“弦图”巧解题.doc

“弦图”巧解题 【摘 要】充分运用“弦图”解题，发挥几何图形形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。 【关键词】基本图形；弦图；解题 在学习空间与图形的过程中，我们经常会发现有一些图形对解决相关的问题起着重要的作用。基本的图形所呈现的数学语言具有确定性、简洁性及抽象性等特点，具有其它语言不可替代的优越性。它们不仅跟文字一样具有记录作用，有利于形象记忆，也有思想交流的功能。丰富的表象，往往有助于我们清楚地分析题中的数量关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果，给我们解题提供一种有效思路。 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽就是我国古代数学家赵爽画的“弦图”。图中包含的四个全等的直角三角形，一大一小两正方形，我们曾借助正方形边长与直角三角形三边的关系来证明勾股定理。作为学生十分熟悉的基本图形，在解决许多习题时，却往往被忽视它的作用，不少几何题直接运用条件去推导往往比较复杂，若将图形进行适当的拼补，构造成一幅美丽而巧妙的“弦图”，其解答就在图中直接或间接地显示出来了。 下面我们就通过几个案例来看看“弦图”是如何发挥巧妙的作用的。 【案例一】“以形助数”： 如图，一直角三角形的面积为6平方米，两条直角边的差为1米，问：直角三角形的斜边长多少米？ 设两未知数列出一个二元二次方程组，是大部分学生会采取的方法，这样的解法思路是比较简单，但解方程的过程中运算量还是较大的。这里我们若用上“弦图”，“以形助数”，斜边就能很快地被求出来。构造“弦图”后，直角三角形被补成一个大正方形，而大正方形的边长显然就是这个直角三角形斜边的长，只要求出该大正方形的面积，所求的问题也就迎刃而解了。通过观察，我们可以发现拼成的“弦图”中间部分恰好是一个小正方形，这个小正方形的边长正好是一直角三角形两条直角边之差，所以大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，即S=64+1=25平方米，所以大正方形边长为5米，即直角三角形的斜边就是5米。与之前的列方程组相比较，这种构图法既直观又简单，深得学生的喜欢。 【案例二】“巧设坐标”： 如图，正方形的A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形A2B2P2P3，顶点P3在反比例函数（x0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 。 这是2011年宁波市中考卷填空题的最后一题，虽似曾相识，但又焕然一新，体现了数形结合的思想，重点考查了学生的数学综合能力。把反比例函数与正方形的知识相结合，借助看似平实简洁的问题设置，却凸显了数学思想方法在解题时的重要作用，学生必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活地加以运用。此题首先考查应用反比例函数和正方形都关于直线y=x的轴对称性得出P2坐标为（2，1），接下来我们对正方形A2B2P2P3作出“弦图”的分割，如右图，设较长直角边为a，则通过观察就能得出P3的坐标，可表示为（2+a，a），然后把P3的纵横坐标代入反比例函数解析式即可求出a的值，继而求出P3的坐标。此题正是应用了“弦图”的结构特征，把原本倾斜的正方形边长通过分割使之“改斜归正”，继而可以比较轻松的把线段的长度转化为点的坐标。 【案例三】“巧求边长”： 如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果那么AC的长等于 。 此题图形关系较复杂，而要把线段AB、AO转接成线段AC，对学生来说还是有点困难的。通过观察，要是能够发现ABO=OCG的话，在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG，利用OGCOAB和等腰直角三角形的相关知识还是能解决此题的。可是这种证明思路对学生来讲很难想到，往往一开始就“见题生畏”了，不过心中若有“弦图”，根据图形特征把“弦图”补全，就会有意想不到的效果。这里的AH就是小正方形的边长，而AO=，所以AH长度为12，又根据“弦图”特征，AB=HC=4，所以AC的长等于12+4=16。本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且对于此题的证明思路显得更加清晰，证法更加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵。 【案例四】“面积问题”： 在直线l上摆放着三个正方形。 （1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a，b。斜着放置的正方形的面积S= ，两个直角三角形的面积和为 ；（均用a，b表示） （2）如图2，小正方形面积S1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积m1和m2，并给出图中四个三角形的面积关系； （3）图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用（1）和（2）的结论说明理由。 此题选自2011年中考复习考试大纲的一道练习，对于第（2）小题的说理，事实上很多同学一开始找不到问题的切入口。我们可以把中间这个正方形作出“弦图”的分割，直角三角形的长直角边记为h，短直角边记为n，显然利用四个全等的直角三角形能理出四个三角形之间的面积关系：m1=ah=m3，m2=ah=m4。 【案例五】“拼图设计”： 如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52。 a，b的值可以是 （写出一组即可）； 请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： 此题选自2009年天津市中考题，作为填空最后一题，旨在考查了学生分析、解决问题的能力，考查学生对“弦图”的再认识及应用。一般性的裁剪方法再次利用了“弦图”的特征，裁剪线及拼接方法如右图所示，我们先把正方形ABCD划分出“弦图”结构，将图中的DCF绕D逆时针旋转90至DAG，即DCFDAG，DF=DG，说明了四边形DFIG是正方形；同理将CEB绕B逆时针旋转90至AHB，即CEBAHB，BE=BH，进而说明四边形EBHI是正方形。 其实能用“弦图”解决的数学题目还有很多，这些习题大凡有一个共性，涉及直角三角形或正方形，这时候我们选择补全“弦图”能更清楚地看到图中的数量关系、位置关系。充分运用“弦图”的特征解题，发挥几何图形的形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，能提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。事实上，数学基本图形众多，“弦图”只是其中一个，不同的基本图形有不同的性质，呈现的是不同的数学语言，体现的是各自特有的图形功能。在数学解题教学中，从已知条件的数字特征、代数式的特点及特定