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文档简介
第三章导数及应用 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 熟记基本导数公式 c xm m为有理数 sinx cosx ex ax lnx logax的导数 掌握两个函数和 差 积 商的求导法则 会求某些简单函数的导数 请注意本章中导数的概念 求导运算 函数的单调性 极值和最值是重点知识 其基础是求导运算 而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础 复习中要引起重视 1 导数的概念 1 f x 在x x0处的导数就是f x 在x x0处的 记作 y x x0或f x0 瞬时变化率 导函数 2 导数的几何意义函数f x 在x x0处的导数就是曲线y f x 在点 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k f x0 切线方程为 3 基本初等函数的导数公式 1 c c为常数 2 xn n q 3 sinx 4 cosx 5 ax 6 ex p x0 f x0 y y0 f x0 x x0 0 nxn 1 cosx sinx axlna ex 7 logax 8 lnx 4 两个函数的四则运算的导数若u x v x 的导数都存在 则 1 u v 2 u v u v u v uv 4 cu c为常数 cu 5 复合函数的导数设u g x 在点x处可导 则复合函数y f g x 在点x处可导 且f x f u u x 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 f x 与f x0 x0为常数 表示的意义相同 2 在曲线y f x 上某点处的切线与曲线y f x 过某点的切线意义是相同的 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 若f x a3 2ax x2 则f x 3a2 2x 答案 1 2 3 4 5 答案c 3 2014 大纲全国理 曲线y xex 1在点 1 1 处切线的斜率等于 a 2eb ec 2d 1答案c 答案 题型一导数的概念 设f x x3 8x 则 思考题1 答案 4 4 4 题型二导数运算 解析 1 方法一 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 方法二 y 3x3 4x 2x 1 3x3 4x 2x 1 9x2 4 2x 1 3x3 4x 2 24x3 9x2 16x 4 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 3 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 探究2 1 熟记基本初等函数的导数公式及法则是导数运算的前提 2 公式不仅要会正用 而且要求会逆用 思考题2 题型三复合函数的导数 探究3求复合函数的导数时 易搞不清如何复合而出错 应先分析复合函数的结构 引入中间变量u将复合函数分解为基本初等函数或较简单函数y f u 和u x 然后用复合函数的求导法则求导 有时一个函数不能一次分解完成 需要进行多步分解 求下列函数的导数 思考题3 题型四导数的几何意义 解析 1 y x2 在点p 2 4 处的切线的斜率k y x 2 22 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 答案 1 4x y 4 0 2 4x y 4 0或x y 2 0 3 3x 3y 2 0或x y 2 0 探究4 1 在求曲线的切线方程时 注意两个 说法 求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程 在点p处的切线 一定是以点p为切点 过点p的切线 不论点p在不在曲线上 点p不一定是切点 2 求过点p的曲线的切线方程的步骤为 第一步 设出切点坐标p x1 f x1 第二步 写出过p x1 f x1 的切线方程为y f x1 f x1 x x1 第三步 将点p的坐标 x0 y0 代入切线方程 求出x1 第四步 将x1的值代入方程y f x1 f x1 x x1 可得过点p x0 y0 的切线方程 思考题4 2014 广东理 曲线y e 5x 2在点 0 3 处的切线方程为 解析 先根据导数的几何意义求出切线的斜率 写出点斜式方程 再化为斜截式方程或一般式方程 因为y e 5x 5x 5e 5x 所以y x 0 5 故切线方程为y 3 5 x 0 即5x y 3 0 答案 5x y 3 0 2 求复合函数的导数时 应选好中间变量 将复合函数分解为几个基本函数 然后从外层到内层依次求导 3 若f x 在x x0处存在导数 则f x0 即为曲线f x 在点x0处的切线斜率 4 求曲线的切线方程时 若不知切点 则应先设切点 列等式求切点 答案a 答案b解析由f x xlnx 得f x lnx 1 根据题意知lnx0 1 2 所以lnx0 1 因此x0 e 答案a 4 2014 新课标全国 理 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a a 0b 1c 2d 3答案d 6 如图 函数y f x 的图像在点p处的切线方程是y x 8 则f 5 f 5 答案2解析 x 5 f 5 5 8 3 又 f 5 1 f 5 f 5 3 1 2 7 设函数f x x3 2ax2 bx a g x x2 3x 2 其中x r a b为常数 已知曲线y f x 与y g x 在点 2 0 处有相同的切线l 求a b的值 并写出切线
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