第6讲 加法原理.doc

加法原理 所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。 笛卡尔 我们先看下面的问题： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9（种）不同的走法。 一般地，有如下原理： 加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有 N=ml+m2+mn 种不同的方法。 应用加法原理的关键是分类，即将所有计数对象依据同一标准，分为不重不漏的若干类。 应用加法原理的解题步骤是： 请同学们注意乘法原理与加法原理的不同之处。乘法原理中，做一件事要分成若干步骤，所有步骤一个接一个地完成，这件事方算完成，其中每步骤都是必不可少的，在加法原理中，把做一件事的各种方法分成好几类，每一类中的任何一种方法都能完成这件事。 例1 有人顺序写数1，2，3，9，10，11，一直写到1000，一共写了多少个数字？其中写了多少个0?把所写的数字分成4类：一位数，两位数，三位数，四位数，然后分类计数。 为了计算共写了多少个O，对写的O也进行分类，写在个位上的0，写在十位上的0，写在百位上的O，写在千位上的0，共4类，再分类计数。 解:写的数中，一位数共9个，写出这9个一位数共写了19=9（个）数字；写出的两位数共90个，共写了290=180（个）数字；写出的三位数共900个，共写了3900= 270（个）数字；写出的四位数共1个，共写了4x1=4（个）数字。 因此共写9+180+2700+4=2893（个）数字。 写在个位上的0，每隔10个数出现一次，共计100010=100（个），十位上的O，前99个数中没有，从100起，每100个数中都有连续10个数的十位数字是0, 100-109，200-209，900-909，还有1000，共109+1=91（个）；百位上的0，只有l000这个数有，计1个；千位上的0未出现，计0个。于是数字0共写了100+91+1=192（个）。 答：一共写了2893个数字。其中写了192个0。 例2 1995的数字和是l+9+9+5=24。问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？ 解：小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23。因为十位、个位数字和最多为9+9=18，因此，百位数字至少是5于是 百位为5时，只有1599 -个； 百位为6时，只有1689，1698两个； 百位为7时，只有1779，1788，1797三个； 百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个； 百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个； 总计共1+2+3+4+5 =15（个）。 例3有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问：要安排多少次会谈场次？ 解由乘法原理，中英会谈需58个场次，英日会谈需56个场次，中日会谈需68个场次，这三类会谈互不重叠，由加法原理，共需 58+56+68=118 个场次。此题既用乘法原理，又用加法原理。例4从1至400的所有自然数中，不含数字53的自然数有多少个？ 分析与解从l至400的自然数可分为三类：一位数，两位数和三位数。 一位数中不含数字3的有8个：1，2，4，5，6，7，8，9； 两位数中不含数字3的有72个，这是因为十位上数字有1，2，4，5，6，7，8，9这8种取法，个位上数字有1，2，4，5，6，7，8，9，O这9种取法，根据乘法原理应有不含数字3的两位数89=72（个）。 三位数中不含数字3的有163个。除去400外，因百位上有1，2两种取法，十位与个位上均有0，1，2，4，5，6，7，8，9这9种取法，根据乘法原理，百位是l，2，而十位和个位均不含3的三位数共有299=162（个）。 根据加法原理，从1到400所有自然数中不含数字3的有8+72+163=243（个）。 答：从l到400的自然数中，不含数字3的自然数有243个。这道题还可以这样考虑：把一位数前面添两个O，两位数前面添一个0，比如2写成002，45写成045，这样一夹全变成了“三位数”。除去数400外，考虑不合数字3的这样的“三位数”的个数。百位上可以取0，1，2，有3种情形；十位与个位上均可以取0，l，2，4，5，6，7，8，9，各有9种情形，根据乘法原理，这样的数共有399 =243（个） 但是需要特别注意，数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数字400，这样，恰好仍有243个不含数字3的“三位数”，再重新删去添加在前面的0，得到的结果仍不变。 后面的解法给出了一种分析问题的特殊方法，采用这种特殊方法解题，有时既清楚又简便，希望同学们能够掌握。 例5 自然数1 15中含有两个数字1，那么从1到1000这1000个自然数中一共有多少个数字l? 分析与解暂不考虑l000。如同例4，在一位数和两位数前面添O写成“三位数”。这样的“三位数”中所含数字1的个数与没有添0前是完全一样的。将全部“三位数”分为三类： 首先，含一个数字1的“三位数”有243个，因为这个1可在个位、十位、百位上，有三种不同情形，其他两个数位上均可有O，2，3，4，5，6，7，8，9等9种情形，根据乘法原理，有399=243（个）。 其次，含两个数字l的“三位数”有27个。这是因为这两个l可在百位与十位、百位与个位、十位与个位，有三种不同情形，剩下一个数位上可以是0，2，3，4，5，6，7，8，9等9种不同情形，根据乘法原理，有39=27（个）。 含三个数字l的仅有l11这一个数。 根据加法原理，从l到999的自然数中，数字l的个数有1243+227+3l=300（个），再加上数1000中的一个数字1，共有301个数字1。答：从l到1000这】000个自然数中一共有301个数字1。本题的一和巧妙的想法是添0后的“三位数”：000，001，002，998, 999，共有3000个数字，又由于O，l，2，9的地位是对等的，因此每一种数字数目都是300个，再添加1000中的一个1，共301_个l出现，这也就是所要求的结果。 例6从19，20，21，92，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 分析与解从19到94共计76个不同的整数，其中有38个奇数，38个偶数。 若选取两数之和为偶数，必须且只需选取有相同的奇偶性的两个数，所以选取的方法数分为两类：第一类，选取两个不同偶数的方法数；第二类，选取两个不同奇数的方法数，依加法原理，这两类方法数的总和即为所求的方法数。 第一类是从38个偶数中选取两个不同偶数的方法数，先取第一个偶数有38种方法，从其余37个偶数中选择第2个有37种方法，依乘法原理，共有3837种不同的方法。但注意先选取第一个数，比如30，再选取第2个数，比如32，与先选第一个数32，再选第二个数30，得到的结果是同样的，所以总的选法数应该折半，即共有种不同的选法。第二类是从38个奇数中选取两个不同奇数的方法数，与上述方法相同，也种不同的选法。所以，选法总数是+= 3837 =1406（种）。 答：选法总数是1406（种）。 1有3个工厂共订300份辽宁日报，每个工厂最少订99份，最多订l01份。一共有 种不同的订法。 2数字和是4的三位数有 个。 3有许多1分、2分、5分的硬币，要从这些硬币中取出0.10元，有 种取法。 4用1，9，9，5，四个数字卡片，可以组成 个不同的四位数。 5从八个班选12名三好学生，每班至少1名，共有 种选法。 6从1-9这九个数中，每次取两个数，这两个数的和必须大于10，共有 种取法。 7从2，3，5，7，9，五个数字中，选出四个数字组成被3和5除都余2的四位数，这样的四位数共有 个。 8用0，1，2，3，8，7，六个数字可以组成 个能被9整除而又没有重复数字的四位数。 9有一批长度分别为l，2，3，4，5，6，7，8，9，10和1l厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取三根木条作为三条边，可能围成 个不同的三角形。 10如图6-1，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有_ _种栽种方案。 11小明为了练习加法，做了分别写着l，2，3，4，5，6，7，8，9，l0这十个数的卡片放在右边的抽屉里，又做了同样的十张放在左边的抽屉里，然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法这样，一共可以组成多少个不同的算式？其中和为偶数的情况有几个？（1+2