高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第七章第5课时 空间中的垂直关系课件.ppt

第5课时空间中的垂直关系 基础梳理 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l与平面 内的 直线都垂直 则直线l与此平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 任意一条 相交 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 2 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平行 两个半平面 垂直于棱 3 平面与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内 的直线与另一个平面垂直 直二面角 垂线 垂直于交线 思考探究垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 可能平行 也可能相交 4 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 当直线与平面垂直和平行 含直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 90 和0 课前热身1 将图1中的等腰直角三角形abc沿斜边bc的中线折起得到空间四面体abcd 如图2 则在空间四面体abcd中 ad与bc的位置关系是 a 相交且垂直b 相交但不垂直c 异面且垂直d 异面但不垂直 2 设a b c是三条不同的直线 是两个不同的平面 则a b的一个充分条件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 选c 对于选项c 在平面 内作c b 因为a 所以a c 故a b a b选项中 直线a b可能是平行直线 也可能是异面直线 d选项中一定有a b 故选c 3 一平面垂直于另一平面的一条平行线 则这两个平面的位置关系是 解析 由线面平行的性质定理知 该面必有一直线与已知直线平行 再根据 两平行线中一条垂直于一平面 另一条也垂直于该平面 得出结论 答案 垂直相交 4 abc中 abc 90 pa 平面abc 则图中直角三角形的个数是 答案 4 考点1直线与平面垂直的判定与性质 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解 1 证明 由条件知四边形pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad dc pd pd ad d 所以dc 平面pdaq 可得pq dc 题后感悟 证线面垂直的方法 1 利用线面垂直定义 证一直线垂直于平面内任意一直线 则这条直线垂直于该平面 2 用线面垂直的判定定理 证一直线与平面内两相交直线都垂直 则这条直线与平面垂直 3 用线面垂直的性质 两平行线之一垂直于这个平面 则另一条也必垂直于这个平面 4 用面面垂直的性质定理 两平面垂直 在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 5 用面面平行的性质 一直线垂直于两平行平面之一 则必垂直于另一平面 备选例题 教师用书独具 1 ac 平面bde 2 ac 平面bef 证明 1 因为平面abcd 平面adef ade 90 所以de 平面abcd 所以de ac 因为abcd是正方形 所以ac bd 变式训练1 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab中点 d为pb中点 且 pmb为正三角形 求证 1 md 平面apc 2 bc 平面apc 证明 1 m为ab中点 d为pb中点 md ap 又md 平面apc ap 平面apc md 平面apc 考点2平面与平面垂直的判定与性质 2011 高考江苏卷 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 证明 1 在 pad中 因为e f分别为ap ad的中点 所以ef pd 又因为ef 平面pcd pd 平面pcd 所以直线ef 平面pcd 2 连接bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ad的中点 所以bf ad 因为平面pad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因为bf 平面bef 所以平面bef 平面pad 题后感悟 证明两个平面垂直 一般要转化成线面垂直 即证其中一个平面经过另一平面的一条垂线 可以先找到其中一个平面的一条垂线 再说明这条垂线在另一平面内或与另一平面的一条垂线平行 备选例题 教师用书独具 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 ab bc 3 ac 2 d是ac的中点 1 求证 b1c 平面a1bd 2 求证 平面a1bd 平面acc1a1 3 求三棱锥a a1bd的体积 解 1 证明 设ab1与a1b相交于点e 连接de 则e为ab1的中点 在 ab1c中 d为ac的中点 e为ab1的中点 de b1c 又 de 平面a1bd b1c 平面a1bd b1c 平面a1bd 变式训练2 如图 四棱锥p abcd中 abcd为矩形 pad为等腰直角三角形 apd 90 而pad 面abcd ab 1 ad 2 1 求证 面pdc 面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 解 1 证明 面pad 面abcd cd ad 面pad 面abcd ad 又ad 面pad cd 面pad cd pa ap pd pd cd d ap 面pcd 又ap 面pad 面pdc 面pad 考点3线面垂直的综合应用如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解 1 证明 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 又pg bg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df ef fh 平面abcd 又fh 平面def 平面def 平面abcd h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 题后感悟 对于这类问题应先把题目中已确定的位置 大小关系作出全面认识和正确的推理 再对变化不定的线面关系进行观察 尝试作出各种常见的辅助线 辅助面进行判断 另外还要灵活运用观察 联想 类比 猜想 分析 综合 一般化 特殊化等科学的思维方法 才能使开放性问题快速有效地解决 备选例题 教师用书独具 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1的底面abcd为正方形 e为线段ad1的中点 f为线段bd1的中点 解 1 证明 e为线段ad1的中点 f为线段bd1的中点 ef ab ef 平面abcd ab 平面abcd ef 平面abcd f m分别是bd1 cc1中点 fm ac df fm d1d ad d1d bd 矩形d1dbb1为正方形 f为bd1的中点 df bd1 fm bd1 f df 平面bd1m 变式训练3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是cd a1d1的中点 1 求证 ab1 bf 2 求证 ae bf 3 棱cc1上是否存在点p 使bf 平面aep 若存在 确定点p的位置 若不存在 说明理由 解 1 证明 连接a1b 则ab1 a1b 又 ab1 a1f 且a1b a1f a1 ab1 平面a1bf ab1 bf 2 证明 取ad中点g 连接fg bg 则fg ae 又 bag ade abg dae ae bg 又 bg fg g ae 平面bfg ae bf 3 存在 取cc1中点p 即为所求 连接ep ap c1d ep c1d c1d ab1 ep ab1 由 1 知ab1 bf bf ep 又由 2 知ae bf 且ae ep e bf 平面aep 方法技巧垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 失误防范1 在解决直线与平面垂直的问题过程中 要注意直线与平面垂直定义 判定定理和性质定理的联合交替使用 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 命题预测从近几年的高考试题来看 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定与性质等是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题突出 小而巧 主要考查垂直的判定及性质 主观题考查较全面 在考查上述知识的同时 还注重考查空间想象 逻辑推理以及分析问题 解决问题的能力 预测2013年高考仍将以线面垂直 面面垂直为主要考查点 重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力 规范解答 本题满分12分 2011 高考山东卷 如图 在四棱台abcd a1b1c1d1中 d1d 平面abcd 底面abcd是平行四边形 ab 2ad ad a1b1 bad 60 求证 1 aa1 bd 2 cc1 平面a1bd 证明 1 法一 因为d1d 平面abcd 且bd 平面abcd 所以d1d bd 1分在 abd中 由余弦定理 得bd2 ad2 ab2 2ad abcos bad 又因为ab 2ad bad 60 所以bd2 3ad2 3分所以ad2 bd2 ab2 因此ad bd 又ad d1d d 所以bd 平面add1a1 又aa1 平面add1a1 所以aa1 bd 6分 法二 因为dd1 平面abcd 且bd 平面abcd 所以bd d1d 1分如图 取ab的中点g 连接dg 在 abd中 由ab 2ad 得ag ad 又 bad 60 所以 adg为等边三角形 2分所以gd gb 故 dbg gdb 又 agd 60 所以 gdb 30 所以 adb adg gdb 60 30 90 所以bd ad 4分又ad d1d d 所以bd 平面add1a1 又aa1 平面add1a1 所以aa1 bd 6分 由棱台的定义及ab 2ad 2a1b1 知a1c1 ec 且a1c1 ec 所以四边形a1ecc1为平行四边形 因此cc1 ea1 10分又因为ea1 平面a1bd c