高考数学总复习 2.4函数的奇偶性与周期性课件 人教版.ppt

第四讲函数的奇偶性与周期性 一 函数的奇偶性1 偶函数一般地 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 2 奇函数一般地 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 f x f x f x f x 3 奇偶性 1 如果函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 2 如果函数f x 满足f x f x 且f x f x 则称函数f x 既是又是 3 若函数f x 满足f x f x 且f x f x 则称函数f x 为 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 定义域含零的奇函数有f 0 可用于求参数 若所给函数的解析式较复杂 应先化简 再判断其奇偶性 奇函数在对称的单调区间内有的单调性 偶函数在对称的单调区间内有的单调性 判断函数的奇偶性之前务必先判断定义域是否关于对称 即 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 函数定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 确定奇偶性的常用方法有 定义法 图象法等 0 相同 相反 原点 二 奇偶函数的图象特征1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 3 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 反之亦成立 所以可以根据函数图象的对称性去判断函数的奇偶性 如果函数f x 是偶函数 那么有f x f x f x 反之也成立 这在解决与偶函数有关的问题时经常用到 三 函数的周期性1 周期的定义一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 则称f x 为周期函数 非零常数t称为f x 的周期 2 最小正周期对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数叫做f x 的 若t为函数f x 的一个周期 则nt n z n 0 也是该函数的周期 f x t f x 最小正周期 1 2012襄阳调研 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 a y x3b y cosxc y tanxd y ln x 解析 因a c为奇函数 故排除 又因y cosx在 0 不是单调递增 故b错 由y ln x 图象可知其满足题设条件 答案 d 答案 b 3 已知函数f x ax4 bcosx x 且f 3 7 则f 3 的值为 a 1b 7c 4d 10解析 设g x ax4 bcosx 则g x f x x 由f 3 g 3 3 得g 3 f 3 3 4 所以g 3 g 3 4 所以f 3 g 3 3 4 3 1 答案 a 5 已知定义在r上的函数f x 满足f x 5 f x 2 且当x 0 5 时 f x x 则f 2008 的值为 解析 f x 10 f x 5 5 f x 5 2 f x 2 2 f x f x 的一个周期为10 f 2008 f 10 200 8 f 8 f 3 5 f 3 2 1 答案 1 4 当a 0时 f x x2 x 1很显然函数f x 是偶函数 当a 0时 f a a2 1f a a2 2 a 1 f a f a 则函数f x 是非奇非偶函数 题后总结 1 判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 2 判断函数的奇偶性 一般先考察函数的定义域是否关于原点对称 然后判断f x 与f x 的关系 判断时可以用特殊值预判 再进入正式解答 3 分段函数的奇偶性应分段进行判断 已知函数f x 是定义域为r的奇函数 且它的图象关于直线x 1对称 1 求f 0 的值 2 证明 函数f x 是周期函数 3 若f x x 0 x 1 求x r时 函数f x 的解析式 并画出满足条件的函数f x 至少一个周期的图象 f x f 2 x 由 得 f x f 2 x 换 x为x 则f 2 x f x f 4 x f 2 2 x f 2 x f x f x 故f x 是以4为周期的周期函数 题后总结 从对称出发 变形等式 推导满足周期函数定义的式子 从而在证明函数为周期函数的同时 求出周期 活学活用 1 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2012 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 f 2012 0 f 0 f 1 f 2 f 2012 0 12分 设函数f x 在x 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2008 2008 上的根的个数 并证明你的结论 规范解答 1 由f 2 x f 2 x 得函数y f x 的对称轴为x 2 1分 f 1 f 5 2分 而f 5 0 f 1 f 1 即f x 不是偶函数 3分又 f x 在 0 7 上只有f 1 f 3 0 f 0 0 从而知函数y f x 不是奇函数 4分故函数y f x 是非奇非偶函数 5分 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有2个根 从而可知函数y f x 在 0 2000 上有400个根 在 2000 2008 上有2个根 10分在 2000 0 上有400个根 在 2008 2000 上有1个根 函数y f x 在 2008 2008 上有803个根 12分 题后总结 应用函数的奇偶性 周期性解决问题时 应紧扣奇 偶函数 周期函数的定义解题 易错点 忽略奇 偶函数的特性致误设函数f x x ex ae x x r 是偶函数 则实数a的值为 错因分析 解答本题容易出现以下错误 一是对偶函数的定义把握不准 不能找到解决问题的突破口 二是对f x x ex ae x x r 是偶函数理解不清 将函数进行整体运算造成运算繁杂 三是利用奇函数的定义求得 1 a e x 1 a ex 0后不能进一步求解 除此之外 解决此类问题时 以下几点也容易导致失误 1 忽视函数的定义域 2 忽略奇函数固有的特性而导致运算繁杂 规范解答 方法一 函数的定义域关于原点对称 令g x ex ae x 由f x 是偶函数 知g x ex ae x是奇函数 即g x g x e x aex ex ae x 即 1 a e x 1 a ex 0对一切x r恒成立 必有1 a 0 解得a 1 方法二 特值法 由f x 是偶函数 则f 1 f 1 即e ae a e2 1 e2 1 a 1 方法三 f x x ex ae x x r 是偶函数 设g x ex ae x 由题意知g x 为奇函数 g 0 e0 ae0 0 则1 a 0 即a 1 状元笔记 函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性 首先要考虑函数的定义域 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数一定是非奇非偶函数 若定义域关于原点对称 再根据f x 与f x 之间的关系进行判断 在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性 按照奇偶性 函数可分为四类 偶函数非奇函数 奇函数非偶函数 既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数 纠错体验 函数f x 的定义域为r 若f x 1 与f x 1 都是奇函数 则 a f x 是偶函数b f x 是奇函数c f x f x 2 d f x