高中数学 §2.3 等差数列的前n项和B 新人教A版必修5.pptVIP

第二章数列 2 3等差数列的前n项和 如图 一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放1支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放1支 最上面一层放100支 这个v形架上共放了多少支铅笔 想一想 1 1002 99 50 51 德国数学家高斯 数学王子 试一试 一 数列前n项和的意义 数列 an a1 a2 a3 an 我们把a1 a2 a3 an叫做数列 an 的前n项和 记作sn 二 等差数列的前n项和公式推导 问题2 设等差数列的首项为 公差为 议一议 问题1 设等差数列的首项为 第n项是 两式左右分别相加 得 联想 我国数列求和的概念起源很早 到南北朝时 张丘建始创等差数列求和解法 他在 张丘建算经 中给出等差数列求和问题 例如 今有女子不善织布 每天所织的布以同数递减 初日织五尺 等差数求和的历史 末一日织一尺 共织三十日 问共织几何 原书的解法是 并初 末日织布数 半之 再乘以织日数 即得 例1 2000年11月14日教育部下发了 某市据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从2001年起用10年时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资金比上一年增加50万元 那么从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 解 设从2001年起第n年投入的资金为an 根据题意 数列 an 是一个等差数列 其中 那么 到2010年 n 10 投入的资金总额为 答 从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是7250万元 例2 已知一个等差数列 an 的前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗 解 依题意知 s10 310 s20 1220 解得a1 4 d 6 将它们代入公式 例3 已知数列 an 的前n项和为 求该数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是 它的首项和公差分别是什么 解 sn a1 a2 an sn 1 a1 a2 an 1 n 1 当n 1时 a1也满足 式 当n 1时 所以数列 an 的通项公式为 由此可知 数列 an 是一个首项为1 5 公差为2的等差数列 若已知数列 an 前n项和为sn 则该数列的通项公式为 注意 1 这种做法适用于所有数列 2 用这种方法求通项需检验a1是否满足an 若是 则an sn sn 1 探究 一般地 如果一个数列 an 的前n项和为sn pn2 qn r 其中p q r为常数 且p 0 那么这个数列一定是等差数列吗 若是 则它的首项与公差分别是什么 分析 当n 1时 当n 1时 a1 s1 p q r 又 当n 1时 a1 2p p q p q 当且仅当r 0时 a1满足an 2pn p q 故只有当r 0时该数列才是等差数列 此时首项a1 p q 公差d 2p p 0 an sn sn 1 pn2 qn r p n 1 2 q n 1 r 2pn p q 数列 an 为等差数列 判断以下命题是否为真命题 若为假命题请修缮一下条件 使之成为真命题 若数列 an 的前n项和为关于n的二次函数 则该数列为等差数列 2 若数列 an 为等差数列 则该数列的前n项和为关于n的二次函数 1 等差数列的前n项和公式 总结 2 若 an 成等差数列 则 也成等差数列 例4 已知等差数列的前n项和为sn 求使得sn最大的序号n的值 解 由题意知 a1 5 公差d 解2 由题意知 a1 5 公差d 解得7 n 8 当n取7或8时 sn最大 例4 已知等差数列的前n项和为sn 求使得sn最大的序号n的值 求等差数列 an 的前n项和sn的最值的方法 1 利用sn an2 bn进行配方 求二次函数的最值 此时n应取最接近的