07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答.doc

2007年高等数学竞赛培训班线面积分练习题参考解答2006.5.13一.填空题(每小题3分,共15分)1.设为椭圆，其周长为，则.解：.2.设，则.解： .3.密度为的均匀金属丝对于轴的转动惯量.解： .4.设，则.解：.5.设，则.解：.评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意 不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行； 与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面关于（即平面）对称（包括侧也对称），则有也可利用轮换对称性。二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内)1.设曲线积分与路径无关，其中有连续的导数，且，则等于(A). (B) . (C) . (D). 答: ( D )解：2. 设,是在第一卦限中的部分，则有 (A) . (B) . (C) . (D) . 答: ( C )解：因为关于对称，关于也对称，且和 都是的奇函数、是的奇函数，于是，但，故（A）、（B）、（D）都不对.事实上，将视为密度时的质量，则显然有，再由在上的轮换对称性有.3. 设，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是 （A）. （B）. （C）. （D）. 答: ( B ) 解：因为关于（即平面）对称，和是的奇函数，而是的偶函数，故第一类曲面积分，；而第二类曲面积分，.类似地，有.4.设曲线：具有一阶连续偏导数）过第II象限内的点和第IV象限的点,为上从点到点的一段弧,则下列积分小于零的是 (A) . （B）. （C）. （D）. 答：（B）解： 不选（D）.5.设，则可化为二重积分(A) . (B) .(C) . (D) . 答: ( A )解：因为（一般地有），而的外侧即下侧，故，所以.三.(本题6分) 计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向.解：设为平面上由所围成部分的上侧，是在面上的投影域，则的法向量的方向余弦为， ，的曲面面积元素. 由Stokes公式，得 .另解：将其化为平面曲线积分. 记在面上的投影曲线为，则，取逆时针方向，所围域记为.因为，故原积分可化为 .四.(本题6分) 求密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量.解：.五（本题6分）计算，其中是球面与平面的交线.解：方法一 因为的方程可表示为，则其参量方程为.故 . 方法二 （表示的弧长）；而显然是平面上的圆周，为求周长只需求出其直径即可. 在的方程中令得圆周上的两点：和，易知就是的一条直径，于是.所以.六(本题6分) 计算积分，其中是依次联结点、和的有向折线段.解：直接计算较繁.添加直线段，构成闭合曲线，使用格林公式.记所围域为.，故.七(本题6分) 设对于半空间内任意的简单光滑有向闭合曲面，都有 ，其中有连续导数，且，求.解：设所围成的有界闭域为，由题设及Gauss公式得 . 由的任意性，知，即，解得.由得，故.八.(本题6分) 计算曲面积分，其中是曲面的上侧.解: 取为平面上由椭圆所围部分的下侧，由和所围空间区域记为.由Gauss公式，得 九. (本题8分) 计算曲面积分，其中是曲面在平面之上的部分的上侧.解: ,除点外,处处连续,且. 为顶点在的椭圆锥面的一部分,它在面上的投影域为:.采用挖洞法：设充分小,取为之下侧,又取为平面域之下侧,于是构成一封闭曲面,记其所围成的空间域为.由Gauss公式得 .十. (本题6分) 计算积分，其中，是锥面 在面上方的部分，取上侧.解：设的边界曲线为，则，取逆时针方向.故由Stokes公式得 .十一. (本题6分)设（），求解：方法一 （直接计算） 因为，故由轮换对称性得 . 方法二（利用形心坐标公式）显然的形心坐标为，于是，由此得；同理有，；故 .十二. (本题6分)计算曲线积分,其中为曲线(), 与轴正向成右手系.解: 取Stokes公式中的为曲面的上侧（注意：关于对称）,其上任意一点处的单位法向量,在平面的投影域为.于是 原式 .十三. (本题8分)1. 设是连续函数，为任意分段光滑的有向简单闭曲线，试证