高三数学 专题11 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

专题11立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 3 主干知识梳理 1 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 以下相同 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 2 直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角计算设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 1 线线夹角 2 线面夹角 3 面面夹角设半平面 的夹角为 0 提醒求二面角时 两法向量的夹角有可能是二面角的补角 要注意从图中分析 3 求空间距离直线到平面的距离 两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离 点p到平面 的距离 d 其中n为 的法向量 m为 内任一点 热点一利用向量证明平行与垂直 热点二利用向量求空间角 热点三利用空间向量求解探索性问题 热点分类突破 例1如图 在直三棱柱ade bcf中 面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直 m为ab的中点 o为df的中点 运用向量方法证明 1 om 平面bcf 热点一利用向量证明平行与垂直 思维启迪从a点出发的三条直线ab ad ae两两垂直 可建立空间直角坐标系 证明方法一由题意 得ab ad ae两两垂直 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系 棱柱ade bcf是直三棱柱 ab 平面bcf 是平面bcf的一个法向量 且om 平面bcf om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 证明设平面mdf与平面efcd的一个法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 同理可得n2 0 1 1 n1 n2 0 平面mdf 平面efcd 又om 平面bcf om 平面bcf 2 由题意知 bf bc ba两两垂直 om cd om fc 又cd fc c om 平面efcd 又om 平面mdf 平面mdf 平面efcd 变式训练1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 pa ab 2 bad 60 e是pa的中点 1 求证 直线pc 平面bde 证明设ac bd o 因为 bad 60 ab 2 底面abcd为菱形 所以bo 1 ao co ac bd 如图 以o为坐标原点 以ob oc所在直线分别为x轴 y轴 过点o且平行于pa的直线为z轴 建立空间直角坐标系o xyz 1 设平面bde的法向量为n1 x1 y1 z1 所以pc 平面bde 故bd pc 2 求证 bd pc 例2如图 五面体中 四边形abcd是矩形 ab ef ad 平面abef 且ad 1 ab ef 2 af be 2 p q分别为ae bd的中点 1 求证 pq 平面bce 热点二利用向量求空间角 思维启迪易知pq为 ace的中位线 证明连接ac 四边形abcd是矩形 且q为bd的中点 q为ac的中点 又在 aec中 p为ae的中点 pq ec ec 面bce pq 面bce pq 平面bce 2 求二面角a df e的余弦值 思维启迪根据ad 平面abef构建空间直角坐标系 解如图 取ef的中点m 则af am 以a为坐标原点 以am af ad所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 d 0 0 1 m 2 0 0 f 0 2 0 令x 1 则y 1 z 2 故n 1 1 2 是平面def的一个法向量 由图可知所求二面角为锐角 变式训练2 2013 山东 如图所示 在三棱锥p abq中 pb 平面abq ba bp bq d c e f分别是aq bq ap bp的中点 aq 2bd pd与eq交于点g pc与fq交于点h 连接gh 1 求证 ab gh 证明因为d c e f分别是aq bq ap bp的中点 所以ef ab dc ab 所以ef dc 又ef 平面pcd dc 平面pcd 所以ef 平面pcd 又ef 平面efq 平面efq 平面pcd gh 所以ef gh 又ef ab 所以ab gh 2 求二面角d gh e的余弦值 解方法一在 abq中 aq 2bd ad dq 所以 abq 90 即ab bq 因为pb 平面abq 所以ab pb 又bp bq b 所以ab 平面pbq 由 1 知ab gh 所以gh 平面pbq 又fh 平面pbq 所以gh fh 同理可得gh hc 所以 fhc为二面角d gh e的平面角 设ba bq bp 2 连接fc 在rt fbc中 由勾股定理得fc 在rt pbc中 由勾股定理得pc 又h为 pbq的重心 方法二在 abq中 aq 2bd ad dq 所以 abq 90 又pb 平面abq 所以ba bq bp两两垂直 以b为坐标原点 分别以ba bq bp所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设ba bq bp 2 则e 1 0 1 f 0 0 1 q 0 2 0 d 1 1 0 c 0 1 0 p 0 0 2 设平面efq的一个法向量为m x1 y1 z1 设平面pdc的一个法向量为n x2 y2 z2 因为二面角d gh e为钝角 所以二面角d gh e的余弦值为 例3如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc 2aa1 abc 90 d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 热点三利用空间向量求解探索性问题 由abc a1b1c1是直三棱柱 得四边形acc1a1为矩形 o为a1c的中点 证明连接a1c 交ac1于点o 连接od 又d为bc的中点 所以od为 a1bc的中位线 所以a1b od 因为od 平面adc1 a1b 平面adc1 所以a1b 平面adc1 2 求二面角c1 ad c的余弦值 解由abc a1b1c1是直三棱柱 且 abc 90 得ba bc bb1两两垂直 以bc ba bb1所在直线分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系b xyz 设ba 2 则b 0 0 0 c 2 0 0 a 0 2 0 c1 2 0 1 d 1 0 0 易知平面adc的一个法向量为v 0 0 1 因为二面角c1 ad c是锐二面角 所以二面角c1 ad c的余弦值为 3 试问线段a1b1上是否存在点e 使ae与dc1成60 角 若存在 确定e点位置 若不存在 说明理由 解假设存在满足条件的点e 因为点e在线段a1b1上 a1 0 2 1 b1 0 0 1 故可设e 0 1 其中0 2 因为ae与dc1成60 角 所以当点e为线段a1b1的中点时 ae与dc1成60 角 变式训练3 如图 在三棱锥p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 点d为bc的中点 1 求二面角a pd b的余弦值 解 ac bc pa pb pc pc pca pcb pca pcb pc ac pc cb 又ac cb c pc 平面acb 且pc ca cb两两垂直 故以c为坐标原点 分别以cb ca cp所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则c 0 0 0 a 0 2 0 d 1 0 0 p 0 0 2 设平面pad的一个法向量为n x y z 设二面角a pd b的平面角为 且 为钝角 2 在直线ab上是否存在点m 使得pm与平面pad所成角的正弦值为 若存在 求出点m的位置 若不存在 说明理由 解方法一存在 m是ab的中点或a是mb的中点 解得x 1或x 2 m 1 1 0 或m 2 4 0 在直线ab上存在点m 且当m是ab的中点或a是mb的中点时 使得pm与平面pad所成角的正弦值为 方法二存在 m是ab的中点或a是mb的中点 m是ab的中点或a是mb的中点 在直线ab上存在点m 且当m是ab的中点或a是mb的中点时 使得pm与平面pad所成角的正弦值为 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性 能把 非运算 问题 运算 化 即通过直线的方向向量和平面的法向量 把立体几何中的平行 垂直关系 各类角 距离以向量的方式表达出来 把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 应用的核心是充分认识形体特征 进而建立空间直角坐标系 通过向量的运算解答问题 达到几何问题代数化的目的 同时注意运算的准确性 本讲规律总结 提醒三点 1 直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值 而不是余弦值 2 求二面角除利用法向量外 还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识 我们只要是在二面角的两个半平面内分别作 和二面角的棱垂直的向量 并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外 那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小 如图所示 真题感悟 押题精练 真题与押题 真题感悟 2014 北京 如图 正方形amde的边长为2 b c分别为am md的中点 在五棱锥p abcde中 f为棱pe的中点 平面abf与棱pd pc分别交于点g h 真题感悟 1 求证 ab fg 证明在正方形amde中 因为b是am的中点 所以ab de 又因为ab 平面pde de 平面pde 所以ab 平面pde 因为ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 真题感悟 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直线bc与平面abf所成角的大小 并求线段ph的长 解因为pa 底面abcde 所以pa ab pa ae 如图建立空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 2 1 0 p 0 0 2 f 0 1 1 1 1 0 真题感悟 设平面abf的一个法向量为n x y z 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线bc与平面abf所成角为 真题感悟 设点h的坐标为