湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）.1（5分）已知集合m=a，b，c，集合a=x|xm，则集合a有几个元素（）a3b6c7d82（5分）函数y=的定义域是（）a（，4）b3，4）c（3，4）d3，43（5分）“a=2”是“直线ax+2y+3a=0与直线（a+1）x3y+4=0垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）函数f（x）=lgx的零点所在的区间是（）a（0，1b（1，10c（10，100d（100，+）5（5分）abc中，ab边的高为cd，若=，=，=0，|=1，|=2，则=（）abcd6（5分）在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点m，n分别在两个圆的圆周上运动，则|mn|的最大、最小值分别为d+r1+r2和dr1r2，在空间中，设半径分别为r1，r2的两个球相离且球心距为d，若点m，n分别在两个球面上运动，则|mn|的最大、最小值分别为（）adr1r2和d+r1+r2bd+r1+r2和dr1r2cdr1+r2和d+r1r2dr1+r2d和07（5分）已知三角形的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，则任取一个三角形是锐角三角形的概率是（）abcd8（5分）已知x1，y1且x+y=20则lgx+lgy的最大值是（）a1b2c2d49（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；|x1|x2，其中能使f（x）1f（x2）恒成立的条件序号是（）abcd以上都不对10（5分）下列图形中，可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1（a0且b0）图形的是（）abcd11（5分）已知f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）a（，4）b（4，4c（，4）2，+）d4，4）12（5分）设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=12+22+32=14记f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n），k=1，2，3，则f2006=（）a20b4c42d145二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.13（5分）x、yr，则xy=14（5分）已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=15（5分）已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2）=0，当x0时，有成立，则不等式f（x）0的解集是16（5分）椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于a、b两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为，则的值为三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校5名学生进行问卷调查，5人得分情况如下：5，6，7，8，9把这5名学生的得分看成一个总体（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从5名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率18（12分）已知函数（）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（）设abc的内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且，若b=2a，求a，b的值19（12分）已知二次函数f（x）=x2，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上（）求数列an的通项公式；（）设数列bn，bn=an.2n，tn是数列bn的前n项和，求tn20（12分）如图，在三棱锥pabc中，ac=bc=2，acb=90，ap=bp=ab，pcac（）求证：pcab（）设点e为棱pa的中点，求三棱锥pebc的体积21（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点f的直线l与c相交于a、b两点，当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为，（）求a，b的值；（）c上是否存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的p的坐标与l的方程；若不存在，说明理由22（12分）设函数f（x）=x3+ax2a2x+1，g（x）=ax22x+1，其中实数a0（）若a0，求函数f（x）的单调区间；（）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）.1（5分）已知集合m=a，b，c，集合a=x|xm，则集合a有几个元素（）a3b6c7d8考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：由结论求出集合m=a，b，c的子集个数，再由集合a中元素的特征求出元素的个数解答：解：集合m=a，b，c的子集个数是23=8个，集合a=x|xm中有8个元素，故选：d点评：本题考查了集合与元素的关系，以及集合的子集个数的结论，属于基础题2（5分）函数y=的定义域是（）a（，4）b3，4）c（3，4）d3，4考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：利用开偶次方，被开方数非负，利用对数的性质求解即可解答：基恩：要使函数有意义，可得，即04x1，解得x3，4）函数y=的定义域是3，4）故选：b点评：本题考查函数的定义域的求法，对数函数的性质的应用，基本知识的考查3（5分）“a=2”是“直线ax+2y+3a=0与直线（a+1）x3y+4=0垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：计算题分析：（1）当a=2时直线ax+2y+3a=0的斜率，直线（a+1）x3y+4=0的斜率都存在，故只要看是否满足k1k2=1即可；（2）线ax+2y+3a=0与直线（a+1）x3y+4=0垂直，则得到a（a+1）6=0，从而推出a=3或a=2，进而得出结论解答：解：（1）当a=2时直线ax+2y+3a=0的斜率是1，直线（a+1）x3y+4=0的斜率是1满足k1k2=1“a=1”是直线y=ax+1和直线y=（a2）x1垂直的充分条件（2）直线ax+2y+3a=0与直线（a+1）x3y+4=0垂直，则a（a+1）6=0a=3或a=2 “直线ax+2y+3a=0与直线（a+1）x3y+4=0垂直”不能推出a=2“a=1”是直线y=ax+1和直线y=（a2）x1垂直的充分不必要条件故选a点评：本题考查的知识点是两条件直线垂直的条件，其中根据两条件直线若垂直对应相乘和为零，构造出两条直线垂直时，满足条件的关于a方程，是解答本题的关键4（5分）函数f（x）=lgx的零点所在的区间是（）a（0，1b（1，10c（10，100d（100，+）考点：函数的零点；二分法的定义 专题：计算题分析：先求出f（1）f（10）0，再由二分法进行判断解答：解：由于f（1）f（10）=（0）（1）=（1）0，根据二分法，得函数在区间（1，10内存在零点故选b点评：本题考查函数的零点问题，解题时要注意二分法的合理运用5（5分）abc中，ab边的高为cd，若=，=，=0，|=1，|=2，则=（）abcd考点：平面向量的综合题 分析：由题意可得，cacb，cdab，由射影定理可得，ac2=adab可求ad，进而可求，从而可求与的关系，进而可求解答：解：=0，cacbcdab|=1，|=2ab=由射影定理可得，ac2=adab=故选d点评：本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用6（5分）在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点m，n分别在两个圆的圆周上运动，则|mn|的最大、最小值分别为d+r1+r2和dr1r2，在空间中，设半径分别为r1，r2的两个球相离且球心距为d，若点m，n分别在两个球面上运动，则|mn|的最大、最小值分别为（）adr1r2和d+r1+r2bd+r1+r2和dr1r2cdr1+r2和d+r1r2dr1+r2d和0考点：类比推理 专题：探究型分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，圆对应球，由已知|mn|的最大、最小值分别为d+r1+r2和dr1r2，我们可类比推理出两个球相离且球心距为d，若点m，n分别在两个球面上运动，则|mn|的最大、最小值解答：解：在由平面图形到空间图形的类比推理中，圆对应球“在平面内，设半径分别为r1，r2的两个圆相离且圆心距为d，若点m，n分别在两个圆的圆周上运动，则|mn|的最大、最小值”我们可类比推理出：“两个球相离且球心距为d，若点m，n分别在两个球面上运动，则|mn|的最大、最小值分别为d+r1+r2和dr1r2”；故选b点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）7（5分）已知三角形的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，则任取一个三角形是锐角三角形的概率是（）abcd考点：三角形的形状判断；等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：计算题分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从1到9组成三角形的个数列举出共有6个结果，满足条件的事件是锐角三角形，要根据勾股定理进行判断得到（4，5，6）（5，6，7）（6，7，8）（7，8，9）共有4个结果，得到概率解答：解：有题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从1到9组成三角形的个数（2，3，4）（3，4，5）（4，5，6）（5，6，7）（6，7，8）（7，8，9）共有6个结果，满足条件的事件是锐角三角形，要根据勾股定理进行判断得到（4，5，6）（5，6，7）（6，7，8）（7，8，9）共有4个结果，要求的概率是p=故选c点评：本题考查等可能事件的概率和三角形形状的判断，在解题过程中注意三条线段能够组成三角形的判断和锐角三角形的判断8（5分）已知x1，y1且x+y=20则lgx+lgy的最大值是（）a1b2c2d4考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：不等式的解法及应用分析：先利用基本不等式求出xy的最大值，然后根据对数的运算性质进行化简，从而可求出所求解答：解：因为x0，y0且x+y=20，所以x+y=202，解得xy100，当且仅当x=y=10时取等号，所以lgx+lgy=lg（xy）lg100=2，则lgx+lgy的最大值是2故选：b点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及对数的运算性质，同时考查了学生分析问题的能力和解决问题的能力9（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；|x1|x2，其中能使f（x）1f（x2）恒成立的条件序号是（）abcd以上都不对考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f（x）=2x+sinx，在0，上f（x）0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可解答：解：函数f（x）为偶函数，f（x）=2x+sinx，当0x时，0sinx1，02x，f（x）0，函数f（x）在0，上为单调增函数，由偶函数性质知函数在，0上为减函数当x12x22时，得|x1|x2|0，f（|x1|）f（|x2|），由函数f（x）在上，为偶函数得f（x1）f（x2），故成立，而f（）=f（），不成立，同理可知不成立故选：b点评：本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙，属于中档题10（5分）下列图形中，可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1（a0且b0）图形的是（）abcd考点：曲线与方程 专题：数形结合分析：由图象可确定椭圆、双曲线的焦点坐标，进而确定抛物线的开口方向，故可求解答：解：图a中，椭圆焦点在x轴上，ab0，此时抛物线的开口方向向左，矛盾；图b中，同理；图c、d中，双曲线的焦点在y轴上a0，b0，此时抛物线的开口方向向右，故选d点评：本题主要考查曲线与方程的关系，属于基础题11（5分）已知f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）a（，4）b（4，4c（，4）2，+）d4，4）考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据题意得出函数y=x2ax+3a在2，+）上是增函数且大于零，由此列出关于a的不等式组，求出它的解集即可解答：解：函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，y=x2ax+3a在2，+）上是增函数且大于零，解得4a4，实数a的取值范围是（4，4故选：b点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，是基础题目12（5分）设f（n）为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=12+22+32=14记f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n），k=1，2，3，则f2006=（）a20b4c42d145考点：排序问题与算法的多样性 专题：计算题分析：由题意求出f的值，然后求出f（f）的值，顺次进行，求出它的周期即可得到结果解答：解：由题意f=22+02+02+62=40，f（f）=f（40）=42+02=16，f（16）=12+62=37，f（37）=32+72=58，f（58）=52+82=89，f（89）=82+92=145，f（145）=12+42+52=42，f（42）=20，f=4，f（4）=16，f（16）=37，f（37）=58，f（58）=f（85）11次一个循环，f2006=f（f（f（f（f（f），共有2006次计算，所以表达式取得2006次计算后，经过182次循环，余下4次计算，计算f（89）=82+92=145，所以f2006=145故选：d点评：本题是中档题，考查函数值的计算，求出函数的值去掉计算后，得到函数的周期性计算的解题的关键二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.13（5分）x、yr，则xy=1考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的乘法运算法则以及复数相等的充要条件求解即可解答：解：，化为：（1+i）x（1i）y=2i，可得x=y，x+y=2，解得x=y=1，xy=1故答案为：1点评：本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查14（5分）已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=2.6考点：线性回归方程 专题：计算题分析：根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a解答：解：根据表中数据得：；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；故答案为：2.6点评：考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算15（5分）已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2）=0，当x0时，有成立，则不等式f（x）0的解集是（，2）（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质 专题：导数的综合应用分析：利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性直接利用数形结合求解即可解答：解：当x0时，有成立，可得y=，在x0时是增函数，函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2）=0，如图：不等式f（x）0的解集是：（，2）（0，2）故答案为：（，2）（0，2）点评：本题考查函数的导数的应用，数形结合的思想与方法，考查计算能力16（5分）椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于a、b两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为，则的值为考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：把y=1x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1x）2=1，由根与系数的关系可以推出线段ab的中点坐标为，再由过原点与线段ab中点的直线的斜率为，能够导出的值解答：解：把y=1x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1x）2=1，整理得（a+b）x22bx+b1=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，线段ab的中点坐标为，过原点与线段ab中点的直线的斜率k=答案：点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校5名学生进行问卷调查，5人得分情况如下：5，6，7，8，9把这5名学生的得分看成一个总体（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从5名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）把每个人的得分相加再除以人数，即得这些人的平均得分（2）用列举法求得从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有10个，而所求事件包括6个基本事件，由此求得所求事件的概率解答：解：（1）总体平均数为（5+6+7+8+9）=7（4分）（2）设a表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，9），共10个基本结果，（3分）事件a包含的基本结果有：（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），共有6个基本结果，（2分）所以所求的概率为p（a）=（1分）点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题18（12分）已知函数（）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（）设abc的内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且，若b=2a，求a，b的值考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值；解三角形 专题：综合题；规律型；转化思想；综合法分析：（）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，再根据函数的性质求最小值与用求周期的公式求周期（）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简求角，再利用余弦定理建立方程与b=2a联立求出a，b的值解答：解：（）则f（x）的最小值是2，最小正周期是；（7分）（），则，由余弦定理，得，即3=a2+b2ab，又b=2a解得a=1，b=2（14分）点评：本题考查余弦定理，解本题的关键是利用余弦定理建立关于参数的方程，本题中涉及到了三角恒等变换，求三角函数的最小值，周期，知识性较强，解题时要注意准确利用知识变形求值19（12分）已知二次函数f（x）=x2，数列an的前n项和为sn，点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上（）求数列an的通项公式；（）设数列bn，bn=an.2n，tn是数列bn的前n项和，求tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上可得sn=n2利用递推式可得an（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）点（n，sn）均在函数y=f（x）的图象上sn=n2当n=1时，a1=s1=1；当n2时，an=snsn1=n2（n1）2=2n1当n=1时上式也成立，an=2n1 （nn*）（2）由（1）得知：bn=an.2n=（2n1）2n，故tn=12+322+523+（2n1）2n，2tn=22+323+（2n3）2n+（2n1）2n+1，两式相减的：tn=2+222+223+22n（2n1）2n+1=2（2n1）2n+1=（32n）2n+16，tn=6+（2n3）2n+1点评：本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）如图，在三棱锥pabc中，ac=bc=2，acb=90，ap=bp=ab，pcac（）求证：pcab（）设点e为棱pa的中点，求三棱锥pebc的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）根据图形得出pdabcdab，即可判断ab平面pcd得证pcab（）转化vpabc=，求解即可解答：（）证明：取ab中点d，连结pd，cdap=bp，pdabac=bccdabpdcd=dab平面pcdpc平面pcd，pcab；（）解：在rtabc中，ac=bc=2ab=2，在rtpdb中，pb=2，bd=pd=，又pcac，pcab，abac=apc平面abcpccd pc=2，vpabc=点e为棱pa的中点，三棱锥pebc的体积v=点评：本题考查了空间几何体的体积计算，空间直线与直线的位置关系，属于中档题21（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点f的直线l与c相交于a、b两点，当l的斜率为1时，坐标原点o到l的距离为，（）求a，b的值；（）c上是否存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的p的坐标与l的方程；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；压轴题分析：（i）设f（c，0），则直线l的方程为xyc=0，由坐标原点o到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b（ii）由（i）可得椭圆的方程，设a（x1，y1）、b（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程0由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点p，使成立，则其充要条件为：点p的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把a，b两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得p点坐标，求出m的值得出直线l的方程解答：解：（i）设f（c，0），直线l：xyc=0，由坐标原点o到l的距离为则，解得c=1又，（ii）由（i）知椭圆的方程为设a（x1，y1）、b（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my4=0，显然0由韦达定理有：，假设存在点p，使成立，则其充要条件为：