高考数学总复习 第八篇 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 以锥体 柱体为载体考查线面垂直的判定 考查空间想象能力 逻辑思维能力 考查转化与化归思想的应用能力 2 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 运用公理 定理和已获得的结论 证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题 第5讲直线 平面垂直的判定及其性质 考点梳理1 直线与平面垂直 1 定义 若直线l与平面 内的一条直线都垂直 则直线l与平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条直线都垂直 则该直线与此平面垂直 线线垂直 线面垂直 即 a b l a l b a b p 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 即 a b 任意 相交 l 平行 a b 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 即 a a 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于的直线与另一个平面 即 a b a b 垂线 交线 垂直 a 助学 微博 一个转化垂直问题的转化关系 四种方法证明线面垂直的方法 判定定理 平行线垂直平面的传递性 a b b a 面面垂直的性质定理 面面平行的性质 a a 考点自测1 设 为不重合的平面 m n为不重合的直线 则下列命题正确的是 a 若 n m n 则m b 若m n m n 则n c 若n n m 则m d 若m n m n 则 解析与 两垂直相交平面的交线垂直的直线m 可与 平行或相交 故a错 对b 存在n 情况 故b错 对d 存在 情况 故d错 由n n 可知 又m 所以m 故c正确 选c 答案c 2 2012 安徽 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析若 又 m b b m 根据两个平面垂直的性质定理可得b 又因为a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 一定有b a 但不能保证b 即不能推出 答案a 3 m n是空间中两条不同直线 是两个不同平面 下面有四个命题 m n m n m n m n m n m n m m n n 其中真命题的是 a b c d 解析 中 由n 得n 或n 又m m n 故 正确 中 可能n 故 错误 中 直线n可能与平面 斜交或平行 也可能在平面 内 故 错 中 由m n m 可得n 又 可得n 故 正确 答案b 4 2012 浙江 已知矩形abcd ab 1 bc 将 abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折 在翻折过程中 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直d 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 答案b 5 如图 已知pa 平面abc bc ac 则图中直角三角形的个数为 解析由线面垂直知 图中直角三角形为4个 答案4 审题视点 1 由ph ad及ab 平面pad可证 2 以ad为 bcf的高 而点e到平面bcf的距离可借助ph垂直底面abcd求得 3 取pa的中点m 可证dm綉fe 且dm 平面pab 从而得证 1 证明因为ab 平面pad ph 平面pad 所以ph ab 因为ph为 pad中ad边上的高 所以ph ad 因为ph 平面abcd ab ad a ab ad 平面abcd 所以ph 平面abcd 所以四边形mefd是平行四边形 所以ef md 因为pd ad 所以md pa 因为ab 平面pad 所以md ab 因为pa ab a 所以md 平面pab 所以ef 平面pab 方法锦囊 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直 途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直 推证线线垂直时注意分析几何图形 寻找隐含条件 三角形全等 等腰梯形底边上的中线 高 勾股定理等都是找线线垂直的方法 训练1 如图 已知bd 平面abc ac bc n是棱ab的中点 求证 cn ad 证明 bd 平面abc cn 平面abc bd cn 又 ac bc n是ab的中点 cn ab 又 bd ab b cn 平面abd 而ad 平面abd cn ad 考向二平面与平面垂直的判定与性质 例2 2013 镇海模拟 在如图所示的几何体中 四边形abcd是正方形 ma 平面abcd pd ma e g f分别为mb pb pc的中点 且ad pd 2ma 1 求证 平面efg 平面pdc 2 求三棱锥p mab与四棱锥p abcd的体积之比 审题视点 1 证明gf 平面pdc即可 2 点p到平面mab的距离为da 分别求体积 1 证明因为ma 平面abcd pd ma 所以pd 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pd bc 因为四边形abcd为正方形 所以bc dc 又pd dc d 所以bc 平面pdc 在 pbc中 因为g f分别为pb pc的中点 所以gf bc 所以gf 平面pdc 又gf 平面efg 所以平面efg 平面pdc 方法锦囊 证明面面垂直的方法有 一是定义法 即证明两个平面的二面角为直二面角 二是用判定定理 即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线 也就是把 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 又将 线面垂直 问题进一步转化为 线线垂直 问题 训练2 如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce ec ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 审题视点 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 1 证明由条件知四边形pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 又pq 平面pdaq 所以pq dc 方法锦囊 1 对于三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与体积结合的问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 训练3 如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥pabcd的体积 审题视点 1 转化为证明ac 平面pdb 2 ae与平面pdb所成的角即为ae与它在平面pdb上的射影所成的角 1 证明 四边形abcd是正方形 ac bd pd 底面abcd pd ac 又pd bd d ac 平面pdb 又ac 平面aec 平面aec 平面pdb 方法锦囊 求直线与平面所成的角 一般分为两大步 1 找直线与平面所成的角 即通过找直线在平面上的射影来完成 2 计算 要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 热点突破16立体几何中的折叠问题 命题研究 通过近三年的高考试题分析 对立体几何中的折叠问题的考查 主要是由平面图形翻折成多面体来考查线面 面面的平行 垂直 题型多为解答题 题目难度中等 真题探究 2012 北京 如图 a 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图 b 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 解法 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd 所以a1f 平面bcde 所以a1f be 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 所以a1c 平面dep 从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 反思 在处理空间折叠问题中 要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等 关键是点 线 面位置关系的转化与平面几何知识的应用 注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同 盲目套用容易导致错误 经典考题训练 试一试1 2009 浙江 如图 dc 平面abc eb dc ac bc eb 2dc 2 acb 120 p q分别为ae ab的中点 1 证明 pq 平面acd 2 求ad与平面abe所成角的正弦值 1 证明因为p q分别为ae ab的中点 所以pq eb 又dc eb 因此pq dc 从而pq 平面acd 2 解如图 连结cq dp 因为q为ab的中点 且ac bc 所以cq ab 因为dc 平面abc eb dc 所以eb 平面abc 因此cq eb 故cq 平面abe 试一试2 2011 浙江 如图 在三棱锥pabc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角amcb为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 解 1 证明 由ab ac d是bc的中点 得ad bc 又po 平面abc 得po bc 因为po ad o 所以bc