辽宁省葫芦岛市高三数学二模试卷 理（含解析）.doc

辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数f（x）=ln（x2x2）的定义域为( )a（，0）（，+）bc（0， ）d（，0a0b1c2d34若双曲线=1（a0，b0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )ab1cd25已知数列an满足2an+1+an=0，a2=1，则an的前9项和等于( )a（129）b（129）c（1+29）d（129）6运行如下程序框图，如果输入的x（，1，则输出的y属于( )ab，求poq的面积s的取值范围21已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由（3）令h（x）=f（x+1）g（x），若x1，x2（x1x2）是h（x）的两个极值点，证明：（+ln2）x1h（x2）0请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于d（）证明：db=dc；（）设圆的半径为1，bc=，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点a的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点a在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆c的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系选修4-5：不等式选讲24已知f（x）=|2x1|+ax5（a是常数，ar）当a=1时求不等式f（x）0的解集如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围辽宁省葫芦岛市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数f（x）=ln（x2x2）的定义域为( )a（，0）（，+）bc（0， ）d（，0相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；在一个22列联表中，由计算得k2=13.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；已知随机变量服从正态分布n（2，2），p（5）=0.79，则p（1）=0.21；其中错误的个数是( )本题可参考独立性检验临界值表：p（k2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828a0b1c2d3考点：线性回归方程；命题的否定；独立性检验的应用；相关系数 专题：综合题；概率与统计分析：对选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；命题“x1，x2+34”的否定是“x1，x2+34”，正确；相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；在一个22列联表中，由计算得k2=13.07910.828，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系，故不正确；已知随机变量服从正态分布n（2，2），p（5）=0.79，则p（1）=p（5）=0.21，正确；故选：c点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、正态分布、回归直线方程等知识点，属于中档题4若双曲线=1（a0，b0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a+b的最大值为( )ab1cd2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=1，a2+b2=1，令a=cos，b=sin（0），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值解答：解：抛物线c1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的右焦点为（1，0），即c=1，a2+b2=1，令a=cos，b=sin（0），则a+b=cos+sin=sin（+）当+=时，sin（+）取得最大值1，即有a+b取得最大值故选：a点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，同时考查三角换元和正弦函数的图象和性质，运用两角和的正弦公式是解题的关键5已知数列an满足2an+1+an=0，a2=1，则an的前9项和等于( )a（129）b（129）c（1+29）d（129）考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：通过2an+1+an=0、a2=1可得数列an是以2为首项、为公比的等比数列，计算即得结论解答：解：2an+1+an=0，a2=1，a1=2a2=2，又=，数列an是以2为首项、为公比的等比数列，sn=，s9=（291）=（1+29），故选：c点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题6运行如下程序框图，如果输入的x（，1，则输出的y属于( )ab时，y=xex；当x（0，1时，y=xlnx；输出的y故选：a点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，属于基本知识的考查7某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是( )abc5d考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可解答：解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=故选d点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断出侧棱的最长棱是解题的关键，考查计算能力8如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界c1（虚线l上方部分）与下边界c2（虚线l下方部分）围成，曲线c1是函数y=+x 的图象，曲线c2是函数y=+x 的图象，圆的方程为x2+y2=8，某人向靶子射出一箭（假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的），则此箭恰好命中“心形”图案的概率为( )abc+d+考点：定积分在求面积中的应用；几何概型 专题：导数的综合应用；概率与统计分析：根据图象的对称性求出当x0时的面积，利用积分的意义，求出对应区域的面积进行求解即可解答：解：由y=+x=+x 得x=1，当x0时，y轴由此的面积s=dx=（2+xx ）dx=2dx+（xx ）dx，dx的几何意义为单位圆的面积，为，（xx ）dx=（xx）|=，则s=，故阴影部分的面积为2s=2（）=，大圆的面积s=8=8，故此箭恰好命中“心形”图案的概率p=，故选：b点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件结合积分的几何意义求出对应区域的面积是解决本题的关键综合性较强9已知f（x）=sin+sin的最大值为a，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，则a|x1x2|的最小值为( )abcd考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，求得 a|x1x2|的最小值解答：解：f（x）=sin+sin=sin2015xcos+cos2015xsin+sin2015xcoscos2015xsin=sin2015xsin+cos2015xcos+sin2015xcoscos2015xsin=sin2015x（sin+cos）+cos2015x（cossin）=sin2015x（+）+cos2015x（）=sin，cos=，sin=故f（x） 的最大值为a=由题意可得，|x1x2|的最小值为=，a|x1x2|的最小值为，故选：a点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，属于中档题10四棱锥sabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，sa平面abcd，且sa=2，则此四棱锥的外接球的表面积为( )a12b24c144d48考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：如图所示，连接ac，bd相交于点o1取sc的中点，连接oo1利用三角形的中位线定理可得oo1sa由于sa底面abcd，可得oo1底面abcd可得点o是四棱锥sabcd外接球的球心，sc是外接球的直径解答：解：如图所示连接ac，bd相交于点o1取sc的中点，连接oo1则oo1sasa底面abcd，oo1底面abcd可得点o是四棱锥sabcd外接球的球心因此sc是外接球的直径sc2=sa2+ac2=48四棱锥pabcd外接球的表面积为48故选：d点评：本题考查了线面垂直的性质、三角形的中位线定理、正方形的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知函数f（x）=ex的图象与函数g（x）=|ln（x）|的图象有两个交点a（x1，y1），b（x2，y2），则( )ax1x2bx1x21c1x1x2edx1x2e考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：分别画出函数f（x）=ex的图象与函数g（x）=|ln（x）|的图象，由图象可知，x1在0，5附近，1.5x21，由于本题是选择题，故估计范围即可解答：解：分别画出函数f（x）=ex的图象与函数g（x）=|ln（x）|的图象，如图所示，由图象可知，x1在0，5附近，1.5x21，x1x21，故只有b符合，故选：b点评：本题考查了函数的图象的画法和识别，属于中档题12已知函数f（x）=ex+x2（x0），g（x）=x24x+ln（x+t2），若f（x）的图象上存在一点p，它关于直线x=1的对称点p落在y=g（x）的图象上，则t的取值范围是( )a（，）b（，）c（，）d（，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得ex08x0ln（tx0）=0有负根，函数函数h（x）=ex8xln（tx）为增函数，由此能求出t的取值范围解答：解：f（x）的图象上存在一点p（x，y），关于直线x=1的对称点p（2x，y），ex+x2=（x2）24（2x）+ln（2x+t2）=（x2）24（2x）+ln（tx），即ex8xln（tx）=0，存在x0（，0），即ex08x0ln（tx0）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex08x0ln（tx0）也趋近于负无穷大，函数h（x）=ex8xln（tx）为增函数，h（0）=lnt0，lntln，t故选：d点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由已知中|=|=2，（+2）（）=2，可求出cos=，进而根据向量夹角的范围为0，得到答案解答：解：|=|=2，|2=|2=4（+2）（）=2展开得：|2+2|2=4cos4=2，即cos=又0故=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cos=，是解答的关键14若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k=2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小目标函数为2x+y=6，由，解得，即a（2，2），点a也在直线y=k上，k=2，故答案为：2点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15（x2y）5的展开式中的x2y3系数是20考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数解答：解：（x2y）5的展开式的通项公式为tr+1=（2）rx5ryr，令r=3，可得x2y3系数是20，故答案为：20点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题16在数列an中，a10，an+1=an，sn为an的前n项和记rn=，则数列rn的最大项为第4项考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得rn=，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：a10，an+1=an，=，sn=，s2n=rn=，比较r3，r4，r5可得当n=4时，rn取得最大值故答案为：4点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosc=（）求a、b的值；（）求sin（ac）的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（）根据余弦定理建立方程关系即可求a、b的值；（）利用两角和差的正弦公式即可求sin（ac）的值解答：解：（）由余弦定理c2=a2+b22abcosc，得c2=（a+b）22ab（1+cosc），又a+b=6，c=2，cosc=，所以ab=9，解得a=3，b=3（）在abc中，sinc=，由正弦定理得sina=，因为a=c，所以a为锐角，所以cosa=，因此 sin（ac）=sinacosccosasinc=点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键18如图，在多面体abcdef中，babe，babc，bebc，abef，cdbe，ab=be=2，bc=cd=ef=1，g在线段ab上，且bg=3ga（1）求证：cg平面adf；（2）求直线de与平面adf所成的角的正弦值；（3）求锐二面角bdfa的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）分别取ab、af中点m、h，连接fm、gh、dh，证明：四边形cdhg是平行四边形，可得cgdh，利用线面平行的判定定理证明cg平面adf；（2）建立空间直角坐标系，求出、平面adf的一个法向量，利用向量的夹角公式求直线de与平面adf所成的角的正弦值；（3）求出平面bdf的一个法向量，利用向量的夹角公式求锐二面角bdfa的余弦值解答：（1）证明：分别取ab、af中点m、h，连接fm、gh、dh，则有ag=gm，mfbe，ah=hf，ghmf，又cdbe，bemf，cdgh，四边形cdhg是平行四边形，cgdh，又cg平面adf，dh平面adf，cg平面adf；（2）解：如图，以b为原点，分别以bc、be、ba所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系oxyz，则a（0，0，2），c（1，0，0），d（1，1，0），e（0，2，0），f（0，2，1），=（1，1，0），=（1，1，2），=（0，2，1）；设平面adf的一个法向量为=（x，y，z），则有=xy+2z=0且=（=2y+z=0，解得：x=3y，z=2y，令y=1得：=（3，1，2），设直线de与平面adf所成的角为，则有sin=|=所以直线de与平面adf所成的角的正弦值为 （3）解：由已知平面adf的法向量=（3，1，2），=（0，2，1），设平面bdf的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），由=2y+z=0且=x+y=0 解得：z=2y，x=y；令y=1得：=（1，1，2），设锐二面角bdfa的平面角为，则cos=|cos，|=，所以锐二面角bdfa的余弦值为点评：本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的角，锐二面角bdfa的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键19某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对15号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案15号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，5），且pi=（i=1，2，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为x（元），求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件a利用独立重复试验求得概率（2）写出x的所有可能取值并求得其概率和分布列解答：解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件b，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件c；则，（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件a，则：a=a1ca2c 选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；（2）x的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；p（x=3000）=p（a1）=；p（x=6000）=p（a1 ca2）=；p（x=8000）=p（a1 ca2 ca3）=；p（x=12000）=p（a1 ca2 ca3 ca4）=；p（x=24000）=p（a1 ca2 ca3 ca4 ca5）=；p（x=0）=p（）+p（a1c ）+p（a1ca2c ）+p（a1ca2ca3c ）+p（a1ca2ca3ca4c ）=；（或p（x=0）=1（p（x=3000）+p（x=6000）+p（x=8000）+p（x=12000）+p（x=24000）=1）x的分布列为：x03000600080001200024000pex=0+3000+6000+8000+12000+24000=1250+1000+500+250+250=3250（元）选手获得的家庭梦想基金数额为x的数学期望为3250（元）点评：本题主要考查了独立重复试验和随机变量的期望，属中档题型，2015届高考常考题型20已知f1、f2分别为椭圆+=1（ab0）的左右焦点，a1、a2分别为其左、右顶点，过f2且与x轴垂直的直线l与椭圆相交于m、n两点若四边形a1ma2n的面积等于2，且满足|=|+|（1）求此椭圆的方程；（2）设o的直径为f1f2，直线l：y=kx+m与o相切，并与椭圆交于不同的两点p、q，若=，且，求poq的面积s的取值范围考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过l与x轴垂直，可得l的方程，利用四边形a1ma2n面积为2可知b2=1，利用|=|+|，计算可得结论；（2）通过直线l与o相切，可得点o到pq的距离d=1，通过联立直线l与椭圆方程，利用=及，可得|pq|可用k来表示，利用spoq=|pq|d计算即得结论解答：解：（1）l与x轴垂直，l的方程为：x=c，代入椭圆方程得：y=，四边形a1ma2n面积：22a=2b2=2，即b2=1 易知：|=a+c，|=，|=ac，|=|+|，a+c=+ac，即ac= 联立解得：a=，b=1，椭圆的方程为：；（2）由（1）可知o的方程为：x2+y2=1，直线l：y=kx+m与o相切，=1，即m2=k2+1，联立方程组：，消元整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，设p（x1，y1）、q（x2，y2），则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx1+m）=，=x1x2+y1y2=+=，将m2=k2+1代入得：=，解得k21，|pq|=，d=1，spoq=|pq|d= 令t=2k2+1，则k2=，代入得：spoq=，k21，2t3，spoq，即poq的面积s的取值范围是：点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及韦达定理、点到直线的距离、两点间距离、换元法、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题21已知函数f（x）=alnx+x2+x，g（x）=x2+（a+1）x+；（1）若f（x）在（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0，求a，b的值；（2）是否存在实数a使得f（x）在（0，+）上单调递减，g（x）在（0，）上单调递增，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由（3）令h（x）=f（x+1）g（x），若x1，x2（x1x2）是h（x）的两个极值点，证明：（+ln2）x1h（x2）0考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出导数，由切线方程可得f（1）=1，可得a=1，求得切点，代入切线方程，可得b；（2）假设存在符合条件的a值，运用参数分离和基本不等式可得a的范围，结合单调性和导数的关系，可得a的值；（3）化简h（x）的解析式，求出导数，结合二次方程的韦达定理，可得h（x2）0成立；再由分析法，结合函数的单调性，证明（+ln2）x1h（x2）解答：解：（1）f（x）=+ax+1，由题意：f（1）=1即2a+1=1，a=1，即f（x）=lnxx2+x，由f（1）=，切点（1，）在切线上b=；（2）f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）=+ax+10在x（0，+）时恒成立，即a在x（0，+）时恒成立，x+20（3）证明：h（x）=f（x+1）g（x）=aln（x+1）+ （x+1）2+（x+1） x2（a+1）x=aln（x+1）+x2h（x）=+2x=，由题意：2x2+2x+a=0在区间（1，+）内有两个不等实根x1，x2记g（x）=2x2+2x+a 则应有：0，g（1）0，解得：0a；由韦达定理得：x1+x2=1，x1x2=x1=x21，a=2x1x2=2（x2+1）x2x1（1，），x2（，0），h（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增x20，h（x2）h（0）=0 即h（x2）0成立；下面证明：h（x2）（+ln2）x1h（x2）=aln（x2+1）+x22=2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22（+ln2）x1=（+ln2）（1x2），只需证明：2（x2+1）x2ln（x2+1）+x22（+ln2）（1x2）即：x222（x2+1）x2ln（x2+1）+（ln2）x2ln2令（x）=x22（x+1）xln（x+1）+（ln2）x，x（，0），（x）=2x2（2x+1）ln（x+1）2x+ln2=2（2x+1）ln（x+1）+ln2，x0x+11，ln（x+1）0，2x+102（2x+1）ln（x+1）0，又ln2=ln2ln=ln0，（x）0，（x）在（，0）上单调递增（x）（）=ln2ln2+=ln2，即（x）ln2 即式成立h（x2）（+ln2）x1综上：（+ln2）x1h（x2）0成立点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值，以及函数单调性的运用和二次方程韦达定理，考查运算求解能力，属于难题请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于d（）证明：db=dc；（）设圆的半径为1，bc=，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：（i）连接de交bc于点g，由弦切角定理可得abe=bce，由已知角平分线可得abe=cbe，于是得到cbe=bce，be=ce由已知dbbe，可知de为o的直径，rtdbertdce，利用三角形全等的性质即可得到dc=db（ii）由（i）可知：dg是bc的垂直平分线，即可得到bg=设de的中点为o，连接bo，可得bog=60从而abe=bce=cbe=3