c项 tan45 1 d项 sin15 cos15 sin30 4 tan20 tan40 tan20 tan40 解析 由tan60 得 tan20 tan40 tan20 tan40 代入所求得 tan20 tan40 tan20 tan40 答案 考向1三角函数的求值 典例1 1 已知sin sin cos 0 则sin2 的值为 a b c d 2 2013 珠海模拟 若 是锐角 sin 则cos 的值等于 a b c d 3 2013 广州模拟 若 0 且sin2 cos2 则tan 思路点拨 1 由sin 及sin cos 0可得cos 再利用倍角公式可解 2 构造角 展开可求 3 由倍角公式转化为关于角 的同角函数关系式 结合 的范围求出cos 进而得到tan 的值 规范解答 1 选a 由sin 得cos 又 sin cos 0 cos sin2 2sin cos 2 2 选a 是锐角 即0 又 sin cos cos cos cos cos sin sin 3 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 又 0 cos tan 答案 互动探究 本例 1 中条件不变 如何求解tan2 的值 解析 sin sin2 cos2 1 2sin2 1 2 故cos2 由 1 知sin2 故tan2 拓展提升 三角函数求值的两种类型 1 给角求值 关键是正确地选用公式 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数 2 给值求值 关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 一般可以适当变换已知式 求得另外函数式的值 以备应用 变换待求式 便于将已知式求得的函数值代入 从而达到解题的目的 提醒 解答有条件限制的求值问题时 要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系 一般方法是拼角与拆角 变式备选 已知 0 cos sin 则sin 解析 又 cos sin 0 又 sin cos sin sin sin sin cos cos sin 答案 考向2三角函数式的化简 典例2 1 2013 广州模拟 a b 2 c d 2 化简的结果是 a cos1 b cos1 c cos1 d cos1 3 思路点拨 1 将sin280 降幂约分即可求解 2 将cos2利用倍角公式转化求解 3 由于分子是一个平方差 分母中正切函数可转化成弦函数 若注意到这两大特征 不难得到解题的切入点 规范解答 1 选b 原式 2 选c 3 原式 1 答案 1 互动探究 将本例题 1 中式子改为 又将如何求解 解析 2 拓展提升 三角函数化简的技巧 方法和要求 1 技巧 寻求角与角之间的关系 化非特殊角为特殊角 正确灵活地运用公式 通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值 一些常规技巧 1 的代换 和积互化等 2 常用方法 异名三角函数化为同名三角函数 异角化为同角 异次化为同次 切化弦 特殊值与特殊角的三角函数互化 3 化简要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使项数尽量少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 提醒 公式的逆用 变形用十分重要 特别是1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 形式相似 容易出错 应用时要加强 目标意识 变式备选 1 2 2 sin220 cos280 sin20 cos80 解析 1 因为 2 所以 cos cos 又因为 所以 原式 所以 原式 sin 答案 sin 2 sin220 cos280 sin20 cos80 1 cos40 1 cos160 sin20 cos80 1 cos40 cos160 sin20 cos 60 20 1 cos40 cos120 cos40 sin120 sin40 sin20 cos60 cos20 sin60 sin20 1 cos40 cos40 sin40 sin40 sin220 1 cos40 1 cos40 答案 考向3三角函数的综合应用 典例3 2013 济宁模拟 已知函数f x 2 sinxcosx 2cos2x 1 x r 1 求函数f x 的最小正周期及在区间 0 上的最大值和最小值 2 若f x0 x0 求cos2x0的值 思路点拨 1 逆用倍角公式和两角和的正弦公式 化简成一种三角函数可解 2 利用f x0 求sin 2x0 cos 2x0 再构造角求解 规范解答 1 由f x 2sinxcosx 2cos2x 1 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 得t 函数f x 的最小正周期为 f x 2sin 2x 在区间 0 上为增函数 在区间 上为减函数 又f 0 1 f 2 f 1 所以函数f x 在区间 0 上的最大值为2 最小值为 1 2 由 1 可知f x0 2sin 2x0 又因为f x0 所以sin 2x0 0 由x0 得2x0 从而cos 2x0 cos2x0 cos 2x0 cos 2x0 cos sin 2x0 sin 拓展提升 解三角函数综合应用问题的注意点 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中 需要利用这些公式 先把函数解析式化为y asin x 的形式 再进一步探讨定义域 值域 最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 2 注意特殊角三角函数值 诱导公式等基础知识的应用 主要考查基本运算能力 变式训练 设函数f x sin 2 x a 其中0 1 a r 且f x 的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 1 求 的值 2 如果f x 在区间 上的最小值为 求a的值 解析 1 由f x sin 2 x a 得 2 由 1 知 f x sin x a 又当x 时 x 0 故 sin x 1 又f x 在区间 上的最小值为 则 故a 满分指导 应用公式解决三角函数的综合问题 典例 12分 2012 广东高考 已知函数f x 2cos x 其中 0 x r 的最小正周期为10 1 求 的值 2 设 0 f 5 f 5 求cos 的值 思路点拨 规范解答 1 由于函数f x 的最小正周期为10 10 2分 2 由 1 知f x 2cos x 又 f 5 sin 4分 又 f 5 6分又 0 cos sin 10分 cos cos cos sin sin 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 江西高考 若tan 4 则sin2 a b c d 解析 选d tan 4 4 4 即 4 sin2 2 2012 湖南高考 函数f x sinx cos x 的值域为 a 2 2 b c 1 1 d 解析 选b f x sinx cosx sinx x r x r f x 故选b 3 2012 山东高考 若 sin2 则sin a b c d 解析 选d 由于 则2 所以cos2 0 因为sin2 所以cos2 又cos2 1 2sin2 所以sin 4 2013 东莞模拟 计算sin44 cos14 cos44 cos76 的结果等于 a b c d 解析 选a sin44 cos14 cos44 cos76 sin44 cos14 cos44 sin14 sin 44 14 sin30 5 2012 江苏高考 设 为锐角 若cos 则sin 2 的值为 解析 因为cos 且 为锐角 所以 0 所以sin 所以sin 2 2sin cos 2 cos 2 2cos2 1 所以sin 2 sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 答案 1 已知函数f x sin2x cos2x x r 其最大值为m 最小值为m 则m m等于 a 1 b 2 c 3 d 4