清北学堂数学讲座_几何部分(有更新)(125刘永明老师更.pdf

清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 第一讲 复数与几何 复数的形式 izxy x yR x称为的实部 记作zRe xz y称为的虚部 记作 称为虚数单位 满足 z Im y z1i 2 i 在直角坐标系OX上每一点Y x y都与 一个复数对应 这个坐标平面称为复平面 轴称为实轴 OY轴称为虚轴 O 称为原点 用复数0表示 实数集合是复数集合的子集 izxy OX 我们还可以把复数看成是平面向量izxy Oz 把这向量的长度 2 rxy 2 称为 复数的模 把复数写成izxy izxy cosisin zr 则当时 0z 就是向 量的方向 称满足条件 的 为复数 cosisin zr 的幅角 记为argz 两个复数相加就是两个向量的相加 11221212 i i i xyxyxxyy 满足 平行四边形法则 等式成立当且仅当两向量同方向 1212 zzzz 记ecosisin i 则 i ezr 这个记号明显地指出了复数的向量性质 r表示长度 表示方向 不仅如此 这种记号还有其特殊的优点 以下用 exp 表示指数函数 设有复数 111111 cosisin exp i zrr 22222 cosisin exp i zr 复数加法和乘法法则和实数的类似 只是要注意 2 i1 121212121212 coscossinsin i sincoscossin zzr r 121212 cos isin r r 1 212 exp i rr 2 就像满足指数函数的运算法则一样 112 exp i exp i rr 以上恒等式表示 用模为幅角为r 的非零复数乘以另一非零复数 其幅角增加 模乘以 r 因此有棣莫佛定理 复数 cosisin zr 的次方为n cosisin n rnn nN 复数 cosisin zr 的个次方根为 nn 1 22 cosisin n k kk zr nn 0 1 1kn nN 1 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 当时 1n k z均匀分布在半径为的圆上 且 1 n r 1 0 0 n k k z 其证明可利用复数的指数形 式 把 1 2 exp i n k k zr n 看成是公比为复数 2 exp i n 的数列 故其和为 11 1 00 2 exp i nn n k kk k zr n 1 2 exp i1 exp i0 2 exp i1 n n n r n n 连 线 的 中 点 为 以为 顶 点 的 三 角 形 的 重 心 为 可推广为以为顶点的多边形的重心为 12 z z 12 zz 2 3 123 z zz 123 zzz 1 n zz 1 1 n k k z n 复数的共轭izxy izxy 22 i i z zxy xyxyz 2 2zzx 所以非零复数的倒数z 222 1ii zxyxy zzzxyz 112 1 22 22 1 zz z z zzz 设以为顶点的三角形 123 z zz 1 23 z z z 1 如 1 23 z z z 的外心位于原点 则三角形的垂心位于 12 zzz3 2 1 23 z z z 的面积为行列式 123 123 111 i 4 zzz zzz 有正负号 以为端点的直线段的中垂线方程为 12 z z 12 zzzz 以为圆心 半径为的圆方程为 0 z0r 0 exp i zzr 以为 焦 点 实 轴 长 为 12 z z2a 0 12 0 2zza 02a 12 zz 的 双 曲 线 方 程 为 12 2zzzz a 若三不同点共线 123 z zz 12 32 zz kR zz 0k 2 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 定理 点共圆 特殊情况共线 相当于半径无穷大的圆 的充分必要条件是 1234 z zz z 1324 1423 zzzz R zzzz 当0 时 表示有点重合 例 证明 共线存在三个不全为零的实数 123 z zz 123 满足 123 0 1 12233 0zzz 证明 必要性 若三不同点共线 123 z zz 12 32 zz R zz 123 1 zzz0 若三点中有两个相同 不妨设 12 zz 2 zz3 则以上论证仍成立 若三个点相同 则 123 11 0 22 zzz 满足要求 充分性 不妨设 3 0 实数 123 满足 123 0 解出 12 3 代入 1 12233 0zzz 得 331221 zzzz0 即 312 213 zz R zz 共线 123 z zz 向量与向量平行 1 zz 243 zz 12 34 0 zz kR k zz 向量与向量垂直 1 zz 243 zz 12 34 i 0 zz k kR k zz 用复数可以方便地证明平面几何中的三点共线 四点共圆 线共交点的问题 例 设三个模为 1 的复数满足条件 123 z zz 123 0zzz 证明是内接于单位圆 的正三角形的三个顶点 123 z zz 证 由 两边除以得 123 0zzz 1 z 2131 1 zzzz0 设 211 cosisinzz 1 3122 cosisinzz 则由 12 sinsin0 得 12 由 12 1 coscos0 得 1 12cos0 即 1 2 3 2 2 3 故点 是内接于单位圆的正三角形的三个顶点 各点乘以后只是幅角增加同一值 故是 内接于单位圆的正三角形的三个顶点 213 1 zz zz1 1 z 123 z zz 例 设模为 1 的四个不同的点之和为零 证明这四点是矩形的顶点 1234 z zz z 3 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 证明 不妨设这四点在单位圆上按逆时针排列 则 1234 zzzz 由复数性质知 12 zz 分别在及 3 zz 412 z Oz 34 z Oz 的角平分线上 因此 12 zz 0 三点成 一线 从而三点共线 三点共线 且 3 zz 4 341 0 zz 2 0 zz 13 zz 2 zz4 是圆的直径 因此四 点为矩形的顶点 例 证明三个不相等的复数组成一个正三角形的三个顶点的充分必要条件是 123 z zz 222 123233 11 zzzz zz zz z 2 证明 为正三角形 三个外角都等于 1 23 z z z 2 3 即 3213 2132 argarg2 3 zzzz zzzz 且三边都相等 即 213212 zzzzzz 3213 2132 zzzz zzzz 2 321321 zzzzzz 222 123233 11 zzzz zz zz z 2 例 求 11 arctan1arctanarctan 23 之值 解 所求角度为图上三个角度之和 1i 2i 3i 13i 3i 10i 首先 三个角度均大于零但不大于 4 其和大于 2 小于3 4 根据复数相乘 幅角相加的性质 得所求之值为 2 例 证明平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和 证明 把平行四边形的一个顶点放在原点 1 Oz Oz2 是四条边的两条边 还有一个顶点是 则 1 zz 2 2 121212 zzzzzz 22 121212 zzz zz z 2 121212 zzzzzz 4 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 22 121212 zzz zz z 两式相加得 222 121212 2 zzzzzz 2 22 其中是一条对角线 是另一条对角线 证毕 1 zz 1 zz 例 设 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 2 7 的旋转 表示坐标平面关于轴的 镜面反射 用 y 表示先做 再做 的复合 用 n 表示连续做次n 的变换 求运算 432 的结果 解 利用复数的乘法规则 运算 对复数 cosisin zr 的作用是增加幅角 7 运算 对复数 cosisin zr 的作用是把幅角改为 因此 逐步运算幅角的变化 是 2 7 9 7 2 5 7 2 7 3 4 7 11 7 4 3 7 例 在的 ab 边外作正方形 afeb 在 ac 边外作正方形 acgh 证明 abc 1 的高 ao 平分 fh abc 2 的中线 am 的长度为 fh 的一半 abc 证 1 选取坐标系 使的底边 bc 边在实轴上 高 ao 的垂足 o 在原点 故可设 a abc i 0 如图 b c为 实 数 故 ifaab haca i f h连 线 的 中 点 i i 222 fhcbcb qa 在虚轴上 因为高 ao 也在虚轴上 所以高 ao 平分 fh 2 2 hfbca 2 bc m 5 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 2 bc maa 2 2 bca 1 2 2 bca 1 2 hf 证毕 例 求的最大值 其中是实数 复数 2 zkz 1 kizxy 位于单位圆 上 1z 解 22 1 zzkzzkzz zzkz zkz 2 xk 2 k 得最大值 2 k 例 求 2 22 1 i zz z 的最大值 其中 1z 解 故 2 22 1 i 1 izzzz 2 22 1 1 i zz zi z 2 1 i 121 2 例 设复数满足 12 z z 112 zzz 1 2 1 i 3 z za a是非零实数 求 2 1 z z 解 由 得 112 zzz 1 11212 z zzzzz 1 12 11 222 z zz zz zz z 消去 1 1 z z得 2 11 222 0z zz zz z 由 1 2 1 i 3 z za 得 1 2 1 i 3 z za 代入上式得 22 2z za 222 112 21 i 2 1 i 3 zz za zz za 3 例 如果复平面上的动点在半径为的圆 zr0zr 上运动 求动点 1 wz z 的轨迹 解 设 cosisin zr 0 2 则 111 cosisinwzrr zrr 在复平面上就是iwxy 1 cosxr r 1 sinyr r 故当时 轨0 1rr 6 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 迹为椭圆 半长轴为 半短轴为 11 r r rr 焦距为 4 当1r 时 轨迹为直线段 2 2 0 xy 例 设复平面上一个多边形的任一个顶点都存在正整数 该顶点可以写成形式 其中 证明原点不在这个多边形 k 21 1 k zzz 1z 的边界上 证明 先证明原点不是多边形的顶点 不然 21 1 1 0 1 k k z zzz z 得 1 k z 即 与 矛盾 1z 1z 1 1 1 mm mnm zzz zzz n z n z 即1 1 m z 由于 故11z 1 1 1 mn zz 矛盾 例 求 2 22 1 zz zi 的最大值 其中复数满足 z1z 解 2 22 1 i 1 i 1 i1 i zzzz zz 1i z 在 1 i 2z 时达到最大 值12 例 在实数范围内把 432 1xxxx 作因式分解 解 所以 4325 1 1 xxxxxx 1 432 1xxxx 在复数范围内有因子 22 cosisin 55 kk x 1 2 2 1k 取互为共轭的因子相乘得因式分解 2 2 22 cossin 55 x 2 2 44 cossin 55 x 2 2 2 cos1 5 xx 2 4 2 cos1 5 xx 7 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 例 已知 1z 155i cossin 22 z z 求 z 解 1 1 55i cossin 22 zz z z zzz 故可设 cosisin zr 1r 故得 15 cossin cossin 2 rii r 故2r 即2 cosisin z 例 已知 求 1 2z 2 3z 12 zz 4 1 2 z z 解 由得 12 4zz 1 1221 21 2 16z zz zz zz z 将 1 2z 2 3z 代入得 1 21 2 3z zz z 把 2 2 9 z z 1 1 4 z z 代入 12 21 94 zz zz 3 即 2 11 22 934 zz zz 0 解 得 1 2 1 i 15 6 z z 例 求 3 z z的非零解 解 两边乘以得到z 4 0zzz 故 两边取模可见 2 z z1z 从而得 1z iz 例 若 求的值 3 1z 32 222zzz 0 解 由 得 故或 3 1z 2 1 1 0zzz 1z 这时 32 222025zzz 或 这时 2 10zz 322 222012 1 1819zzzzz 例 若 求的值 1 1zz 20132013 zz 解 由得 为三次方程 1 1zz 2 1zz z 3 10z 的虚根 22 cosisin 33 z 因是 3 的整数倍 故 2013 20132013 1 12zz 例 设 求 5 10w 1w 2 1 1w ww 的值 解 因 5432 1 1 1 wwwwww 1w 故 32 1w www 1 故 232 1 1 1 w www www 1 例 若有 使得 其中 0a 22 20zazaa 1z 求 a 解 由 故 22 20zazaa 2 zaa 例 设在复平面上 动点在连接zz2 2iAB 的线段上 求 2 wz 的轨迹 解 设 在线段上 izxy 2 2 2i2 zBA tt 0 1 t 2222 222i 4 1 8i 1 wzttttt t 故轨迹为 4 1 2 8 1 xt ytt 或消去t化为抛物线的一部份 0 1 t 2 1 2 8 yx 4 4 x 11 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 例 求方程的根 322 292xkxk xk 70 解 虽然三次方程有卡丹求根公式 但不实用 本题可用因式分解来做 因为当时有因子 所以设有一个因子为 30k 3x x 其中 是一个和有关系 的量 因式子中有k的一次方 我们可设因子为 k 3 xak 是一个待定数 a 把除以 3 322 292xkxk xk 7xak 得到 2 2 3 xa kx 因为常数项为 的一次项 为了在余式中不含项 必须取k92k 7 2 k1a 故分解得 3222 2927 3 3 9xkxk xkxkxkx 故得解 1 3xk 2 2 3 3 3 2 kk x 36 例 设 是的一个根 令 3 310f xxx 2 2 2 若是一个有理系数的二 次多项式 满足条件 h x h 求的值 0 h 解 1 1 2 2 22 2 2 1 2 88 2 xx f xxx x 所以 22 2 4 8 8 22 f 2 得 2 2 2 设 2 h xaxbxc 则 22 2 2 2 2habcabc 0 整理得 2 42 228bbacba 左边一个关于 的有理系数的二次多项式 它不是 f x的根因式 因此应恒为零 故 所以2 1 2 2bac 0 2hc 12 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 第二讲 向量与几何 知识点 既有大小又有方向的量称为向量 非零向量有一个起点和一个终点 用箭头指向向 量的终点 例如用AB 表示起点为 A 终点为 B 的向量 向量AB 的大小称为模 记作AB 长度为零的向量称为零向量 记为0 零向量没有确定的方向 长度等于 1 个单位长度的向 量称为单位向量 在直角坐标系中向量AB 的表示方法是平移向量 使得向量起点A与原点 重合 把平移后向量的终点的坐标表示该向量 实际上就是终点OB的坐标减去起点A的 坐标 向量在平面坐标中用 x y 在三维空间坐标中用 x y z表示 其中 x y z分别是向 量的 x y z轴的坐标 以上定义的向量是自由向量 就是说一个向量可以自由地任意平移仍看作是同一个向 量 坐标系中的点的坐标可以看作一个起点为原点的向量 但这个向量不是自由向量 设是两个向量 则 a b ab是一个向量 其坐标各分量为对应分量的和 a b ab是一个向量 其坐标各分量为对应分量的差 a b 设 是实数 a是一个向量 其坐标各分量为a的对应分量与 的乘积 非零向量a 平行的充要条件是存在非零实数b 使得 ba 当0 时两向量同向 0 1ab 证明 nN 22 21 1 2 nn n ab 证明 因 2n yx 是凸函数 故 2 22 2 11 222 n nn n ab ab 故 22 21 1 2 nn n ab 定理 设 f x为区间I上的二次可导 则 f x是凸函数的充要条件是 0fx xI 当 0fx xI 时的凸函数称为严格凸函数 对于严格凸函数 当且仅当 1 n xx 18 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 时 1 的等号成立 例 加权平均不等式 设 0 k a 0 k 1 kn 1 1 n k k 则 11 nn k k kk a kk a 当且仅当都相等时等式成立 2 k a 证明 当中有等于零的时 不等式自然成立 现只需考虑都是正数的情况 k a k a 因 exp x是严格凸函数 所以 111 explnexp ln k nnnn kkkkk kkkk aaa 1 kk a 当且仅当都相等时等式成立 证毕 k a 当 1 k n 时 2 式就是非负数的几何平均不大于算术平均 1 k n 1 11 1 n nn k kk a n k a 3 3 式的最简单的应用就是不等式2abab 0a b 例 求 sincos 2sincos y 的最小值 解 令sincost 则因 2 sincos 12sincos 2 1 2 2 t y t 2 22 1 2 2 t t 2 2 4 2 3 2 2 tt t 23 23 22 2 t t 2 应用2abab 在2t 3 即32t 时达到最小值32 例 设 0 ik a 1 kn 0 i 1 im 1 1 m i i 则有不等式 1111 immnn i ikik kkii aa 4 证明 当上式右边等于零时 显然左边也等于零 故设上式右边不等于零 利用不等式 2 得 19 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 11 11 1 11 i mn i i ik nn ki ik n mn ki ik ik k ki a a a a 11 1 nm ik i n ki ik k a a 1 1 1 n ik m k i n i ik k a a 1 1 m i i 当且仅当个向量 m 1 ii aanm1 i 成比例 证毕 当 2m 1 p kk ax 2 q kk ay 1 1 p 2 1 q 12 1 时 就是 H lder 不等式 1 1 111 pq nnn pq kkkk kkk x yxy 5 当且仅当向量 1 pp n xx与成比例时等式成立 1 q n yyq 2 在 5 式中取 时 5 式就是柯西不等式 2m 2pq 1 21 2 2 111 nnn kkkk kkk x yxy 6 当且仅当向量 1 n xx与 1 n yy成比例时等式成立 在 5 式中取 1 k k ss a x b 1 ss kk yb 则得权方和不等式 1 1 1 1 111 s ss s nnn k k s kkk k a a b k b 7 当且仅当向量量与成比例时等式成立 1 n aa 1 n bb 7 又可写为 1 1 111 ss s nnn k k s kkk k a a b k b 8 例 当 0 2 x 求 81 sincos f x xx 的最小值 解 令 则1 2s 11 22 41 sin cos ss ss f x xx 应用权方和不等式 取 则 1 4a 2 1a 2 1 sinbx 2 2 cosbx 1 2 122 5 5 41 sincos sxx 1 2 11 2 1 21 221 2 41 sin cos f x xx 20 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 当 22 sin 4cosxx 时即时等号成立 故最小值为tan2x 5 5 例 设 0 ik a 1 kn 证明 Minkowski 不等式 1 im 1p 1 1 1111 p pp nmmn p ikik kiik aa 证明 令 则 1 m ki i s k a kki sa 1 1 1 11 p mn ppp ikk ik as k k 111 p nnm p kik 由 H lder 不等式 得 1 1 1 111 p p mnn pp ikk ikk as 1 1 1 111 pp nmn pp ki kik sa 即 1 1 1 1111 pp nnmn ppp kkik kkik ssa 即 1 1 111 pp nmn pp ki kik sa 证毕 柯西不等式 6 的另一证明 若向量 1 0 n yyy 上不等式成立 若 则由于 1 0 n yyy 2 1 n k k 222 111 0 2 nnn kkkkk kkk xyyx y x 这二次方 程非负 故其判别式不大于零 故得柯西不等式 6 例 取 n 维向量 1 n xx及向量 应用柯西不等式 得 1 1 2 2 11 nn kk kk xnx 即 2 11 11 nn k kk k xx nn 此即算术平均的绝对值小于等于平方平均 例 设 0 k a 0 k 证明 2 111 nnn k kkk kkk k a aa 证明 把柯西不等式应用于分量为 k k a kk a 的两个向量上就可以了 例 设 或 证明 0 k x 1p 0p 0 k y 1 kn 则 1 1 11 11 rq nn r k kk y nn q k y k 10 证明 令 1pr q q k xy 则由不等式 9 推得本不等式 10 8 式表示平均数 1 1 1 p n p k k x n 是p的单调减函数 这个性质可以用来记忆不等式 例 非负数的算术平均数不小于几何平均数 证明 我们已用凸函数理论证明过了 现用数学归纳法证明 1 11 1 n nn kk kk xx n 0 k x 当时 不等式成立 如果1n k x中有等于 0 的不等式也成立 现假设 12 0 n xx x 如果 1n xx 则等式成立 故设 1n xx 作归纳假设 1 1 11 11 1 1 n nn kk kk n xxx n 0ab 1 11 111 111 111 nnn nnn kkkn kkk 1 1 n k k xxxx nnn x 1 1 11 1 1 n nn nk kk k xx n x n 可见只有在各数都相等时才成立等号 证毕 例 正数的几何平均数调和平均数 在各数相等时等式成立 证明 设 0 k x 1 k 将非负数的算术平均数不小于几何平均数应用到 1 k x 得到 1 1 11 1 1111 n nn n n kk kk k k nxx x 即 1 1 1 1 n n kn k k k n x x 证毕 22 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 例 设 求 0a b c 1abc 22 11 abc ab 2 1 c 的最小值 解 由平方平均算数平均 得 2222 1 c 111111 3 abcabc abcab 2 1111 1 3abc 由算术平均大于调和平均得 1119 9 abcabc 故 222 111100 3 abc abc 当时达到最小值 1 3abc 例 设 求 222 1xyz 22 111 2 xyz 的最小值 解 利用算术平均大于等于调和平均 222222 1119 9 xyzxyz 例 设 成等差数列 证明 0a b c 22 1 1 1 abc2 2 ac b 证 两次运用算术平均几何平均得 222 c 1111 2ba 2 11 2 ac ac 故 2 ac b 例 求 22 53 cos 2 sin f a babab 的最小值 解 根据 22 1 2 2 xyxy 当xy 时等式成立 得 2 1 53 cos 2 sin 2 2 f a bbb 当1 0ab 时达到最小值 2 例 设 求的最小值 22 2ab 6ab 解 22 1 1 2 22 2 1 1 2 ab 2 abab 9 故3ab 当 1 2 21 2 a b 时 即时达到最小值 3 2ab 2 例 证明1x 时 1 log 1 log 2 xx xx 证明 1x 时 2 1 lg 1 lg lg 2 log 1 log 2 lg lg 1 xx xxx xx xx 2222 4lg lg 2 lglg 2 lg 1 4lg 1 xxxxxx 例 设 证明 1n 1 0 n xx 12 1 n xxx 证明 考虑向量 22 11 1 1 nn xxxx 22 11 1 1 1 1 nn xxx 4 22 11 11 1 1 1 nn n xxxxn 2 x 由柯西不等式 22 11 22 11 11 1 1 1 1 nn nn 2 xxxx xxxx n 因为 3 33 11 3 1 nn xxxx nn n 所以 2233 111 2 1 1 1 1 1 nnn xxxxxx n 故 4 22 11 11 1 1 1 nn n xxxxn 2 例 设是常数 求0c 0 x n c x x 的最小值 解 由算术平均不小于几何平均得到 1 1 n nnn cxcc xn xnxn 是最小值 例 已知 求 0a b 1ab 44 ab 的最值 解 4442222 4 2 1 42 2 1 ababab ababababab 1 2 1 0 24 ab ab 故的最小值为 1 8 最大值为 1 4 ab 4 例 已知对xR 求coscos21axbx ab 的最大值 解 令 即coscos20 xx 证 422 3 2 1 4 f xxxxx 2 42 322 2 433 xxx 2 3 例 已知 x y都在区间 2内 且 2 1xy 求函数 2 49 49 u 2 xy 的最小值 解 2 49 49 u 2 xy 由调和平均不大于算术平均 22 11 1 41 xy 9 22 4 2 4 9 xy 由得 22 2abab 41 22 6 5xy 2 当 22 23 32 xy 时等式成立 故最小值为 12 5 例 已知非负实数 x y z w满足 2222 17 234 2 xyzwxyzw 求 xyzw 的最值 解 把条件化为平方和的形式以便应用柯西不等式 令 2222 1 2 1 3 2 2 16xyzw 1 2xa 1yb 3 2zc 由柯西不等式 2wd 5Sxyzwabcd 22222 4 4 16abcdabcd 所以8abcd 从而 3S 当且仅当 3 2x 1y 1 2z 0w 时等号成立 故最大值为 3 再求最小值 由于条件中的系数最大 最小值应当在w0 xyz 时达到 放大条件 为 2 17 4 2 SS 故 5 2 2 2 S 当0 xyz 5 2 2 2 w 时等式成立 故最 小值为 5 2 2 2 25 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 例 证明 22 3 1 xyxyxy 证明 22 3 1 xyxyxy 22 3 33xyxyy 222 3 33 3 2 y xyyy 4 22 333 242 y xy 3 4 y 22 33 1 24 y xy 0 例 证明 1 1 21 21 n k n k 1 k 关于 k 求和即得 例 设 求 0 x y z 10 2330 xyzxyz x y z 解 3 所以 23 20 xyzxyzxy 0 0 10 xyz 例 0 1 yx xy 求2xy 的最大值 解 当22 2xyxyyy 21 0 xy 时达到最大值 2 例 已知不等式组 2 7 2251 3xax 有惟一解 求 a 解 用配方法得 22 23 2 2 2 2 14 3axaa 2 故要有惟一解 只要 2 23 20a 即3a 例 设 0 2 x 求 sincosf xx x的值域 解 22 1sincossincosxxx x 当0 x 时 f x达到最小值 1 222 sincos 2 sincos 2 2 sincos 2 2fxxxxxx 2 故 当 3 4 2f x 4x 时 达到最大值 3 4 2 例 证明 2 1114 1 4912 n nn 2 1 k 然后求和即得 26 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 例 求方程222 3xxxx x n 1 重根号 的一切实根 解 显然是该方程的一个实根 n 2 时 方程为0 x 2 3xxx 2 2 3xxx 22 1 12xxx xx 2 1 12x x 32 2120 x 2 4 0 xxx 3 即 对于一切 n 2 是惟一非零实根 即 3x 3x 3xx 经代入方程检验是根 现证明 3 是惟一 的实根 如 则3x 3xx 这时 2 33xx x 代入方程中 得到3xx 矛盾 如03x 这 时2 33xx x 代入方程中 得到3xx 矛盾 例 设三次方程 32 10 xpxqx 没有虚根 求的最小值 p q 0 0 p q 证明 因 方程的根是负的 设为 p q 由韦达定理 1 3 3 3p 2 3 3 3 q 当时 方程的根为三重根3 3pq 1x 故的最小值都等于 3 p q 车贝雪夫不等式 设 kk xy为非负数列 则当两数列同为升序或同为降序时 1 1 1 111 111 mm nnn mm kkkk kkk xyx y nnn m m 当两数列一升一降时 不等式改号 1 1 1 111 111 mm nnn mm kkkk kkk xyx y nnn m m 27 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 几何中的公式 三角形的两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 大边对大角 sinsinABAB 证明 由外接圆半径为 1 由正弦定理2 sin a R2 A 由面积公式 11 sin 24 bcAS 两式相乘 得1abc 1111111 2 u abbcca 由算术平均不小于几何平均 11 abbcca 1 由 1abc cab v 等式当且仅当时成立 但这时1abc 3 1 3 R my 22 bxyz2 cm xy 构成某的三条边 ABC 证明 由于 故 要构成三角形 就只需abab acb c bca 故要求 22 22 xyxxyy m xy xyxxyy m xy 因xyx y 22 3xxyyxy 所以 22 23 xyxxyy xy 而 22 22 1 23 23 xyxxyyxy xy xyxxyy 因此当 23 23 m 时可以构成三角形 例 交大 2003 冬令营 用长度为 12 的篱笆围成长方形 一面靠墙 求围成面积的最大值 解 设靠墙边的长度为x 相邻边长为 则面积y 2 122 182 3 18Sxyxxx 29 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 当 时达到最大值 18 3x 6y 例 北大 2010 证明 当0 2 时 sintan 证明 设 sinf xx x 则 0 0f 在0 2 x 即 f x 在0 2 x sinxx 令 在 tang xxx 0 0g 0 2 x 即 g x在0 2 x tanxx 例 浙大 2008 在三角形中 证明ABC 2 coscos4sin 2 aA BC bc 利用三角和公式coscos2coscos 22 BCBC BC 利用正弦定理及三角和公式 2sincos sin 22 sinsin 2sincos 22 AA aA BCBC bcBC 2cossin 22 2sincos 22 BCBC BCBC cos 2 cos 2 BC BC 故原不等式就化为 2cos 2 2coscos4cos 22 cos 2 BC 2 BCBCB BC C 1 cos2 2 cos 2 BC BC 该式成立 算术不等式不小于几何不等式 故得证原式 例 一张纸上画有半径为 R 的圆和圆内一定点 A 圆心到 A 的距离为 折叠 纸片 使圆周上某点 a0Ra A 与 A 重合 这时有一条直线折痕 当A 取遍圆周上一切点时所有折 痕所在的直线上点的集合 解 建立平面直角坐标系 圆心为原点 OA 所在直线为 x 轴 圆内定点为O 0 A a设圆 上任一点为 cos sin A RR 折线所在直线为AA 的中垂线 则中垂线方程为 222 cos sinxayxRyR 2 化简得 2222 22 sincos 2sin RaaxR yxR xy 30 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 其中 22 cos y xy 22 sin x xy 所以 22 22 2 sin 2 Raax R xy 所以 2 22 22 2 1 2 Raax R xy 展开 简化得到 22 22 2 1 2 2 2 xay RRa 2 即点集为一个椭圆的外部 含椭圆 几何中的重要不等式 竞赛内容 到三角形三顶点距离之和最小的点称为费马点 当三角形的三内角均小于 120 时 费马点在三角形的内部 费马点到三顶点的连线之间 的角均为 120 当有一内角大于或等于 120 时 费马点就是这个角的顶点 到三角形的三顶点的距离的平方和最小的点是三角形的重心 三角形内到三边距离之和最大的点是三角形的重心 在周长一定的 n 边形的集合中 正 n 边形的面积最大 与之对偶的是 在面积一定的 n 边形中 正 n 边形的周长最小 当 n 趋于无穷大时 就是 在周长一定的简单闭曲线中 圆的面积最大 与之对偶的是 在面积一定的简单闭曲线中 圆的周长最小 欧拉定理 三角形的外接圆的半径 R 大于等于内切圆的半径 r 的 2 倍 2Rr 当且仅当正三角形时等 号成立 埃德斯 莫德尔不等式 三角形内任意一点到三顶点的距离之和大于或等于其到三边的距离 之和的两倍 当且仅当正三角形且该点为中心时等式成立 例 2002 中国女子奥数赛 设三角形ABC 的三条高分别是 AD BE CF 证明的 周长不超过的周长的一半 DEF ABC 31 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 证明 要证明 1 2 DEEFFDABBCCA 我们只要证明 CA BCFDDE DEEF ABEFFD 注意字母的轮换 只要证明其中之一 其余也可类似地得到 考虑三角形 BCFBCE 所以四点90FE B C E F共圆 而是该圆的 直径 作 BC E点关于 BC 的对称点E 则DEDE 且E 也在圆上 现要证明共 线 则根据直径是最大的弦 得到 F D E BCFDDEFDDE 同理可证 A B D E 四点共圆 C A F D 四点共圆 所以内接于圆的四边形 ABDE 的A 等于其对角的补角 内接于圆的四边形 CAFD 的EDC A 等于其对角的 补角 CDF BDF 所以BDFAEDCCDE 所以 F D E 共线 证毕 例 设的面积为 证明ABC S 22222 4 3 abcSabbcca 2 证明 令 by axy z czx 则由三角形性质 则0 2 cab x 0 2 abc y 0 2 bca z 故可以应用平均值不等式 这样变换的目的是使得三角形面积的海伦公式化为对称的形式 以便应用不等式 根据海伦公式 1 4 Scab abc bca abcxyz xyz 则要证的不等式经化简后等价于 33 xyyzzxSxyz xyz 两边平方后整理 等价于 yzzxxy xyz xyz 这等价于 1 2 xyzxyzxyzxyz xyz zyxzyx 由算术平均不小于几何平均 这不 等式成立 故原式成立 例 设 P 为锐角内任意一点 证明 P 点到三顶点的距离之和大于或等于 6 倍的内切ABC 32 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 圆半径 r 证明 已知 P 点到三顶点的距离之和的最小值点是费马点 所以只考虑 P 是费马点的情况 这时 设120APBBPCCPA PAx PBy PCz 由余弦定理 22 22 222 2 2 xyxyc yzyza zxzxb 由面积公式 2Sr abc 3 4xyyzzx 我们先求出xyz 与的关系 由 a b c r cotcot 22 BC ar cotcot 22 CA br cotcot 22 AB cr 得到与的关系 r 2222 2 2 4 3 3 4 xyzxyzxyyzzxxyyzzx 222 2 3 abcr abc 故 22 2 4 3 cotcotcot 222 ABC xyzr 2 2222 cotcotcotcotcotcot 222222 ABCABC r 再由ta在n 0 2 上是凸函数 所以由琴生不等式 2 2 22 2 12 3cot3cot3cot 666 xyz ABCABCABC r 2 72r 所以6xyzr 证毕 例 用怎样的最短曲线可以把一个正三角形分成等积的两部分 解 设曲线是从一条边进入 从另一条边出去 把三角形连同曲线关于两条边作对称延拓 得到一个梯形 再沿一条边延拓一次得到一个正六边形 其中的曲线延拓成一个封闭曲线 根据已知定理 最短的曲线应当是圆 三角形中的曲线的长度应当是 6 分之一的圆周长 如 果是从一条边进出的话 延拓一次得到一个封闭曲线 那么曲线最短的长度是 2 分之一圆周 长 所以不考虑一条边进出的情况 33 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 第四讲 三角与几何 本讲主要讲解利用三角函数的性质和三角形的定理进行解题的方法 知识点 在中 ABC sinsinsin4coscoscos 222 ABC ABC 一般的证明方法 把C角用 A B角表示 coscoscos14sinsinsin 222 ABC ABC 222 sinsinsin22coscoscosABCABC 222 coscoscos12coscoscosABCAB C 222 sinsinsin12sinsinsin 222222 ABCAB C 222 coscoscos22sinsinsin 222222 ABCAB C tantantantantantanABCABC cotcotcotcotcotcot1ABBCCA cotcotcotcotcotcot 222222 ABCAB C tantantantantantan1 222222 ABBCCA 例 证明 222 2cos2cos2cosxyzyzAzxBxyC 嵌入定理 证明 设 x y z为与的边成比例的量 则由正弦定理 ABC a b csinsin0yAxB 由射影定理 由此引出对于所有的 coscos 0zyAxB x y zR 成立不等式 22 coscos sinsin zyAxByAxB 0 2 展开 得 2222 sincos xyAA z 2 coscossinsin 2cos2cos0 xyABABzxByzA 即 222 2cos 2cos2cos0 xyzxyABzxByzA 即 222 2cos2cos2cos0 xyzxyCzxByzA 当 x y z为与的边成比例时等式成立 ABC a b c 在锐角三角形中任意角的正弦大于另一角的余弦 如sin ABC cosAB 在中外心重心垂心ABC OGH三点共线 包括共点 且2GHOG 若是的中点 则 DBC2AHOD 设内心是I 内接圆半径是 外接圆半径为rR 则 2OIR Rr 34 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 如连接AI交外接圆于M 则MIMBMC 正弦定理 等等 2 sinaR A 余弦定理 轮换得其余二公式 222 2cosbacacB 射影定理 轮换得其余二公式 coscosbaCcA 例 俄 2003 数奥 在直角中 ABC C 为直角 D为边上一点 ACK为BD上一点 且 证明ABCKADAKD 2BKDC 证明 设ABC KADAKD 故2BDC 902BAK 在ABK 中 由正弦定理 sin sin BAK BKAB AKB sin 902 sin AB cos2 sin AB 在ABD 中 由正弦定理 sin sin BAD BDAB ADB sin 90 sin 1802 AB cos sin2 AB 1 2sin AB 在中BCD coscos2CDBDBDCBD 所以 cos2 2sin CDAB 故 2BKDC 例 在中 N为ABC 40B 20C ABC 内一点 30NBC 求 20NAB NCB 解 用正弦定理求出线段比之间的关系 设NCB 分别在三个小三角形中应用正弦定理 在中ABN sin10 sin20 AN BN 在中BCN sin sin30 BN CN 在中CAN sin100 sin 20 CN AN 然后三式相乘得到关系式 sin10 sinsin100 1 sin20 sin30 sin 20 35 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 化简得sinsin 20 因020 称为符号函数 当时 方程两边乘以0c 22 sign b ab 当0 0cb 时 方程为0 x 法式方程可写为形式 cossin0 xyp p是原点到直线的距离 0p 在极坐标 r 下 法式方程化为如下 极坐标方程 cos p r 是极点到直线的距离 a是极轴和极点到直线的垂线间的 夹角 p 这样定义的单位方向 cos sin 称为是直线的法向 它垂直于直线 方向离开原点 法式方程的应用 点 00 xy到直线的距离可用法式方程得到d 00 cossindxyp 它的几何意义是 向量 00 xy在单位方向 cos sin 上的投影减去原点到直线的距离 当点与原点在直 线的同一侧时 在异侧时 在直线上时 0d 0d 求通过两条直线0 1 2 iii a xb yci 的交点的任一直线可以写成 11112222 0a xb yca xb yc 12 求两直线的交角的角平分线方程 把两直线写成法式方程cossin0 iiii xbd 后 角平分线方程为1 2i 111222 cossin cossin 0 xydxyd 它表 示了两条垂直的角平分线 当取 号时 得到的平分线的法线平行于方向 1212 coscos sinsin 121212 2coscos sin 222 当取号时 得到的平分线的法线垂直于上一平分线的方向 121 coscos sinsin 2 121212 2sinsin cos 222 40 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 斜截式方程 是斜率 不能表示与 y 轴平行的直线 ykxb k 点斜式方程 2 1 yyk xx 不能表示与 y 轴平行的直线 两点式方程 1 212 yyxx yyxx 1 1 可写成行列式的形式 11 22 1 10 1 xy xy xy 它可用于三点共线的判别 截距式方程 1 xy ab 直角坐标系下二次曲线的一般形式 22 222axbxycydxeyf0 其中不 全为零 a b c 记 abd bce def 2 acb Sac 它们时坐标平移和旋转下的不变量 1 0 当0 时是椭圆 特殊情况是圆 当0S 0 0 时是双曲线 当0 时是一对相交直线 0 2 0 当时是抛物线 当0 0 2 0afd 2 cab2 离心率1 c e a 焦 点参数 2 b p a 焦点参数的几何意义是过焦点且与实轴垂直的弦长的一半 左准线 a x e 右准线 a x e 准线的意义是 双曲线上的动点到焦点的距离与它到与焦 点同侧的准线的距离之比为 e 双曲线上动点到两焦点距离之差是常数 2a 41 清北学堂数学讲座 几何部分 刘永明 右支的极坐标方程为 1cos p r e 极点在右焦点 圆的标准方程 222 xyR 圆心在 00 xy半径为